金融数学课件--(2-1)等额年金

n 1
1 (v v v
2
n 1
) 1 a n 1| （下页图示）
说明: an 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的
(n – 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n – 1) 次付
款的现值为 a n 1 。
25
Present value
含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1
将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为ia 。在第 n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1 i i
n
……
i
0
1
n
（2） s n a n (1 i )
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
10
（3）
证明：
1 an
1 sn

1 sn
i
]
(1 i )
(1 i ) 1

(1 i ) 1
n
d
19
a n | 和 的关系 s
n|
n | a n | (1 i ) n （1） s
1 an 1 n s d
（显然）
（2）
（证明见下页）
20
证明：
1 n s d d (1 i ) 1
m
28
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次
支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1 0
1
1 4
1 5
1 6
3
1 7
1 8
1 9
s 7|
1
2
a 7|
3
a 7|
10
7| s
11
12
2
29
年金的现值等于
v a 7| a 9| a 2|
2
按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金 （annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。
按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金 （deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnnuity)。
an v v v
2
n

v (1 v )
n
1 v

1 v i
n
6
an
1 v i
n
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s n
s n 的表达式
n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 s n |i ， i 表示 每期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的积累值是 (1 i ) n 1 ，在第二个时 期末付款1的积累值为 (1 i ) 款1的积累值为1。
n
d

dv
n n
1 v
d
d

1 v
n

1 an
（参见下图解释）
21
1
1 an 1 an 1 an 1 an
0
……
n
1 d
1 sn
d
1 sn
d
d
d
1 sn
1
22
3、期初付年金和期末付年金的比较
期末付年金 期初付年金
an
1 v i
n
an
n
1 v d
n
sn
(1 i ) 1 i
sn
(1 i ) 1
n
d
23
期末付年金与期初付年金的关系
（1）
a n | (1 i ) a n |
1 v
n 1 an 1 v v
( v v v ) (1 i ) a n
也等于
3 v a 7| a10| a 3|
1 0
1
1 4
1 5
1 6
3
1 7
1 8
1 9
s 7|
1
2
a 7|
3
a 7|
10
7| s
11
12
2
30
此年金在第12期的积累值等于
s 7| (1 i ) s10| s 3|
3
也等于
7| (1 i ) 2 9| 2| s s s
1 0
1
1 4
1 5
1 6
3
1 7
1 8
1 9
s 7|
1
2
a 7|
3
a 7|
10
7| s
11
12
2
31
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。
记号 a | 表示期末付永续年金的现值。
a| v v v
an 1 v v
n 1

1 v
n
1 v

1 v d
n
记号 ——表示期初付年金的积累值，i可省略 s
n |i
(1 i ) (1 i ) n (1 i )[1 (1 i ) sn
(1 i ) 1
n
n 1
等额年金(I) （Level Annuity）
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列
款项。
现在的含义：一系列的付款（或收款）。
2
年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金 (Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。
问题：请先推测大小？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为
1000 1.09
10
2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
（2）每年的利息为90万元，利息总额为 10×90＝900
14
（3）设每年的偿还额为R，则
R a10 1000
解得
R 1 5 5 .8 2
s n 1 (1 i ) (1 i )
n 1
n2
，……，第n个时期末付

1 (1 i )
n
1 (1 i )

(1 i ) 1
n
i
8
sn
(1 i ) 1
n
i
期末付定期年金的终值
9
一些等价关系式：
（1） 1 ia n v n
1
1
1
1
1
0
1
2
3
n-1
n
5
期末付年金的现值 a n
a n 的表达式
n期期末付年金的现值记为 a n |i ，a表示annuity，i表示每
期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款 1的现值为v 2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1 的现值为 v n ，故
3
本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate）
期初付年金（Annuity-due）
期初付与期末付年金的关系
延期年金（deferred annuity）
永续年金（Perpetuity）
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
1 i

v
n

1 v i
n
i
（参见下图）
34
现金流时间图
a n|
a|
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 n＋2 …… …… ……
v a|
n
0
1
2
…
n
n＋1
an
1 i

v
n

1 v i
n
i
35
年金公式比较
定期年金
年金 现值 期末付
an 1 v i 1 v d
n n
永续年金 积累值
a n 1 i
26
＝ 1 +
（4）
n | s n 1| 1 s
n n s n 1| 1 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) (1 i ) n | s
说明: 如果在第 n 期末虚设一次付款，那么将有(n + 1)次付款，其终 值为 s n 1| 。 从 s n 1| 中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元） ，即得原来 n 次付款的 终值 sn | 。
i
i (1 i ) 1
n
i

i i (1 i ) i
n
(1 i ) 1
n

i 1 v
n

1 an
解释：考虑 n 年，在第一年的年初投资 1 元，其价值与下述两个现金流等价： （Ａ）每年末获得
1 a n|
元；
（Ｂ）每年末获得 i 元的利息收入，在第 n 年末收回１元本金，而第 n 年末收回 １元本金又相当于在每年末收回
7 0 0 0 ( a | a 20 ) 7 0 0 0 ( 1 0 .0 7 1 0 .5 9 4 0 ) 2 5 8 4 2
38
从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49％，25％
和26％。
注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其 现值等于
1 1 .0 7
20
1 1 1 …… 1 1
n期
27
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。
0 1 2 … m m+1 … m+n
m|
an
an
1
…
1
1
推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个 m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。
延期年金现值为
m|
a n| v a n| a m n| a m |
在第2年的利率按什么计算？
以它投资时的利率i1计算 以第二年的利率i2计算
1
i1
i2
?
0
1
2
41
解决途径：
1、每笔款项以经历时期的利率计算
期末付年金的现值
a n | (1 i1 )
1
sn sn (1 i ) 1
n
a 1 d
1 i
i
n
期初付
an
(1 i ) 1 d
a
36
例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息
付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人
B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项 财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对 受益比例。
1 s n|
元。
1 s n| i 元。
11
换言之，第二个现金流相当于每年末收回
(参见下页图示）
1
1 an
1 an
1 an
1
an
0
……
n
1
i
1 sn
i
1 sn
i
i
1 sn
i+1
1 sn
12
例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为
9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。
本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。
故利息总额为155.82×10－1000＝558.2 结论：偿还越迟，利息总量越高。
15
2、 期初付年金（annuity-due）
期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。
1 0 1 1 1 2 1 3 …… …… 1
n-1
n
16
期初付定期年金的现值
17
期初付定期年金的终值
18
记号 an |i ——表示期初付年金的现值，i 可省略
2 n
（2）
n | (1 i ) s n | s
n 1
n (1 i ) (1 i ) (1 i )[1 (1 i ) s
n
] (1 i ) s n
24
（3） a n | 1 a n 1|
an 1 v v
2 3
v 1 v
n

1 i
lim a n | lim
n
1 v i
n

1 i
永续年金可看作将本金
i 1 i 1
1 i
按利率 i 投资，每期支付利
息
，本金持续进行投资。
32
记号 a | ——表示期初付永续年金的现值。
a| 1 v v
37
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是
7000 a10| 7000(7.0236) 49165
B所占的份额是
7 0 0 0 ( a 2 0| a1 0| ) 7 0 0 0 (1 0 .5 9 4 0 7 .0 2 3 6 ) 2 4 9 9 3
C所占的份额是
2
1 1 v

1 d
lim a n |
n
lim
1 d
1 v d
n
n
33
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差： 第一个是每年末付款1，现值为 ；
i

1
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值 为
v
n
，因此 n 年的期末付年金的现值等于
i
an
100000 25842
39
6、可变利率年金
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1， i 2， ， i t 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
i1 0
i2 1
2
in
n-1
n
40
例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它