联合分布函数

解:F (, ) A[B ][C ] 1
2
2
F ( ,
y)


A[B
][C
arctg(
y )]
0
2
3
F ( x, ) A[B arctg( x )][C ] 0
2
2

1
BC 2
A2
P{0 X 2,0 Y 3} F (0,0) F (2,3) F (0,3) F (2,0) 1 16
一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规
律
二. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称
内的概率。
1
解(1)由归一性


f(x, y)dxdy = Ae-(2x+3y)dxdy = 1
－ －
00
1
1
A 6 (2)F(1,1) 1 6e(2x3 y)dxdy (1 e2 )(1 e3 ) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6
概率与统计
第十讲 二维随机变量
开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@sohu.com 主页 http://stat.9126.com
2.4 二维随机变量
一、 多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一
个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为 n维随机变量。
(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P82)
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x
1 12
)2

2
(
x1 )(y 12
2
)

(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0、 2>0、| |<1，则称(X, Y) 服从参
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... P1j ... x2 p21 p22 ... P2j ...
xi
pi1 pi2 ... Pij ...
n维离散型的，称 P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn) ∈Rn 为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。
多维随机变量
离散型
分布函数
连续型
归一性
归一性 矩形概率
归一性 P{(X,Y)G}
EX:随机变量（X，Y）的概率密度为
e y 0 x y f (x, y)
对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负 函数f (x, y)，使对(x, y)R2，
xy
其分布函数 F( x, y) f (u,v)dudv,
则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为
(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密 度函数，可记为
(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1).
(x1, y2)
(x2, y2)
Baidu Nhomakorabea(x1, y1)
(x2, y1)
y3
已知随机变量(X,Y) 的分布函数F (x,y),
y2
求(X,Y)落在如图区 域G内的概率.
y1
答:
x1
x2
x3
P{(X ,Y )G} [F( x2 , y1 ) F( x3 , y3 ) ( x2 , y3 ) ( x3 , y1 )] [F( x1, y2 ) F( x2 , y3 ) ( x1, y3 ) ( x2 , y2 )]
(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有
2F(x, y) f ( x, y);
xy
(4)对于任意平面区域G R2,
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy.
G
设
1 ( X ,Y ) ~ f ( x, y) 0
求:P{X>Y}
0 x 1,0 y 1
F ( x, ) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0

0)
2、联合密度f(x, y)的性质(p78)
(1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2;

(2)归一性： f (x, y)dxdy 1; － －
反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是 某个二维连续型随机变量的密度函数。
此外，f (x, y)还有下述性质
1 第 二 次 摸 到 红 球 Y 0 第 二 次 摸 到 白 球
Y X
1
0
P{ X
1,Y

1}
P22 P52
P{ X

1,Y

0}
23 P52
32
11 3
P{ X 0,Y 1} P52
10 10
03
3
10 10
P{ X

0,Y

0}
P32 P52
四.二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义
分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,
且 F (, ) lim F ( x, y) 1 x y
F ( , ) lim F ( x, y) 0 x y F ( , y) lim F ( x, y) 0 x
解:
(1)
f
(
x,
y)

1 0
(x, y) D others
SD 1
11 1 SG 2 2 1 4
1
(2)P{Y 2X } 4 1
1 4
S3

1 2
1
1 2

1 4
(3)F(0.5,0.5) 1 4
G {Y 2X }
H {X 0.5,Y 0.5} H
... ...
... ... ... ... ... ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ；
(2) pij＝1 i 1 j1
例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令
1 第 一 次 摸 到 红 球,求(X,Y)的分布律。
X 0 第 一 次 摸 到 白 球
三.联合分布律
(P76)若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值 (xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为 二维离散型随机变量。
若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则 称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ， (i, j＝1, 2, … )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布 律，或随机变量X与Y的联合分布律. 可记为
F(x,y)=P{Xx, Yy} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
几何意义：分布函数F( x0 , y0 ) 表示随机点(X,Y)落在区域
x, y, x x0 , y y0
中的概率。如图阴影部分：
对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ),则 P{x1<X x2， y1<Yy2 }
others
y1
1x
1
P{ X
Y}


0
dx 1 dy
0

2
1x
例3.
设
Ae(2x3 y) , x 0, y 0
(X,Y ) ~ f (x, y)
0, 其 它
求：(1)常数A；(2) F(1,1)；
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6
数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为
( X ,Y )
~
N
(

1
,

2
,

2 1
,

2 2
,

)
分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。
事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)，
F(x1, x2, … , xn)＝P(X1 x1, X2 x2, … , Xn xn)
内的概率。
解
P{(X ,Y ) D} 6e(2x3 y)dxdy
D
3
22 x 3
dx 6e(2 x3 y)dy
0
0
1 7e6
3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布*
若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
(
x,
y)


D的1面积，( x,

lim
yy
0
F(x,
y)

F(x,
y0
).
F(x0

0,
y)

lim
xx0
F(x,
y)

F(x0 ,
y);
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
y)

D

R2
0
,其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布 ，对D内任意区域G，有
P{( X ,Y } G} SG SD
例4.设(X,Y)服从如图区 域D上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数，
或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数。 定义. n维随机变量(X1,X2,...Xn)， 如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的 n元立方体
D x1,... xn : a1 x b1,...an x bn
0 others
求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Y y0} y
答: P{X0}=0
1
D
P{X 1} dx e ydy 1 e1
0x
P{Y

y0
y0
}


0
dx
y0 e ydy
x
0
y0 0 y0 0
x
反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F ( x, y) A[B arctg( x )][C arctg( y )]
2
3
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
PX1...Xn D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称 f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
定义. 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上 的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为