系统的状态空间法

1.2 . 3 控制系统状态空间的一般表达式 X·=F（X U t） Y=G（X U t）
1.2 . 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图
1、结构图 X·=AX+BU Y=CX+DU
D
U(t)
B B+U X·
比例器
积分器
DU
X
CX C+
+ Y(t)
加法器
+ AX
A
1.2 . 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图
b11b12... b1r
B= b21b22... b2r ... ... ... ... ... bn1bn2... bnr
c11c12... c1n
C= c21c22... c2n ... ... ... ... ... cm1cm2... cmn
d11d12... d1r
D= d21d22... d2r ... ... ... ... ... dm1dm2... dmr
u+
x• 3
x3=x• 2
x2=x• 1
x1
2
+
+y
–
7
––
14
8
2
u
1 x• 3 x• 2 x• 1 x1 1
–7 –14
y
–8
1.3 状态空间表达式的建立
1.3 .1由系统方框图建立状态空间表达式
方框图
结构图
例：试建立系统的状态空间表达式
+
k1
k2
k3
u
T1S+1 T2S+1
T3S
y
–
k4 解：将惯性环节变为积分环节
1 T2
x2+
k2 T2
x3
x• 3=
–
1 T1
x3+
k1 T1
（u– k4x1）
y =x1
1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式 例：含有零点
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u+
S–Z
k
1
– S+P
S
S+a
y
S–Z
Z +P
S+P =1– S+P
ku m
yf
K：弹性系数 f：阻尼系数
1.2 . 2 控制系统状态空间表达式
ku
yf
m
解：系统的运动方程：
m
d2y dt 2
=u–f dy dt
–ky
d2y m dt 2
+f
dy dt
+ky
=u
系统的状态变量：x1=y x2=y·=x·1 系统的状态方程： x·1 = x2
x·2=y··
x·2=–
第1章 控制系统的状态空间表达式
1.1 概述 1.2 控制系统的状态空间表达式 1.3 状态空间表达式的建立 1.4 状态方程的线性变换 1.5 系统的传递函数阵 1.6 离散系统的状态空间表达式 1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式
1.1 概述 古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。
6、输出方程 ：输出变量与输入变量及状态变量的 关系式。
代数方程
y1= f1(x1 x2 u1 u2)
7、状态空间表达式 ：状态方程和输出方程。
1.2 . 2 控制系统状态空间表达式
例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧—质 量—阻尼系统，试建立输入的外力u (t)，输出为位移 y (t)的状态空间表达式。
解：这是一个三阶系统，需3个积分器
u+
2
x• 3
x3=x• 2
x2=x• 1
x1
+ +y
–
7
––
14
8
2、信号流图
D
X·=AX+BU Y=CX+DU
U
B X• X C Y
A
将上例中的结构图用信号流图表示
u+
2
x• 3
x3=x• 2
x2=x• 1
x1
+ +y
–
7
––
14
8
2、信号流图
将上例中的结构图用信号流图表示
现代控制理论是建立在状态空间法基础上。
1.2 控制系统的状态空间表达式 1.2 . 1 基本概念
1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。
2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独 立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量 组。状态变量的选取不唯一。
1.2 . 1 基本概念
例：线性系统的状态空间表达式为
x• 1=x2
x• 2=x3
x• 3=–8x1–14x2–7x3+u
y =x1+2x2
试画出它的系统结构图。
解：这是一个三阶系统，需3个积分器
例：线性系统的状态方程为
x•1=x2 x•2=x3
y =x1+2x2
试画出它的系统结构图。
x• 3=–8x1–14x2–7x3+u
k m
x1 –
f m
x2
+
1 m
u
系统的输出方程： y = x1
1.2 . 2 控制系统状态空间表达式
ku
yf
m
x·1 = x2
x·2=–
k m
x1 –
f m
x2
+
1 m
u
y = x1
矩阵形式： x·1 x·2
=
0 k –m
1 f –m
x1 x2
0 +1
m
u
简写为：
y= 1
0
x1 x2
X·=AX+bu
T3S
y
–
k4
u+
–
k1 T1
+ x• 3
x3
1
k2 T2
+ x• 2
–
x2
k3 x• 1
T3
1
x1=y
T1
T2
k4
1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式
u+
–
k1 T1
+ x• 3
–
x3
1
k2 T2
+ x• 2
–
x2
1
k3 x• 1
T3
T1
T2
x1=y
k4
x•1=
k3 T3
x2
x•2= –
Y=CX
1.2 . 2 控制系统状态空间表达式
多输入多输出线性定常系统：
x1 x2 X= : :
xn
u1 u2 U= : :
ur
y1 y2 Y= : :
ym
X·=AX+BU Y=CX+DU
a11a12... a1n
A= a21a22... a2n ... ... ... ... ... an1an2... ann
b11b12... b1r
B= b21b22... b2r ... ... ... ... ... bn1bn2... bnr
1.2 . 2 控制系统状态空间表达式
X·=AX+BU Y=CX+DU
a11a12... a1n
A= a21a22... a2n ... ... ... ... ... an1an2... ann
k1 T1S+1
k1 T1
1
S+
1 T1
1.3 .1由系统方框图建立状态空间表达式 解：将惯性环节变为积分环节
k1 T1S+1
k1 + T1 –
k1 + T1 –
k1 T1
1 1
S+ T1
1
S
1
T1 x• 3 x3
1 T1
1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式
+
k1
k2
k3
u
T1S+1 T2S+1
3、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个n
维矢量。 x1(t)
X（t）=
x2(t) :
:
xn(t)
4、状态空间 ：以n个状态变量为坐标轴所构成的
空间，称为n维状态空间。
5、状态方程 ：状态变量的一阶导数与输入变量及
状态变量的关系式。
一阶微分方程
dx1 dt
=f1(x1
x2 u1 u2)
1.2 . 1 基本概念