必修4-1.1 任意角和弧度制
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（4）因为 4 6 23 6 所Biblioteka Baidu与 6 角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。 6
23
12′（4）
23 6
小结：1.在0到360度（0~2π)内找与已知角终边相同的角， 方法是：用所给角除以3600(2π) 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：度数除以3600(2π），商是负数，它的绝对值 应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。 2.判断一个角是第几象限角，
3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制)
作业
课后作业： 见本节校本作业一张
谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!
3．终边相同的角
⑴ 观察：330 ，750角，它们的终边与30角的终边有
何关系？ ⑵探究：与30 终边相同的角（含30 角本身）集合用描述法如
何表示？ 330=30+(1)×360 (k=－1) , 30=30+0×360 (k=0), 750=30+2×360(k=2) (3)结论： 30 k 360 , k Z 与 终边相同的角（含 本身）集合用描述法又 将如何表示？ k 360, k Z
方法是：把所给角 改写成 ： +k · 0 ( K∈Z,00≤ 0 360 0 +k〃2π ( K∈Z, 0≤ ＜3600) 0 0＜2π ) 的形式， 0在第 几象限, 就是第几象限角。
合作探究练习3：
(1)在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为 为2R 2的扇形的中心角等于 弧度。 ，面积
扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合 360( 1)度
扇形面积是
( 1)R
2
合作探究练习1： 用角度和弧度分别表示: 1. 终边在x轴上的角的集合 2. 终边在坐标轴上的角的集合 3. 终边在第一象限角的集合 4. 终边在y=x直线上的角的集合
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
1 的角是周角的 用1º 角作单位来度量角的制度叫做角度制 但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样， 也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。 根据角的动态定义：角是由射线绕 它的端点旋转而成的，在旋转的过程中 射线上的点必然形成一条圆弧。
2．象限角和坐标轴上角 终边 终边 y x
o
终边
始边 终边
是第一象限角
是第二象限角
是 第 三 象 限 角
是第四象限角
用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋 转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周
角
时，旋转量即超过360º ，角度的绝对值可大于
360º 。于是就有720º － 540º ， ，第一象限的 角也已经超越原来锐角的范畴.）
思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？
例1：写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
A（B） O
在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意 角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问 题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角 的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的 正半轴。 角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角） 角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角 的集合共同特征是怎样的?
合作探究练习2.在0到360度(0~2π ）范围内，找出与下
列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？
11 （1）-120°（2） 3
（3） -950 ° 解（1）因这-120°=-1×360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °角,它是第三象 限角。 11 5 2 （2）因为 3 3 5 11 所以与 角终边相同的角是 ，它是第四象限角。 3 3 （3）因为-950°12′ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12′ 角终边相同的角是129°48 ’ 角， 它是第二象限角。
在直角坐标系中任取象限的一个角 ，其2 和
1 角所在象限怎样变化？ 2
已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边在（ A x轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 B y轴的非负半轴上 D y轴的非正半轴上
A ）
在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β
之间的关系是（
A. β=α+90o
对比记忆：初中弧长和面积公式： n nr 1 n 弧长 2r S扇形 r r 2 360 180 2 360 思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几 个量,才能求出另外的量呢？
例2. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆
的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？
1 360
思考：不同的点所形成的圆弧的
长度是不同的，但都对应同一个 圆心角，探索弧长与其半径之比 有什么关系?
设α=nº,AB弧长为l，半径OA 2 r l 2 为r， l n , n 360 r 360 则可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。 AB AB 对于同一圆心角， r r
3．弧度
3．弧度
弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的 角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 l . r 的正负由 的终边的旋转方向决定。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 l 2r ∵ 360= 2 (rad，∴ 180= rad， )
课堂小结： 1.任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:
2.角度制和弧度制的转化： k 360, k Z
1=
180 rad 0.01745rad
180 57.30 5718' 1 rad
人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制
知识回顾:
同学们,我们回顾一下学过的这些角:
知识回顾:
角的定义1: 平面内从一个点 出发引出的两条射线构成的 几何图形.
这种静态定义是从图形
形状来定义角，因此角的范 围是[0º, 360º]
同学们见过不在0°~360°范围的角吗?我们来看一些 实例。
l r
∴ 1=
r
r
180 57.30 5718 ' 1 rad
180
rad 0.01745rad
注：rad今后可以省略不写
用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
零角
负角
零
负实数
角的集合
弧度的集合（实数集R）
）D
B β=α±90o
C β=k· o+90o+α,k∈Z 360 D β=k· o±90o+α, k∈Z 360
若α是第四象限角，则180º －α是（
A 第一象限角 B 第二象限角
） C
C 第三象限角
D 第四象限角
1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm,求扇形的 圆心角的弧度数。 （2）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆 心角取什么值时，才能使扇形的面积取得最大？最 大面积是多少？
(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度?
4 解：（1）240º= ，根据l=αR，得 3
1 根据S= lR= αR2，且S=2R2. 2 2
4 l R 3 1
所以 α=4.
(2)需顺时针转90度,即为 90
2
rad
课堂小结： 1.任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、
OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
1.任意角:含任意大小的正角，负角，零角。 类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形 成的角推广到任意角。为了方便规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 没有作任何旋转形成的角叫做零角
同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角
风车,风扇叶片等转动
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
请运用转换公式，填写下表：
度 -30° 45 °
150°
0°
60°
-135°
90° 120°
-150° 30′
270°
弧度
0
6
4
3
3 4
2
2 3
5 6
301 360
3 2
3．弧度
l r
弧长 r 1 1 S扇形 r r 2 2 2
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} β=k∙900
{β | β =kπ ，k∈Z}
２.{β| ，k∈Z} {β | β =k∙ 2 ，k∈Z} 3.{β| k ∙ 3600 <β<k∙ 3600+900 ，k∈Z} {β | 2k π <β <2kπ + ，k∈Z} 2 0+450 ，k∈Z} 4.{β| β=k∙ 180 {β | β =kπ + 4 ，k∈Z}
2.角度制和弧度制的转化： k 360, k Z
1=
180 rad 0.01745rad
180 57.30 5718' 1 rad
3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制)
作业
课后作业： 见本节校本作业一张
谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!
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12′（4）
23 6
小结：1.在0到360度（0~2π)内找与已知角终边相同的角， 方法是：用所给角除以3600(2π) 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：度数除以3600(2π），商是负数，它的绝对值 应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。 2.判断一个角是第几象限角，
3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制)
作业
课后作业： 见本节校本作业一张
谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!
3．终边相同的角
⑴ 观察：330 ，750角，它们的终边与30角的终边有
何关系？ ⑵探究：与30 终边相同的角（含30 角本身）集合用描述法如
何表示？ 330=30+(1)×360 (k=－1) , 30=30+0×360 (k=0), 750=30+2×360(k=2) (3)结论： 30 k 360 , k Z 与 终边相同的角（含 本身）集合用描述法又 将如何表示？ k 360, k Z
方法是：把所给角 改写成 ： +k · 0 ( K∈Z,00≤ 0 360 0 +k〃2π ( K∈Z, 0≤ ＜3600) 0 0＜2π ) 的形式， 0在第 几象限, 就是第几象限角。
合作探究练习3：
(1)在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为 为2R 2的扇形的中心角等于 弧度。 ，面积
扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合 360( 1)度
扇形面积是
( 1)R
2
合作探究练习1： 用角度和弧度分别表示: 1. 终边在x轴上的角的集合 2. 终边在坐标轴上的角的集合 3. 终边在第一象限角的集合 4. 终边在y=x直线上的角的集合
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
1 的角是周角的 用1º 角作单位来度量角的制度叫做角度制 但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样， 也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。 根据角的动态定义：角是由射线绕 它的端点旋转而成的，在旋转的过程中 射线上的点必然形成一条圆弧。
2．象限角和坐标轴上角 终边 终边 y x
o
终边
始边 终边
是第一象限角
是第二象限角
是 第 三 象 限 角
是第四象限角
用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋 转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周
角
时，旋转量即超过360º ，角度的绝对值可大于
360º 。于是就有720º － 540º ， ，第一象限的 角也已经超越原来锐角的范畴.）
思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？
例1：写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
A（B） O
在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意 角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问 题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角 的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的 正半轴。 角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角） 角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角 的集合共同特征是怎样的?
合作探究练习2.在0到360度(0~2π ）范围内，找出与下
列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？
11 （1）-120°（2） 3
（3） -950 ° 解（1）因这-120°=-1×360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °角,它是第三象 限角。 11 5 2 （2）因为 3 3 5 11 所以与 角终边相同的角是 ，它是第四象限角。 3 3 （3）因为-950°12′ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12′ 角终边相同的角是129°48 ’ 角， 它是第二象限角。
在直角坐标系中任取象限的一个角 ，其2 和
1 角所在象限怎样变化？ 2
已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边在（ A x轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 B y轴的非负半轴上 D y轴的非正半轴上
A ）
在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β
之间的关系是（
A. β=α+90o
对比记忆：初中弧长和面积公式： n nr 1 n 弧长 2r S扇形 r r 2 360 180 2 360 思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几 个量,才能求出另外的量呢？
例2. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆
的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？
1 360
思考：不同的点所形成的圆弧的
长度是不同的，但都对应同一个 圆心角，探索弧长与其半径之比 有什么关系?
设α=nº,AB弧长为l，半径OA 2 r l 2 为r， l n , n 360 r 360 则可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。 AB AB 对于同一圆心角， r r
3．弧度
3．弧度
弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的 角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 l . r 的正负由 的终边的旋转方向决定。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 l 2r ∵ 360= 2 (rad，∴ 180= rad， )
课堂小结： 1.任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:
2.角度制和弧度制的转化： k 360, k Z
1=
180 rad 0.01745rad
180 57.30 5718' 1 rad
人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制
知识回顾:
同学们,我们回顾一下学过的这些角:
知识回顾:
角的定义1: 平面内从一个点 出发引出的两条射线构成的 几何图形.
这种静态定义是从图形
形状来定义角，因此角的范 围是[0º, 360º]
同学们见过不在0°~360°范围的角吗?我们来看一些 实例。
l r
∴ 1=
r
r
180 57.30 5718 ' 1 rad
180
rad 0.01745rad
注：rad今后可以省略不写
用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
零角
负角
零
负实数
角的集合
弧度的集合（实数集R）
）D
B β=α±90o
C β=k· o+90o+α,k∈Z 360 D β=k· o±90o+α, k∈Z 360
若α是第四象限角，则180º －α是（
A 第一象限角 B 第二象限角
） C
C 第三象限角
D 第四象限角
1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm,求扇形的 圆心角的弧度数。 （2）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆 心角取什么值时，才能使扇形的面积取得最大？最 大面积是多少？
(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度?
4 解：（1）240º= ，根据l=αR，得 3
1 根据S= lR= αR2，且S=2R2. 2 2
4 l R 3 1
所以 α=4.
(2)需顺时针转90度,即为 90
2
rad
课堂小结： 1.任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、
OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
1.任意角:含任意大小的正角，负角，零角。 类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形 成的角推广到任意角。为了方便规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 没有作任何旋转形成的角叫做零角
同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角
风车,风扇叶片等转动
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
请运用转换公式，填写下表：
度 -30° 45 °
150°
0°
60°
-135°
90° 120°
-150° 30′
270°
弧度
0
6
4
3
3 4
2
2 3
5 6
301 360
3 2
3．弧度
l r
弧长 r 1 1 S扇形 r r 2 2 2
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} β=k∙900
{β | β =kπ ，k∈Z}
２.{β| ，k∈Z} {β | β =k∙ 2 ，k∈Z} 3.{β| k ∙ 3600 <β<k∙ 3600+900 ，k∈Z} {β | 2k π <β <2kπ + ，k∈Z} 2 0+450 ，k∈Z} 4.{β| β=k∙ 180 {β | β =kπ + 4 ，k∈Z}
2.角度制和弧度制的转化： k 360, k Z
1=
180 rad 0.01745rad
180 57.30 5718' 1 rad
3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制)
作业
课后作业： 见本节校本作业一张
谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!