中考数学中的折叠问题

D

E

中考数学中的折叠问题

为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）

A 、85°

B 、90°

C 、95°

D 、100°

分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，

''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，

则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11

()18022

BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。

例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、

'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ）

A 、31°

B 、28°

C 、24°

D 、22°

分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1

tan 2

BOC ∠=，则点'

A 的坐标为 。

分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

图1

D C

F

(甲)(乙)

例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同．．的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。

例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A 与边CD 上的点E 重合。 (1) 如果折痕FG 分别与AD 、AB 交于点F 、G （如图1），AF=

2

3

，求DE 的长；(2) 如果折痕FG 分别与CD 、AB 交于点F 、G （如图2），△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长。

分析与解答：（1）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，AF=

23，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=2

3

。 ∴DF=AD-AF=13 ，在Rt △DEF 中,由勾股定理得 2

2

213333DE ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

（2）设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO=EO ， 取AD 的中点M ，连接MO ，则MO=

1

2

DE ，图2

D F

E C

M

N O

MO ∥DC 。设DE x =，则 1

2

MO x =

，在矩形ABCD 中， ∠C=∠D=90° ∴AE 为△AED 的外接圆的直径， O 为圆心。延长MO 交BC 于 点N ，则ON ∥CD ，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形。 ∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=1

22

x - ∵ △AED 的外接圆与BC 相切，∴ ON 是△AED 的外接圆的半径。 ∴ OE=ON=1

22x -

，AE=2ON=4-x 。在Rt △AED 中，222AD DE AE += ∴2221(4)x x +=- 解这个方程，得158x =。∴158DE =，117

2216

OE x =-=。

根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴ ∠FOE=∠D=90°。 又 ∵∠FEO=∠AED ，∴△FEO ∽△AED ，∴FO OE AD DE =， ∴OE FO AD DE =⨯ 可得17

30

FO =

又AB ∥CD ， ∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ∴△FEO ≌△GAO ∴FO=GO ∴17215FG FO ==， ∴折痕FG 的长是17

15

。

中考实战一:

一、选择题

1.（德州市）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（ ） A ．4 B ．3

C ．4

D ．8

2.（江西省）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于E ，若∠DBC ＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）

A ．6个

B ．5个

C ．4个

D ．3个

3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）

Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30