3.4基本不等式

3．4．1
基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习, 体会数学来源于生活, 提高学习数学的兴趣 【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2
a b
ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2
a b
ab +≤
的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色 的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。

2 合作探究
（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。

系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b , 那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：22a b +, 2
2
a b +
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab 提问4：好, 根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积, 我们可得容易得到一个不等式, 2
2
2a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形, 即a b =时, 正方形EFGH 变成一个点, 这时有
222a b ab +=
结论：（板书）一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有2
2
2a b ab +≥, 当且仅当a b =时,
等号成立。

提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: 22222
2(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，
当时, 所以 2
2
2a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 2
2
2a b ab +=
(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成
(0,0)2
a b
ab a b +≤
>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演):
要证:
(0,0)2
a b
ab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③
要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤
探究：课本中的“探究”
在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本
不等式2
a b
ab +≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB , 那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为
2
b
a +, 显然, 它大于或等于CD , 即a
b b
a ≥+2
, 其中当且仅当点C 与圆心重合, 即a ＝b 时, 等号成立. 因此：基本不等式2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把
2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项, ab 看作是正数a 、b 的等比中项, 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．
1
2
Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
2 a ,b 是正数, 则
2,,
2
a b
ab
ab a b
++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab
ab a b
+≤≤
+ Ｃ．
22ab a b
ab a b +≤≤
+ Ｄ．22
ab a b
ab a b +≤
≤
+ 答案 B C 例题分析：
(1)
x
y
y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥22
2
y x ＞0 x 3＋y 3≥23
3
y x ＞
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·22
2
y x ·23
3
y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
变式训练：
Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+x
1
有最小值, 最小值是多少 解析：因为Ｘ＞0, Ｘ+
x
1
≥2x x •1=2 当且仅当Ｘ=
x
1
时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法, 1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。

当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 12下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2, ∴y 有最小值2
（B ）y ＝|sin x |＋4
|sin x |≥2
|sin x |·4
|sin x |＝4, ∴y 有最小值4
（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋3
2
）2
＝（
－x ＋32
）2
, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（
－1＋32）2
＝1 （D ）y ＝3－x －
9
x ≤3－2
x ·
9
x
＝－3, y 有最大值－3
3.已知x ＞0, 则x ＋4
x
＋3的最小值为（ ）.
（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1
x
－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.
（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数 1 B 2.D 3 B 4 .A
基本不等式
第一课时 课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理。

二、预习内容
一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有2
2
2a b ab +≥, 当 , 等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数, 字母表示： 。

三、提出疑惑
同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中
课内探究学案
教学目标 222a b ab +≥, 不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2
a b
ab +≤
等号成立条件 合作探究 1 证;2
2
2a b ab +≥ 强调：当且仅当a b =时, 2
2
2a b ab +=
特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成
(0,0)2
a b
ab a b +≤
>>,引导学生利用不等式的性质推导 证明: 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤
探究2：课本中的“探究”
在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本不等式2
a b
ab +≤
的几何解释 练习
1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．1
2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab
Ｄ．a 2 a ,b 是正数, 则
2,,
2
a b
ab
ab a b
++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab
ab a b
+≤≤
+ Ｃ．
22ab a b
ab a b +≤≤
+ Ｄ．22
ab a b
ab a b +≤
≤
+ 答案 B C 例题分析：
已知x 、y 都是正数, 求证：
(1)
y
x
x y +≥2； ( 2） Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+
x
1
有最小值, 最小值是多少 分析：2
2
2a b ab +≥, 注意条件a 、b 均为正数, 结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件), 进行变形. 1正2定3相等
变式训练：1已知x ＜54, 则函数f （x ）＝4x ＋14x －5的最大值是多少？
2 证明：（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
分析：注意凑位法的使用。

注意基本不等式的用法。

当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 2下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2, ∴y 有最小值2
（B ）y ＝|sin x |＋4
|sin x |≥2
|sin x |·4
|sin x |＝4, ∴y 有最小值4
（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋3
2
）2
＝（
－x ＋32
）2
, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（
－1＋32）2
＝1 （D ）y ＝3－x －
9
x ≤3－2
x ·
9
x
＝－3, y 有最大值－3
3.已知x ＞0, 则x ＋4
x
＋3的最小值为（ ）.
（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1
x
－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.
（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高
1 已知x 、y 都是正数，求证：
① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值② 如果和2
x y S +1
是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值4
[拓展探究]
2. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1, 求证：111
(1)(1)(1)8.a b c
---≥
答案：1略 2 提示可用a +b +c 换里面的1 , 然后化简利用基本不等式。

§3.4.2 基本不等式的应用
【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2 本节课是基本不等式应用举例。

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

3 能综合运用函数关系, 不等式知识解决一些实际问题． 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 教学过程：
一、创设情景, 引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式, 我们常把
2
a b
+叫做正数a b 、的算术平均数,
叫做正数a b 、的几何平均数。

今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

讲解：已知y x ,都是正数, ①如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最小值
p 2；
②如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最大值
24
1s 二、探求新知, 质疑答辩, 排难解惑
1、 新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所
用的篱笆最短, 最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜
园的面积最大。

最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时, 问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时, 求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）
由
2
x y
+≥
可得 x y +≥2（x
y +）40≥
等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时, 因此, 这个矩形的长、宽为10 m 时, 所用篱笆最短, 最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x
y +）=36, x y +=18, 矩形菜园的面
积为xy 2m ,
由18
9,22
x y +≤
==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时
点评：此题用到了 如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最小值p 2；
如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最大值
2
4
1s 变式训练： 用长为4a 的铁丝围成矩形, 怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为(02)x x a <<, 则宽为2a x -, 矩形面(2)S x a x =-, 且0,20x a x >->．
(2)
2
x a x a +-≤
=．
（当且近当2x a x =-, 即x a =时取等号）,
由此可知, 当x a =时, (2)S x a x =-有最大值2
a ．答：将铁丝围成正方形时, 才
能有最大面积2
a ．
例2（教材89P 例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m 3
,深为3m, 如果
池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2
的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化, 即建立函数关系式, 然后求函数的最值, 其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm , 水池的总造价为l 元, 根据题意, 得
)1600
(720240000x
x l +
+=x x 16002720240000⋅⨯+≥ 297600402720240000=⨯⨯+=
当.2976000,40,1600有最小值时即l x x
x ==
因此, 当水池的底面是边长为40m 的正方形时, 水池的总造价最低, 最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用, 应注意不等式性质的适用条件。

变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶, 它的容积是π2
3立方分米, 用来做底的金属每平方分米价值3元, 做侧面的金属每平方米价值2元, 按着怎样的尺寸制造, 才能使圆桶的成本最低。

解：设圆桶的底半径为r 分米, 高为h 分米, 圆桶的成本为m 元, 则
=m 3rh r ππ222⋅+
求桶成本最低, 即是求m 在r 、h 取什么值时最小。

将2
23
r h =
代入m 的解析式, 得 r r r
r r m ππππ63)23)(
2(232
2
2+=+==ππ
πππππ933)3(3333322=⋅⋅≥++
r
r r r r r 当且仅当r
r r r π
πππ33332
=
+=
时, 取“=”号。

∴当=r 1（分米）, =h 2
3
（分米）时, 圆桶的成本最低为9π（元）。

点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解,
归纳整理, 整体认识
1．求最值常用的不等式：a b +≥, 2
(
)2
a b ab +≤, 222a b ab +≥． 2．注意点：一正、二定、三相等, 和定积最大, 积定和最小． 3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1 下列函数中, 最小值为4的是： （ ） Ａ．4y x x
=+
Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．
3log 4log 3x y x =+
2. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D.
3函数y =的最大值为 .
4建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池, 如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元, 那么池的最低造价为 元.
5某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需要面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800元, 面
粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元, 购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C 2 D 3
1
2
4 3600
5 10x =时, y 有最小值10989, 基本不等式的应用 课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最
2如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最
3若1->x , 则x =_____时,1
1++x x 有最小值, 最小值为_____. 4.若实数a 、b 满足a+b ＝2,则3a +3b 的最小值是_____.
三、提出疑惑
课内探究学案
一、学习目标
1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所
用的篱笆最短, 最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜
园的面积最大。

最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时, 问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时, 求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为4a 的铁丝围成矩形, 怎样才能使所围的矩形面积最大？
2一份印刷品的排版面积（矩形）为A 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底
部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使用纸量最少？
变式训练 答案 1 x a =时面积最大。

22a 和
2b ． 例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m 3
,深为3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化, 即建立函数关系式, 然后求函数的最值, 其中用到了均值不等式定理。

答案：底面一边长为40时, 总造价最低2976000。

变式训练：建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池, 如果池底和池壁每m 2 的造
价为200元和150元, 那么池的最低造价为 元.
答案：3600
当堂检测：1若x , y 是正数, 且141x y
+=, 则xy 有 （3 ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 2已知0,0x y >>且满足281x y
+=,求x y +的最小值.4 Ａ．16 Ｂ20． Ｃ．14 Ｄ．18
3 某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需要面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800元, 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元, 购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案:1 C 2 D 3 10x =时, y 有最小值10989,
课后复习学案
1已知x>0, y>0, 且3x+4y=12, 求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．
2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元, 每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元, 年维修费用第一年是0.2万元, 以后逐年递增0.2万元。

问这种汽车使用多少年时, 它的年平均费用最小？最小值是多少？ 3某公司租地建仓库, 每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比, 而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比, 如果在距车站10公里处建仓库, 这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元, 那么要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站多少公里处?。