系统的稳定性分析PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov函数。
• 这个函数无疑比能量更为一般，其应用也更 广泛。
• 4.1.3 Lyapunov意义下的稳定性定义
系统
的平衡状
态xe的球域S(r), r>0, 是所有满Βιβλιοθήκη Baidu下式的
状态的集合
为向量的2范数或两点的距离， 即
Lyapunov意义下的稳定.
定义4.2.1 系统
的平衡状态xe, 如果 对应于每一个ε>0, 存在一个δ>0（与ε 和t0有关）, 使得对 t>t0, 初速状态在 S(δ)内的轨迹不脱离 S(ε), 此平衡状态称
为在Lyapunov意义下 是稳定的.
Lyapunov意义下的渐近稳定
定义4.2.2 系统
的平衡状态xe, 如果 对应于每一个ε>0 , 存在一个δ>0（与ε 和t0有关）, 使得初 始状态在S(δ)内的轨 迹始终在S(ε)内,并 且当t →∞时 x(t)→xe, 此平衡状
–要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制. –但对某些微分方程来说是比较便利的, 比如线性定常微分方程.
（未来可能比较重要）
第二方法构造一个正定的Lyapunov函数
– 一般所说的Lyapunov方法常常就是指Lyapunov第二方法. –目前仍是控制理论研究的主要方法 –本章重点
4.1 Lyapunov意义下的稳定性
1892年, 俄国数学家Lyapunov在其博 士论文《运动稳定性的一般问题》, 给出 了
–稳定性概念的严格数学定义
–解决稳定性问题的一般方法
–奠定了现代稳定性理论的基础.
Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法, 即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.
第一方法是通过微分方程的解来分析运动稳定性
内, 此平衡状态称为
在Lyapunov意义下是
不稳定的.
稳定性概念的几点说明:
稳定和渐近稳定的定义均是针对平衡点附近的局部性质. 对于线性系统, 渐近稳定等价于大范围渐近稳定.
4.2 Lyapunov稳定性 第二方法
• 正定和负定函数 • Lyapunov稳定性定理 • Lyapunov稳定性定理的应用
电容都是线性的, 并且R>0, 则状态方程是
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能
量是不断减少的.为简单起见, 设C=2, R=3,
L=1,再令初始状态为
.
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解 矩阵
从方程的解，可以得出系统能量的衰减
图4.3 例4.1.2状态方程相图
图4.3表明,从原点很小的领域出发的轨迹 能保持在原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳定的.
Lyapunov意义下的不稳定
平衡状态不稳定不能说明轨 迹将趋于无穷远处, 这是因为 轨迹还可能趋于某个极限环.
定义4.2.4 系统
的平衡状态xe, 如果 存在ε>0, 对不管多 么小的δ>0, 在球域 S(δ)内始终存在状态 x0, 使得以x0为初始 状态的轨迹x(t), t>t0,不能完全在S(ε)
态称为在Lyapunov意 义下是渐近稳定的.
定义4.2.3 对系统的所有状态，如果由 这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，
则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。
或者说，如果系统的平衡状态渐 近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系 统的平衡状态为大范围渐近稳定的。
大范围渐近稳定的必要条件是在 整个状态空间中只有一个平衡状态。
第4章 Lyapunov稳定性理论
•Lyapunov意义下的稳定性 •Lyapunov第二方法
•线性系统的稳定性分析 •离散时间系统稳定性分析 •Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用
实际工程中的（闭环）系统必须平稳 运行, 比如希望系统状态能保持在一个确 定的工作点附近.
用状态空间的说法是（闭环）系统运 行渐进到一个状态
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是
线性的, 电阻
, 而电容具有
非线性的库伏特性
,
则状态方程是
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有
耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变,
从上述式子的最后一个等号容易求出
图4.4 例4.1.3状态方程相 图
图4.4表明, 从原点任意小的领域出发的
对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义 “能量函数”的简便方法。为了克服这个困 难，
• 如果系统是线性定常的, 即f (x, t)=Ax, 则当A为非奇异矩阵时, 系统存在一个唯一 的平衡状态; 当A为奇异矩阵时, 系统将存 在无穷多个平衡状态.
• 非线性系统则可以有一个或多个平衡状态 或者没有平衡状态, 这些状态对应于系统 的常值解.
稳定性问题的一种简化:
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平 衡状态）或给定运动都可通过适当的坐标变 换, 转化为另一个方程的坐标原点.
• 稳定到平衡状态—问题的简化 • 能量函数 • Lyapunov意义下的稳定性定义
4.1.1 平衡状态
非线性系统
式中x为n维状态向量, f (x,t)是变量x1, x2,…xn和t的n维向量 函数.
如果在上式所描述的系统中, 对所有时间t, 都有
则xe称为系统的平衡状态或平衡点
系统平衡状态的几点说明:
• 本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状 态的稳定性问题, 这种所谓原点稳定性问题.
4.1.2 能量函数
• 稳定性—相关—广义系统能量 • Lyapunov函数—广义的系统能量函数
图4.1 RLC串联电路
例4.1.1 图4.1所示的电路中, 设电感和
电容都是线性的, 并且
. 以电
感磁通 Ψ 和电容电荷 q 为状态变量, 可
写出状态方程,
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有
耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨
图4.2 例4.1.1状态方程相 图
从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原 点附近, 但也不能逐渐趋向于原点, 或者 说是稳定的.
例4.1.2 图4.1所示的电路中, 设电感和
标量函数的正定性 对域Ω（域Ω包含状态空间的原
点）上定义的标量函数V (x)，如果对所有 域Ω中的非零状态 x ≠ 0 ，有V (x)>0， 且在x=0处有V (0) =0，则V (x)称为正定
函数。
对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定
• 这个函数无疑比能量更为一般，其应用也更 广泛。
• 4.1.3 Lyapunov意义下的稳定性定义
系统
的平衡状
态xe的球域S(r), r>0, 是所有满Βιβλιοθήκη Baidu下式的
状态的集合
为向量的2范数或两点的距离， 即
Lyapunov意义下的稳定.
定义4.2.1 系统
的平衡状态xe, 如果 对应于每一个ε>0, 存在一个δ>0（与ε 和t0有关）, 使得对 t>t0, 初速状态在 S(δ)内的轨迹不脱离 S(ε), 此平衡状态称
为在Lyapunov意义下 是稳定的.
Lyapunov意义下的渐近稳定
定义4.2.2 系统
的平衡状态xe, 如果 对应于每一个ε>0 , 存在一个δ>0（与ε 和t0有关）, 使得初 始状态在S(δ)内的轨 迹始终在S(ε)内,并 且当t →∞时 x(t)→xe, 此平衡状
–要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制. –但对某些微分方程来说是比较便利的, 比如线性定常微分方程.
（未来可能比较重要）
第二方法构造一个正定的Lyapunov函数
– 一般所说的Lyapunov方法常常就是指Lyapunov第二方法. –目前仍是控制理论研究的主要方法 –本章重点
4.1 Lyapunov意义下的稳定性
1892年, 俄国数学家Lyapunov在其博 士论文《运动稳定性的一般问题》, 给出 了
–稳定性概念的严格数学定义
–解决稳定性问题的一般方法
–奠定了现代稳定性理论的基础.
Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法, 即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.
第一方法是通过微分方程的解来分析运动稳定性
内, 此平衡状态称为
在Lyapunov意义下是
不稳定的.
稳定性概念的几点说明:
稳定和渐近稳定的定义均是针对平衡点附近的局部性质. 对于线性系统, 渐近稳定等价于大范围渐近稳定.
4.2 Lyapunov稳定性 第二方法
• 正定和负定函数 • Lyapunov稳定性定理 • Lyapunov稳定性定理的应用
电容都是线性的, 并且R>0, 则状态方程是
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能
量是不断减少的.为简单起见, 设C=2, R=3,
L=1,再令初始状态为
.
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解 矩阵
从方程的解，可以得出系统能量的衰减
图4.3 例4.1.2状态方程相图
图4.3表明,从原点很小的领域出发的轨迹 能保持在原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳定的.
Lyapunov意义下的不稳定
平衡状态不稳定不能说明轨 迹将趋于无穷远处, 这是因为 轨迹还可能趋于某个极限环.
定义4.2.4 系统
的平衡状态xe, 如果 存在ε>0, 对不管多 么小的δ>0, 在球域 S(δ)内始终存在状态 x0, 使得以x0为初始 状态的轨迹x(t), t>t0,不能完全在S(ε)
态称为在Lyapunov意 义下是渐近稳定的.
定义4.2.3 对系统的所有状态，如果由 这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，
则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。
或者说，如果系统的平衡状态渐 近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系 统的平衡状态为大范围渐近稳定的。
大范围渐近稳定的必要条件是在 整个状态空间中只有一个平衡状态。
第4章 Lyapunov稳定性理论
•Lyapunov意义下的稳定性 •Lyapunov第二方法
•线性系统的稳定性分析 •离散时间系统稳定性分析 •Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用
实际工程中的（闭环）系统必须平稳 运行, 比如希望系统状态能保持在一个确 定的工作点附近.
用状态空间的说法是（闭环）系统运 行渐进到一个状态
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是
线性的, 电阻
, 而电容具有
非线性的库伏特性
,
则状态方程是
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有
耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变,
从上述式子的最后一个等号容易求出
图4.4 例4.1.3状态方程相 图
图4.4表明, 从原点任意小的领域出发的
对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义 “能量函数”的简便方法。为了克服这个困 难，
• 如果系统是线性定常的, 即f (x, t)=Ax, 则当A为非奇异矩阵时, 系统存在一个唯一 的平衡状态; 当A为奇异矩阵时, 系统将存 在无穷多个平衡状态.
• 非线性系统则可以有一个或多个平衡状态 或者没有平衡状态, 这些状态对应于系统 的常值解.
稳定性问题的一种简化:
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平 衡状态）或给定运动都可通过适当的坐标变 换, 转化为另一个方程的坐标原点.
• 稳定到平衡状态—问题的简化 • 能量函数 • Lyapunov意义下的稳定性定义
4.1.1 平衡状态
非线性系统
式中x为n维状态向量, f (x,t)是变量x1, x2,…xn和t的n维向量 函数.
如果在上式所描述的系统中, 对所有时间t, 都有
则xe称为系统的平衡状态或平衡点
系统平衡状态的几点说明:
• 本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状 态的稳定性问题, 这种所谓原点稳定性问题.
4.1.2 能量函数
• 稳定性—相关—广义系统能量 • Lyapunov函数—广义的系统能量函数
图4.1 RLC串联电路
例4.1.1 图4.1所示的电路中, 设电感和
电容都是线性的, 并且
. 以电
感磁通 Ψ 和电容电荷 q 为状态变量, 可
写出状态方程,
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有
耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨
图4.2 例4.1.1状态方程相 图
从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原 点附近, 但也不能逐渐趋向于原点, 或者 说是稳定的.
例4.1.2 图4.1所示的电路中, 设电感和
标量函数的正定性 对域Ω（域Ω包含状态空间的原
点）上定义的标量函数V (x)，如果对所有 域Ω中的非零状态 x ≠ 0 ，有V (x)>0， 且在x=0处有V (0) =0，则V (x)称为正定
函数。
对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定