高数上册第3章习题课

的单调减区间为(1 , 2).
o 12 x
两种特殊情况:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
o
x
例4. 证明
时, 成立不等式
证: 令
f ( x) sin x 2 ,
例3. 确定函数
的单调区间.
解: f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2)
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x ( , 1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f ( x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 ( , 1), (2, );
2 1
2.曲线凹凸与拐点的判别
f ( x) 0, x I
在 I 上单调递增； 在 I 上单调递减。
+
f ( x) 0, x I
–
拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点。
思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f ( x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1)的大小顺序是 ( B )
( , ) 2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
1 2
1 2;
凸区间是
(
,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
;
拐点为
(
1 2
,
1
e
1 2
).
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
练习题
一、填空题：
1、函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________
_____________.
x
且
f
( x)
x cos
x x2
sin
x
cos x x2
(x
tan
x)
0
从而
因此
例5、方程 ln x ax (a 0) 有几个实根？
三、曲线的凹凸与拐点
y
C
问题：如何研究曲线的弯曲方向?
B
A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o
x1
x2 x
图形上任意弧段位于 所张弦的下方！
o
x1
x2 x
2、函数
y
1
2x x
2
在区间[-1,1]上单调________，
在_________上单调减.
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
2
x3
,
y
2 9
5
x3
x (,0) 0 (0, )
y y凹
不存在
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
例7. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x( x 2)
2) 求拐点可疑点坐标
3
( , ) 令
y
0
得
x1
0
,
x2
2 3
,
对应
y1
1,
y(02,1)
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数
在开区间 I 内可导, 若
( f ( x) 0), 则 在 I 内单调递增(递减) 。
证: 不妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
证毕
例1 讨论函数y x cos x在区间[0，2 ]的单调性.
例2 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y ex 1. 又 D : (,).
在(,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加.
注意：函数的单调性是函数在一个区间上的性质， 要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用某 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法
问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调。 定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，都可能是单调区 间的分界点． 方法：
用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C ) f (1) f (0) f (1) f (0)
(D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凸的 .
利用一阶泰勒公式可得
f
(x1)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2
)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
x1
x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
f
(2
2!
)(
上是向上凹的.
ox
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f ( x)在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
的一个拐点.
例6. 求曲线
的拐点.
解:
y
1 3
图形上任意弧段位于 所张弦的上方！
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有 图形是凸的 .
连续曲线上的凹凸分界点 称为拐点。
则称
则称
yyy
oo
x xx11
xx11xx22 22
xx22
xx
定理2.(凹凸判定法) 设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
112 273
11 27
3) 列表判别
x
(,0) 0
(0, 32)
2 3
(
2 3
,
)
y 0 0
2 3
y
凹
1
凸
11 27
Hale Waihona Puke Baidu
凹
故该曲线在( ,0)
及(
2 3
,
)
上向上凹,
在(0,
2 3
)上
向上凸
,
点
(
0
,
1
)
及
(
2 3
,
11 27
)均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0, x I f ( x) 0, x I
x2
x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1) 2
f
(x2 )
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例5. 判断曲线
的凹凸性.
y
解: y 4x3 ,
故曲线
在
说明: