2019高考数学考点突破——直线与圆直线与圆圆与圆的位置关系学案

直线与圆、圆与圆的位置关系

【考点梳理】

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d

d>r⇔相离．

(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).

方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的

关系

代数法：联立两个圆的方程组成方

程组的解的情况

相离d>r1＋r2无解

外切d＝r1＋r2一组实数解

相交|r2－r1|

内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解

内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解

【考点突破】

考点一、直线与圆的位置关系

【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( ) A．相交B．相切

C．相离D．不确定

(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________.

[答案] (1) A (2) －3＜k＜ 3

[解析] (1)法一：∵圆心(0，1)到直线l的距离d＝|m|

m2＋1

<1< 5.

1

2

故直线l 与圆相交．

法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)，∵点(1，1)在圆C ：x 2

＋(y －1)2

＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．

(2)法一 将直线方程代入圆方程，得(k 2

＋1)x 2

＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2

－12(k 2

＋1)＜0，解得－3＜k ＜ 3.

法二 圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝

2

k 2＋1

，直线与圆没有公共点的充要条件是

d ＞1，即

2

k 2＋1

＞1，解得－3＜k ＜ 3.

【类题通法】

判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 【对点训练】

1．圆(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．相交过圆心

D ．相离

[答案] B

[解析] 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|

22＋12

＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.

2．已知直线y ＝mx 与圆x 2

＋y 2

－4x ＋2＝0相切，则m 值为( ) A ．±3 B ．±33 C ．±3

2

D ．±1 [答案] D

[解析] 将y ＝mx 代入x 2

＋y 2

－4x ＋2＝0，得(1＋m 2

)x 2

－4x ＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2

－4(1＋m 2

)×2＝8(1－m 2

)＝0，解得m ＝±1.

3

考点二、圆的切线、弦长问题

【例2】设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2

＋y 2

－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.

[答案] 4π

[解析] 圆C ：x 2

＋y 2

－2ay －2＝0，即C :x 2

＋(y －a )2

＝a 2

＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a

2

＝2，所以圆的面积为π(a 2

＋2)＝4π. 【类题通法】 弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2

－d 2

. 【对点训练】

过点(3，1)作圆(x －2)2

＋(y －2)2

＝4的弦，其中最短弦的长为________. [答案] 2 2

[解析] 设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222

－（2）2

＝2 2.

【例3】过点P (2，4)引圆(x －1)2

＋(y －1)2

＝1的切线，则切线方程为________. [答案] x ＝2或4x －3y ＋4＝0

[解析] 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0， ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，