高一数学不等式解法经典例题
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典型例题一
例1 解不等式：（1）01522
3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3
2
<-++x x x ．
分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或
0)( 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ⎩⎨ ⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图． 典型例题二 例2 解下列分式不等式： （1）2 2 123+-≤-x x ； （2）1273142 2<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为 )0(0) () (≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ⋅ ⇔ < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ⋅ = ⇔ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ ≤ ⋅ ⇔ ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ - + ≥ + - + - ⇔ ≥ + - + - ⇔ ≤ + - + + - ⇔ ≤ + - - - + ⇔ ≤ + - - ⇔ + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ⋃ - ⋃ - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + - < + - ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + - > + - ⇔ > + - + - ⇔ x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ⋃ ⋃ -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ⋅ - - - ⇔x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ⋂ ⋃ -∞ 典型例题三