基本不等式经典例题学生用
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题1、两个不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈r)当且仅当a=b时，等号成立；≤a+b(a>0,b>0)当且仅当a=b时，等号成立。
22、常用变形：(1)a+b≥a>0,b>0)⎛a+b⎛(2)⎛≥ab(a,b∈r)⎛2⎛2aba+b(3)≤≤a>0,b>0)a+b2基准1、1.若实数满足用户a+b=2，谋3+3的最小值xy2.若log4+log4=2，求ab211+的最小值xy基准2、未知x＞0,y＞0，且解：利用“1的代换”,∵19+=1，求x+y的最小值.xy1919y9x+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10++.∵x＞0,y＞0,xyxyxy∴y9xy9xy9x+≥2=6.当且仅当=，即y=3x时，挑等号.∙xyxyxy19+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.xy又变式训练1.未知正数a,b,x,y满足用户a+b=10,ab+=1，x+y的最小值为18，谋a,b 的值xy2.已知x,y为正实数，且2x+y=1，则基准3、未知0＜x＜解：∵0＜x＜21+的最小值为xy1，求函数y=x(1-3x)的最大值;31,∴1-3x＞0.3113x+(1-3x)211∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等33212611号成立.∴x=时，函数取得最大值.6121变式训练1.当x＞-1时，谋f(x)=x+的最小值.x+1x4+3x2+33.求函数y=的最小值.x2+1基准4、谋f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）lgx4444＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2(-lgx)(-)=4.lgxlgxlgxlgx解：∵0＜x＜1,∴lgx ＜0,∴lgx+1444≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时获得等号.100lgxlgxlgx则有f(x)=3+lgx+4(0＜x＜1)的最小值为-1.lgx变式训练1.未知x＜51，求函数y=4x-2+的最大值.44x-512.求函数y=x+的值域x基准5、1.未知a,b,c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>2.已知a>0,b>0,ab>0，求证⎛ab⎛+2⎛(a+b)≥42ba⎛⎛⎛1⎛⎛1⎛⎛1⎛-1⎛-1⎛-1⎛≥8⎛a⎛⎛b⎛⎛c⎛3.设a,b,c∈(0,∞)，且a+b+c=1，澄清1.若，且，则下列不等式中，恒成立的是().a.b.c.d.2.未知a.2b.，则的最小值就是().c.4d.53.下列结论正确的是().a.当且时，；b.当时，；c.当时，的最小值为2；d.当时，的最小值为24.设，若是与的等比中项，则的最小值为().a.8b.4c.1d.5.x+y=4,则xy的最大值就是（）22a.1b.1c.2d.421（）a6.若aa．有最小值2b.有最大值2c.存有最小值-2d.存有最大值-2。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：1.初二不等式的概念和基本性质2.经典例题1：解不等式|x - 3| < 13.经典例题2：解不等式-2x + 3 > 54.经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }5.总结与展望正文：一、初二不等式的概念和基本性质初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。
不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。
在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。
二、经典例题1：解不等式|x - 3| < 1这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和-(x - 3) < 1。
2.分别解这两个不等式，得到x < 4 和x > 2。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。
三、经典例题2：解不等式-2x + 3 > 5这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将常数项移到不等式左边，得到-2x > 2。
2.将不等式两边同时除以-2，并注意改变不等号方向，得到x < -1。
四、经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：1.解第一个不等式，得到x < 1。
2.解第二个不等式，得到x >3.5。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。
五、总结与展望初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。
通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)
基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式经典例题(学生用)
根本不等式 【2 】 常识点： 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ,则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2abab a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）留意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2)求最值的前提“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值规模.证实不等式.解决现实问题方面有普遍的运用 运用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技能一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.技能二：凑系数例： 当时,求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值.技能三： 分别换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.技能五：在运用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情形,. 例：求函数2y =的值域.技能六：整体代换（“1”的运用）多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的前提的一致性,不然就会出错.. 例：已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 技能七例：已知x,y 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y2 的最大值. 技能八：已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝1ab的最小值. 技能九.取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值. 运用二：运用均值不等式证实不等式例：已知a.b.c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 运用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模. 运用四：均值定理在比较大小中的运用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是.。
不等式的基本性质例题doc
第五章 一元一次不等式不等式的基本性质 例题例1 将下列不等式化成“x>a ”或“x<a ”的形式：(1) x-5>-1 (2) -2x>3解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x>-1+5即 x>4(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 -2x ÷(-2)<3÷(-2)即 32x <-例2 若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（ D ）>b >0<0 >-b解：将a-b<0 两边同时减去a 得-a>-b 故D 一定成立或者有a b <；而ab 与0的大小关系就不确定例3 若x 是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（ B ）>2x >2x2+x>2 +x2>2解：A 可以化为0x > 两边同时减去2xB 可化为 20x > 两边同时减去22xC 可化为 1x >- 两边减去3D 可化为 21x >-两边减去3又知x 是任意实数 显然20x >恒成立 故选B例4、已知a ＜b,用“＜”或“＞”号填空：(1) a-3_＜__b-3(2) 6a _＜__6b(3)–a_＞__-b(4) a-b_＜__0解：（1）在a b <两边同时减去3（2）在a b <两边同时乘以6（3）在a b <两边同时乘以-1（变号）（4）在a b <两边同时减去b例5 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x - 5＞-1（2）-2x＞3（3）2x- 1＜2（4）-x ＜5/6解：（1）4x>两边同时加5（2）32x<-两边同时除以-2（3）32x<先移项，再两边同时除以2（4）56x>-两边同时乘以-1例6、按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：（一般形式）(1)m＞n，两边都减去3；(2)m＞n，两边同乘以3；(3)m＞n，两边同乘以-3；(4)m＞n，两边同乘以m．解：(1)m-3＞n-3(2) 3m＞3n(3)-3m< -3n(4) m＞0时，不等式成立。
基本不等式经典题目
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2，解得x > 2。
2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3，解得x≤slant2。
4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。
6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。
7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。
8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)
专题：基本不等式的应用 （ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
专题07 基本不等式学霸必刷100题(解析版)
基本不等式学霸笔刷100题1．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．212+ B ．312+ C ．32D ．52【答案】B 【解析】 如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+31+，故选B.2．已知,,2a b R a b ∈+=，则221111a b +++的最大值为（ ） A ．1 B ．65C．12D ．2【答案】C 【解析】因为,,2a b R a b ∈+=，则()2222222112111+++=+++++a b a b ab a b ()()()()()()()22222222421626221251414+-+----====++-+-+-+-+a b ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab ab ， 令1=-t ab ，则()()2242142414---=+-+ab t t ab ，再令42-=t m，则42-=mt ， 所以()22242443248324844-===+-+-+-+t m m t m m m m m ，由基本不等式可得32+≥m m，当且仅当m =，2=-t4328≤=+-m m，所以221111a b +++的最大值为12. 故选：C3．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A 【解析】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数，199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A4．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3【答案】B【解析】x ，y ，z 为正实数，且22340x xy y z -+-=，根据基本不等式得22344z xy x y xy +=+，当且仅当x=2y 取等号，所以x=2y 时，xyz取得最大值1, 此时，221222222212y x y x x x y z xy xy xy x ++--+-=-==224444242x x x x x x--⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭,当1122x x =⇔=时,244x x -+取最大值1，212x y z+-的最大值为1,故选B. 5．已知实数,x y 满足()()22254x y -+-=，则()2221xy x x y -+-的最大值为（ ）AB ．617C ．1225D ．2512【答案】A 【解析】所求式()()2222(1)2121xy x x y x y x y --=+-+-，上下同除以(1)x y -得1211xy y x-+-，又1y x -的几何意义为圆上任意一点(),M x y 到定点()0,1N 的斜率，由图可得，当过()0,1N 的直线与圆相切时取得临界条件．当过M 坐标为()0,5时相切为一个临界条件，另一临界条件设:1(0)MN l y k x -=-，化成一般式得10kx y -+=，因为圆与直线相切，故圆心()2,5到直线10kx y -+=的距离225121k d k -+==+，所以221k k -=+22441k k k -+=+，解得34k =，故134y +x -⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，．设1y k x -=，则112121x y k y xk=-++-，又34k +⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，，故222k k k k +≥⋅=2k =1122124221x y k y xk=≤-++-，故选A ．6．若两个正实数x ，y 2222x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),82,-∞-⋃+∞B ．()(),28,-∞-+∞C ．(),2-∞D ．()2,8-【答案】D2222x y=1x y =.44x y x y x y ⎛⎫=+ 1616448y y x x xy x y ==+182166y xx y≥+⋅=.当且仅当16y xxy=，即64x =，4y =时等号成立， 若使得246x y m m +>-恒成立则需2166m m >-，即26160m m --<，解得28m -<<. 所以实数m 的取值范围是()2,8-.故选：D7．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） A ．6 B ．3 C ．6D ．3【答案】C【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. ， 2222222222a a cc c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时等立，21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选:C ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[6,8)B ．[6,8]C ．[4,6)D ．(4,6]【答案】A【解析】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选A ． 9．若正实数x y 、满足1x y +=，则2221x yx y +++的最小值是（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】设x 2s +=，y 1t +=，则s t x y 34+=++=，所以2221x y x y +=++22(2)(1)4142s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4141()62s t s t s t ⎛⎫⎛⎫=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为41141149()5444t s s t s t s t s t ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,1s t ==时取等号. 所以221214x y x y +≥++.故选:B . 10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB ．823π C ．1423π D ．42π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B11．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ） A ．8B ．3C ．3D ．3【答案】B 【解析】a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++22243ab ab cd ab cd ab cd +++=++4234abcd +=+，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+B ．12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（） A．B1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABC a b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C==. ∴tan 14CCπ，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin422ABC S ab C ∆=≤⨯+1=.故选：D .13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2163n n S a++的最小值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴a 32=a 1a 13， ∴（1+2d ）2=1+12d ，d ≠0，解得d =2．∴a n =1+2（n -1）=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2．∴2163n nS a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-，当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n nS a ++取到最小值4， 故选:A ．14．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设A 为抛物线上的动点，则AO AF的最大值为（） ABC ．5D ．3【答案】D【解析】由抛物线方程为：22(0)y px p =>，可得：焦点(2pF ，0)， 设(,)A m n ，则22n pm =，0m >，设A 到准线2px =-的距离等于d ，则||||||22AO AO AF d m m =====++． 令24p pm t -=，24p t >-，则4t p m p =+，∴2||11||3AOAF =+=234p t = 时，等号成立）． 故||||AO AF ，故选：D ． 15．若正数a 、b 满足()25ab a b =++，设()()412y a b a b =+---，则y 的最大值是（ ） A ．12 B ．-12C ．16D ．-16【答案】A 【解析】()25ab a b =++52ab a b -∴+=0a >、0b >52ab a b -∴+=≥解得25ab ≥()()412y a b a b =+---5541222ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭132922ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2132912116224ab ab y ab --⎛⎫⎛⎫∴==--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25ab ≥，max 12y ∴=当且仅当25ab =时取得最大值，故选：A16．过抛物线C ：24y x =焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P ，如图所示，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】因为双曲线的焦点(1,0)F ,所以设直线AB 的方程为(1)y k x =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则(1,2)P k --,将(1)y k x =-代入到24y x =,整理得2222(24)0k x k x k -++=, 则212222442k x x k k ++==+,21221k x x k==, 所以1212124(1)(1)()2y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=,1212124416164y y x x x x =-⋅=-=-=-, 所以11221212(1,2)(1,2)(1)(1)(2)(2)PA PB x y k x y k x x y k y k ⋅=++⋅++=+++++21212121212()4x x x x y y k y y k =+++++++2244121424k k k k=+++-+⨯+ 222244482488816k k k k =++≥⋅=+=,当且仅当2244k k=,即1k =±时取得等号.故选:C 17．已知01x <<，则1221x x +-的最小值为（ ）. A ．9B ．92C ．5D ．52【答案】B【解析】()111122522221121x x x x x x x x-+=+=++---.01x <<，0x ∴>且10x ->，()()111122222211x x x x x x x x--+⋅=--≥， 当且仅当()11221x x x x -=-，即13x =时，()11221x x x x-+-取得最小值2. 1221x x ∴+-的最小值为59222+=.故选B . 18．如图，在ΔABC 中，∠BAC =3π，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC的面积为332，则AP 的最小值为（ ）A ．3B 3C 6D ．6【答案】B【解析】因为3AD DB =，所以1223AP mAC AB mAC AD =+=+，由,,C P D 三点共线可得， 213m +=，即13m =，所以1132AP AC AB =+，由向量的模的公式可得，22222111111934964AP AC AB AC AB AC AB AC AB ，而133sin 23ABCS AB AC π==，可得6AB AC =，根据基本不等式， 2221111123964366APAC AB AC AB AB AC AB AC ，所以AP 的最小值为3B ．19．已知0>ω，若()22cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时，ω的取值集合为A ，对()2,x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()22cos sin cos f x x x x ωωω=+1cos 2112sin 2cos 2sin 21222x x x x ωωωω+=⋅+=++()sin 2A x ωθ=+，可知函数周期22T ππωω==，由题可知函数在区间72,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故该区间长度需小于等于半个周期，及2763121222T ππππωω-=≤=⇒≤，∴(0,6]A ⊆， 对于不等式902x x ω+->-，()2,x ∈+∞；设2x t -=，()0,t ∈+∞，2x t =+； ∴不等式等价于920t tω++->恒成立，及min 92t t ω⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，对于()0,t ∈+∞，96t t +≥=，∴8ω<，及集合()0,8B =，∴A B ⊆， “x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，故选：A 20．已知数列{}n a 满足121a =，14n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A．2- B ．454C ．10D ．11【答案】D【解析】因为121a =，14n n a a n +-=， 所以2141a a -=⨯，3242a a -=⨯⋯14(1)n n a a n --=⨯-累加得：14[123(1)]2(1)n a a n n n -=⨯++++-=-，所以22221n a n n =-+，故2122n a n n n=+-， 由于2121222n n n n+⋅212n n =，即2212n =，由于n N +∈， 所以当3n =时，na n的最小值为67211+-=.故选：D 21．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4 B ．C ．2D【答案】B【解析】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+ ，将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --=，由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄② OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③ ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x+=,结合②可得:4t =AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+，根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)，0m <时,2mm+≤-.(当且仅当m=) 所以k ≥故选:B.22．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ，因为关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a a b b b ∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥,所以10∆<和90∆<至多一个成立,同理可知,20∆<和80∆<至多一个成立,30∆<和70∆<至多一个成立,40∆<和60∆<至多一个成立, 所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个.故选:B 23．正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞【答案】D 【解析】190,0,1a b a b >>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立， 若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤，即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤6m ∴≥ ，实数m 的取值范围是[6,)+∞.故选D.24．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，，则，解得， ，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.25．若正数,x y 满足1915x y x y++=+，且1x y +≤，则（ ） A ．x 为定值，但y 的值不定 B ．x 不为定值，但y 是定值 C ．x ，y 均为定值 D ．x ，y 的值均不确定【答案】C【解析】由题得1999()()1919216y x y x x y x y x y x y++=+++≥++=，因为 1x y +≤，则有191516x y x y ++=+≤且1916x y +≥，故有191516x y x y++=+=，解方程组11916x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得13,44x y ==，x ，y 均为定值，故选C 。
利用基本不等式求最值(学生版)-高中数学
利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.222(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.93(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.153(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx-1+4yy-1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【题型3常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a>0，b>0，若2a+3b=1，则2a+b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.122(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.193(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=．【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-32(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x>2，则函数y=x+1x-1的最小值为3B.若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C.若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D.若x>1，y>0，x+y=2，则1x-1+2y的最小值为3+223(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是()A.yx+3y的最小值为4 B.xy的最大值为98C.x+2y的最大值为2D.x2+4y2的最小值为92【题型6多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.522【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+12(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.523(2023上·辽宁大连·高一期末)若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b+2b+1-1b的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【题型7实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y(单位：元)，AD长为x(单位：m).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的1 3．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+b cos2A=2a cos A cos B A≤B.(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P在A1C1上；(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥12(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤23(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.324(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为．5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是．7(2019·天津·高考真题)设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．。
基本不等式典型例题(学生版)
典题精讲----基本不等式
典题精讲
例1（1）已知0＜x ＜3
1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域.
变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11
+x 的最小值.
变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值.
例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9
=1，求x+y 的最小值
例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最大值（0＜x ＜1）.
变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
变式训练1已知x ＜
45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+3
28-x 的最大值.
例4如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积
最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过26米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.。
高一基本不等式题型归纳
高一基本不等式题型归纳一、利用基本不等式求最值1. 积定和最小- 例1：已知x>0，y>0，且xy = 16，求x + y的最小值。
- 解析：根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知xy=16。
- 则x + y≥slant2√(xy)=2√(16)=8。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为xy = 16，所以x=y = 4时，x + y取得最小值8。
2. 和定积最大- 例2：已知x>0，y>0，x + y=8，求xy的最大值。
- 解析：由基本不等式xy≤slant((a + b)/(2))^2（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知x + y = 8。
- 则xy≤slant((x + y)/(2))^2=((8)/(2))^2 = 16。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为x + y = 8，所以x=y = 4时，xy取得最大值16。
二、基本不等式的变形应用1. 配凑法求最值- 例3：已知x> - 1，求y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}的最小值。
- 解析：- 因为x> - 1，则x+1>0。
- 对y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}进行变形，y=frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5。
- 根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)，这里a=x + 1，b=(4)/(x + 1)。
- 则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+5=2×2 +5=9。
- 当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即(x + 1)^2=4，因为x> - 1，所以x + 1 = 2，x=1时取等号，y的最小值为9。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。
- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。
- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。
- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。
- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。
所以y的最小值为2。
2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。
- 解析：因为x<0，则-x>0。
- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。
- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。
- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。
所以y的最大值为-2。
二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。
- 篱笆的周长C=2(x + y)。
- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。
- 则C = 2(x + y)≥slant40。
- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。
基本不等式全题型
题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )值域为________；(2)函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2x 2＋1·1x 2＋1－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)4．(2021·XX 期中)假设x >1，那么x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 x －13x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1a －2x－x 的最小值．解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 题型2 根本不等式反用ab ≤a ＋b2例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为__________；(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为__________．解析：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，183．(教材习题改编)0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解析：x 1－x 2＝x21－x2≤x 2＋1－x 22＝12. 4．0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23 解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值；解：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a4时取等号，故函数的最大值为a 28.题型三：利用根本不等式求最值2．t >0，那么函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．答案 －2例：当x >0时，那么f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例1：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；(2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x －3(x ＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项〞，可通过减3再加3，利用根本不等式后可出现定值．(2)“拆项〞，把函数式变为y ＝M ＋a M的形式．(1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1x －3＋(x －3)＋3≥21x －3·x －3＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5.(2)令x －3＝t ，那么x ＝t ＋3，且t ＞0.∴f (x )＝t ＋32－3t ＋3＋1t ＝t ＋1t＋3≥2t ·1t＋3＝5. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1时取等号，此时x ＝4，∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值〞条件时，常通过“添项〞到达目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋fax ＋b(a ≠0，c ≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋pt(p 为常数)型函数，要注意t 的取值X 围；例：设x >－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值； 解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 1．假设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，那么xy 的最大值是________．解析 由于x >0，y >0，那么x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案 815．x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，那么xy 的最大值为_______________．解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 3 6．(2021·XX 期中)x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，那么xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：32．m >0，n >0，且mn ＝81，那么m ＋n 的最小值为________．解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．答案：185．x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，那么z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.那么2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：2(2021·XX 高考)log 2a ＋log 2b ≥1，那么3a ＋9b的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析 由a x＝b y＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝〞成立，那么1x ＋1y的最大值为1. 答案 C6．(2021·)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝〞成立．答案 9例：假设正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，那么5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.4．假设正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，那么xy 的最小值是________． 答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝〞)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.例：x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，那么x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.3．假设x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值X 围； (2)求x ＋y 的取值X 围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 那么2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值X 围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x＋y 的取值X 围是[82－3,30)．例：a >b >0，那么a 2＋16ba －b的最小值是________．解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b取得最小值16.8．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，那么y 2xz的最小值是________．解析：由条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz取得最小值3.答案：3例：x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，假设xy ≥m －2恒成立，那么实数m 的最大值是________．解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.1．正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，那么实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xyx ＋y的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，那么实数a 的最小值为________． 解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：325．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，那么ab 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14答案 A解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.典例：(12分)a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 的最小值．易错分析 在求最值时两次使用根本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用根本不等式，但是利用根本不等式，必须保证“正、定、等〞，而且还要符合条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值X 围． 规X 解答解 方法一 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab ＋1ab －3ab 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＝254.[10分]当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分]方法二 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2ab ab＝2ab＋ab －2.[8分]令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上是单调递减的，[10分]∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比拟容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用根本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否那么求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)此题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧1．根本不等式具有将“和式〞转化为“积式〞和将“积式〞转化为“和式〞的放缩功能，常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的构造特点，选择好利用根本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用根本不等式，有时对给定的代数式要进展适当变形．比方：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4.(2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163.失误与防X1．使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等〞的无视．要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧，使其满足重要不等式中“正〞“定〞“等〞的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型四：利用根本不等式整体换元例2：假设正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值X 围． 思维突破：此题主要考察均值不等式在求最值时的运用，并表达了换元法、构造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0.即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号．又∵ab ≤a ＋b2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值X 围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，那么b ＝a ＋3a －1. ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1，a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2()a －1·4a －1＋2＝6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值X 围是[6，＋∞)．技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b .例3：正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，那么1a ＋1b的最小值是____．试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋2b a ＋ab≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2.易错点评：屡次利用根本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。
中学数学 基本不等式求最值 (含答案)
基本不等式终极版例1. 已知正数 x ，y 满足x +2y =1，则 1x+1y的最小值是 .解：1x +1y=(1x +1y )(x +2y )≥3+2√2变1： 已知正数 x ，y 满足x +2y =1，则 1x+xy的最小值是 .解：1x+x y=x+2y x+xy≥1+2√2变2： 已知正数 x ，y 满足x +y =1，则4x+1+9y+2的最小值是 . 解：4x+1+9y+2=（4x+1+9y+2）(x+1)+（y+2）4≥254变3：已知实数 x ，y 满足 x >y >0 满足x +y =2，则 2x+3y+1x−y的最小值是 .解：2x+3y+1x−y=（2x+3y+1x−y）(x+3y )+（x−y ）4≥3+2√24变4：已知实数 x ，y 满足 x >0，y >0，则x 2x+y+y x+2y的最大值是 ；x x+2y+y 2x+y的最小值是 .解：x2x+y+yx+2y≜2m−n 3m+2n−m 3n=43−13(n m+m n)≤23x x +2y +y 2x +y ≜2n −m 3m +2m −n 3n =23(n m +m n )−23≥23例2. 已知正数 x，y 满足 xy+2x+y=4，则 x+y 的最小值是.解：∵正数x，y 满足 xy+2x+y=4∴消元 y=4−2xx−1（0<x<2）∴x+y =x+4−2xx+1=x+6−（2+2x）x+1=(x+1)+6x+1−3≥2√6−3变1：已知正数 x，y 满足 2x+y+6=xy，则 xy 的最小值是.解：2x+y+6=xy≥2√2xy+6⇒xy≥18变2：已知正数 x，y 满足 x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是.解：8=x+2y+2xy≤x+2y+(x+2y2)2⇒ x+2y ≥4变3：已知实数 x，y 满足 4x2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是.解：1=4x2+y2+xy=( 2x+y)2−3xy≥( 2x+y)2−32(2x+y2)2=58( 2x+y)2⇒2x+y ≤2√105变4：已知实数 x，y 满足 x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是.解：1=x2+y2+xy=( x+y)2−xy≥( x+y)2−(x+y2)2=34( x+y)2⇒x+y ≤2√3 3例3. 若a，b，c>0 且 a(a+b+c)+bc=4 ，则 2a+b+c 的最小值是.解：4=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)≤(2a+b+c2) 2⇒2a+b+c≥4变1：若a，b，c>0 且 a2+2ab+2ac+4bc=12 ，则 a+b+c 的最小值是.解：12=a2+2ab+2ac+4bc=(a+2b)(a+2c)≤(2a+2b+2c2)2=(a+b+c )2⇒a+b+c≥2√3例4. 设 x ，y ，z 为正数，满足 x −2y +3z =0，则 y 2xz的最小值是 . 解：x −2y +3z =0 ⇒(2y )2=(x +3z)2≥12xz ⇒y 2xz≥3变1：设 x ，y ，z 为正数，满足 x 2+y 2+z 2=1，则S = 1+z 2xyz的最小值是 .解：S = 1+z 2xyz≥1+z (x 2+y 2)z=1+z (1−z 2)z=1(1−z )z≥1(1−z+z 2)2=4变2：设 x ，y ，z 为正数，满足 x 2+y 2+z 2=1，则 S = 12xyz 2 的最小值是 .解：S = 12xyz2≥1(x 2+y 2)z2=1(1−z 2)z2≥1(1−z 2+z 22)2=4例5. 设 x ，y ，z 为正数，则 xy+yzx 2+y 2+z 2 的最大值是 .解：xy+yz x 2+y 2+z2=xy+yzx 2+ky 2+（1−k ）y 2+z2≤2√kxy+2√（1−k ）yz令2√k =2√（1−k ），则k =12，即2√k =√2∴xy +yz x 2+y 2+z 2≤√22变1：设 x ，y ，z 为正数，则x 2+y 2+z 2xy+2yz的最小值是 .解：x 2+y 2+z 2xy+2yz=x 2+ky 2+（1−k ）y 2+z 2xy+2yz≥2√kxy+2√（1−k ）yzxy+2yz令2√k ：2√（1−k ）=1:2，则k =15，即2√k =√5∴x 2+y 2+z 2xy +2yz ≥2√55。
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基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*,R
b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”
）
3.若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11
1
22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
4.若0>ab ，则2≥+a b
b a
(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2
a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (
当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2)2(2
2
2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值
例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 （2）y ＝x ＋1
x
技巧一：凑项
例 已知5
4x <，求函数1
4245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数
例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设23
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离换元
例：求2710
(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a
f x x x =+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
例：已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值。
技巧七
例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值. 技巧九、取平方
例: 求函数15
()22
y x =<<的最大值。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。