根的判别式的综合应用
第09讲根的判别式及其应用(原卷版)2
第09讲 根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x ，2x ． 那么可推得1212,b c x x x x a a+=-=． 这是一元二次方程根与系数的关系 【考点剖析】题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx -++=根的判别式的值为4，求m 的值．例2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【变式1】一元二次方程220x x --=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定.【变式2】关于x 的方程210x mx m -+-=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根.【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x --=B. 2210x x -+=C. 220x x -=D. 225x x -=-【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax -+=有两个相等的实数根.【变式5】已知方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况． 【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k -+-=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k --=有两个不相等的实数根．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k --=--≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++-=有实数根，求m 的取值范围．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m -++=的根的情况如何?【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积（1）2310x x -+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x --=，12x x += ________；12x x =________． 【变式1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一根及k 值．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m -+=的一个根是1，求另一根及m 值．【变式3】如果5-是方程25100x bx +-=的一个根，求另一个根及b 值．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值．（1）12x x ==； （2）1222x x =-+=--【变式5】设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，求()()1211x x ++的值．【变式6】已知方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠04．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝05．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．10．（2022秋•闵行区校级期中）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．21．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．28．（2022秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+5）x+（m+4）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根．。
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
专题学习 根的判别式的综合运用
专题学习 一元二次方程根的判别式的综合运用【学习目标】1.判定方程根的情况。
2.利用判别式建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围。
3.利用判别式解决相关证明问题。
【知识储备】1．叫做一元二次方程的根的判别式2. 方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根【难点突破】利用判别式，判定根的情况及参数取值范围。
【典例精讲】例1、关于x 的方程（1）有两个相等的实数根，求的取值范围。
（2）有两个不相等等的实数根，求的取值范围。
（3）无实数根，求的取值范围。
（4）有实数根，求的取值范围。
（5）若方程的一个根为-2，求另一个根及值方法点拔： 练习：1、若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 。
2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
3、已知关于的方程，求证：取任意实数时，方程总有实数根。
24b ac ∆=-20(0)ax bx c a ++=≠0∆>⇔0∆=⇔0∆<⇔()2120m x mx m -++=m m m m m x 0122=-+x k x k x 2(21)0kxk x k --+=k x 23(1)230mxm x m --+-=m例2、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值方法点拔：练习：已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：例3、已知是△的三边，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，是判断△的形状。
方法点拔：练习：已知是△的三边，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状并说明理由。
【专题总结】1、运用判别式 ，求方程中待定系数的值或取值范围。
2、利用判别式，解决化简求值问题。
3、利用判别式，判定三角形的形状。
x ()2100ax bx a ++=≠4)2(22-+-b b a x 222(1)50x m x m ++++=1m -+,,a b c ABC 1,c 4a ==x 240x x b -+=ABC ,,a b c ABC 0m >x 22()()20c x m b x m ++--=ABC。
2024九年级数学下册提练第3招根的判别式的八种常见应用课件新版新人教版
(2)若一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数 y＝mx
(m≠0)b(k≠0)的图象与反比例函
数 y＝mx (m≠0)的图象只有一个交点，
y＝2x＋12，
∴y＝mx
只有一组解，
即2x2＋12x－m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝122－4×2×(－m)＝0，∴m＝－18. 把m＝－18代入2x2＋12x－m＝0，求得该方程的解为 x1＝x2＝－3， 把x＝－3代入y＝2x＋12，得y＝6， ∴所求的交点坐标为(－3，6)．
【解】△ABC是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0， ∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形．
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程 的根． 【解】如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c． 当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0. ∴x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1.
如图，过B作HF⊥x轴，过A作AH⊥HF于H，过E作 EF⊥HF于F，
则 AH＝1，BH＝2，EF＝4，BF＝4，HF＝6，
∴S△ABE＝S 梯形 AEFH－S△BEF－S△ABH＝ (AH＋E2F)×HF－EF×2BF－AH×2BH＝ (1＋24)×6－4×24－1×22＝6，∴A，B 两点的坐标分别为 (1，4)，(2，2)，△ABE 的面积为 6.
(3)直线y＝mx－3m绕点C旋转，直接写出当直线与反比例 函数的图象无交点时m的取值范围. 【解】由题意知 C(3，0)， 令 mx－3m＝4x，整理得 mx2－3mx－4＝0， 令 Δ＝9m2＋16m＜0，解得－196＜m＜0， ∴当直线与反比例函数的图象无交点时 m 的取值范围 为－196＜m＜0.
根的判别式的综合应用
专题根的判别式的综合应用一、根的判别式与一次函数的综合应用1．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第( )象限．A．四B．三C．二D．一2．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、根的判别式与配方法的综合应用3．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．三、整数根问题4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．四、根的判别式与特殊三角形的综合应用5．已知a，b，c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)的三边长，则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是( )A．方程无实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．无法判断6．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．7．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．。
多项式方程根的判别式的六种常见应用
多项式方程根的判别式的六种常见应用介绍多项式方程的判别式是用来判断方程的根的性质和数量的一个工具。
在数学中，多项式方程的形式可以表示为：ax^n + bx^(n-1) + ... + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、...、e是实数或复数，n是多项式的次数。
通过判别式的计算，可以得出方程的解的一些重要信息。
六种常见应用以下是判别式在多项式方程中的六种常见应用：1. 二次方程的判别式二次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac如果判别式Δ大于0，方程有两个不相等的实根；如果判别式Δ等于0，方程有两个相等的实根；如果判别式Δ小于0，方程没有实根，但可以有两个共轭复根。
2. 三次方程的判别式三次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2如果判别式Δ大于0，方程有一个实根和两个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有三个实根；如果判别式Δ等于0，方程有一个实根和两个共轭重根。
3. 四次方程的判别式四次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd如果判别式Δ大于0，方程有两个实根和两个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有四个实根；如果判别式Δ等于0，方程有两个实根和两个共轭重根。
4. 五次方程的判别式五次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = −b^6c^4 + 6a^2b^4c^2 + 36a^2b^2c^3 - 4a^3c^3d - 4a^3b^5d + 16a^4b^3d^2 -18a^4bc^2d^2 − 27a^4a^2d^4 + 144a^3b^2c^2d^2 - 80a^3bcd^3 - 6a^2b^6d +144a^2b^3cd^3 + 128a^2b^2c^4d − 27abc^4d^3 + 1458abc^2d^4 + 256b^4c^5d +16b^7d^2 - 128b^5c^2d^3 + 432b^5cd^4 + 256b^4c^6 −144b^3c^4d^2 - 128b^3c^5d如果判别式Δ大于0，方程有一个实根和四个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有五个实根；如果判别式Δ等于0，方程有一个实根和四个共轭重根。
根的判别式的六种常见应用 (共15张PPT)
1. 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有无实数根． ∵x2－2x－m＝0没有实数根， 解： ∴Δ1＝(－2)2－4· (－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4· m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的
故当m为1时，▱ABCD是菱形． 1 2 此时原方程为x －x＋ ＝0， 4 1 解得x1＝x2＝ . 2 1 即菱形ABCD的边长为 . 2
(2)由题意知2是关于x的方程x2－mx＋
的一个根，
1 m － ＝0 4 2
1 m ∴将x＝2代入原方程得4－2m＋ － ＝0， 4 2 5 5 2 解得m＝ ，故原方程为x － x＋1＝0， 2 2 1 1 解得x1＝2，x2＝ . ∴AD＝ . 2 2 骣 1÷ 2+ ÷ 故▱ABCD的周长为2× ç ＝5. ç ÷ ç 桫 2
应用
6
利用根的判别式探求菱形条件
7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 1 m 2 x －mx＋ － ＝0的两个根． 4 2 (1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的
边长． (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？
(1)由题意，得Δ＝0， 解： 骣 m 1÷ 2 2－2m＋1＝0. ç - ÷ 即m －4 ç ＝ m ç 桫 2 4÷ ∴m＝1.
应用
4 利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝ k－1 x＋1是关于x的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 ( A )
A．没有实数根
B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
根的判别式的综合运用
第17课时：根的判别式的综合运用班级_________ 姓名__________学号【典型例题】 一、选择题：1、下列方程中，一定有根的有（ ）（1）x 2+x －1＝0 （2）x 2＋mx －1＝0 （3）ay 2+y －a=0 （4）x x 3232=+ A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、若关于x 的一元二次方程ax 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A 、a ≤4且a ≠0 B 、a ≥4 C 、a ＜4 D 、a ＜4且a ≠0 3、若代数式x 2＋ax ＋1是完全平方式，则a 等于（ ）A 、2B 、－2C 、±2D 、0 4、方程2x 2+3x －4=0的根的情况是（ ）A 、有两个相等的实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有一个实数根D 、没有没有实数根 5、已知关于x 的方程0m x )3m (x 4122=+--有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数根是（ ）A 、2B 、1C 、0D 、－1 二、填空题：1、关于x 的一元二次方程x 2+m 2x －1＝0的根的情况是 ；2、若关于x 的方程kx 2－5x ＋4＝0没有实数根，则k 的取值范围是 ；3、若关于x 的一元二次方程2x 2＋（4m ＋1）x ＋2m 2－1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值范围是 ；4、请写出一个值k ＝______，使一元二次方程x 2－7x ＋k ＝0有两个不相等的非0实数根；（答案不唯一） 三、解答题：1、已知关于x 的方程x 2－2(a －2)x+a 2＝0（1）有两个不相等实数根，求a 的取值范围；（2）有两个相等的实数根，求出a 的值，并求出此时方程的根； （3）有实数根，求a 的最大整数根；2、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根，求4m 4m )m 1(22+-+-的值；3、要使关于x 的方程(a －4)x 2－2(a －1)x+a=0有实数根，a 应满足什么条件？4、已知关于x 的一元二次方程(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b=0有两个相等的实数根，试判断以a 、b 、c 为三边的△ABC 的形状。
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用◐名师点金◑对于一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0),式子ac b 42-的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况。
反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知方程022=--m x x 没有实数根,其中m 是实数,试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有无实 数根。
2.已知关于x 的方程01222=-+-m mx x 。
(1)不解方程,判断方程根的情况。
(2)若方程有一个根为3,求m 的值。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3.已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-x m mx .(1)证明:不论m 为何值,方程总有实数根;(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?应用3：利用根的判别式求代数式的值4. 已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根,求m m m 2)12(12+--的值。
应用4：利用根的判别式解与函数综合问题 5.11+-=x k y 是关于x 的一次函数,则关于x 的一元二次方程0122=++x kx 的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6.已知a,b,c 是三角形的三边长,且关于x 的一元二次方程04)(2=-+++c a bx x c a 有两个相等的实数根， 试判断此三角形的形状。
应用6：利用根的判别式探求菱形条件7.已知□ABCD 的两边AB,AD 的长是关于x 的方程04122=-+-m mx x 的两个根。
(1)m 为何值时,□ABCD 是菱形?并求出菱形的边长。
(2)若AB 的长为2,求口ABCD 的周长是多少?。
八下提练第7招根的判别式根与系数的关系的综合应用习题鲁教版五四制
(a2
1 021－2)(b2
021－2)＝－12[(12－13)＋(13－14)＋…＋(2
0121－
2 0122)]＝－12×(12－2 0122)＝－12×12 001202＝－2500252.
4．[2023·枣庄薛城区月考]已知不相等的实数 a，b 满足 a2－3a－1＝0，b2－3b－1＝0，求ba＋ab的值． 【解】∵不相等的实数 a，b 满足 a2－3a－1＝0，b2－ 3b－1＝0，∴a，b 可看作是方程 x2－3x－1＝0 的两实数 解．∴a＋b＝3，ab＝－1. ∴原式＝a2＋abb2＝(a＋ba)2b－2ab＝32－－2×1(－1)＝－11.
8．[2023·湖北改编]已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两 个实数根为x1，x2，x1x2＋2x1＋2x2＝1，求k的值． 【解】∵一元二次方程 x2－3x＋k＝0 的两个实数根为 x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1·x2＝k.∵x1x2＋2x1＋2x2＝1， ∴k＋2×3＝1，解得 k＝－5.又∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k≥0，解得 k≤94.综上，k＝－5.
【解】x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0， ∴x－2＝0或x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝1， 则方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程(x－2)(x－m)＝0是“倍根方程”，求代 数式m2＋2m＋2的值． 【解】(x－2)(x－m)＝0，∴x－2＝0或x－m＝0，解得 x1＝2，x2＝m.∵(x－2)(x－m)＝0是“倍根方程”，∴m＝ 4或m＝1.当m＝4时，m2＋2m＋2＝16＋8＋2＝26；当 m＝1时，m2＋2m＋2＝1＋2＋2＝5.综上，m2＋2m＋2 的值为26或5.
13．已知实数 a，b，c 满足a22a－2－a－ 2bcb－c＋b－ 1＝c＋0，2＝0. 求证：a≥1. 【证明】由题意知bc＝a2－a＋1，∴b＋c＝2a2－2bc＋ 2＝2a.∴b，c可看作是关于t的一元二次方程t2－2at＋a2 －a＋1＝0的两个实数根．∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0， 解得a≥1.
一元二次方程的根的判别式综合应用
一元二次方程的根的鉴别式学习指导一、基本知识点：1.根的鉴别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠可0)以用配方法将其2变形为: (x+b)2=b–4ac因为 a≠0，所以 4a2＞0，这样一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况可由 b2－4ac 来判断。
我们把 b2－4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的鉴别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿ =b2－4ac。
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠，0)当⊿ =b2－4ac＞0 时，有两个不相等的实数根；当⊿ =b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿ =b2－4ac＜0 时，没有实数根。
上述性质反过来也建立。
2.鉴别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)依照方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的鉴别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解鉴别式的性质，熟练灵便地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题剖析例 1 不解方程，判断以下方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8 3x+3=0(3)( 3－ 2)x2－ 5x+ 10=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0 (k 为常数 )(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m 为常数 )(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n 为常数 )解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴ 方程没有实数根(2)⊿=(－8 3)2－4×16×3=0∴ 方程有两个相等的实数根(3) ⊿=（－5)2－4( 3－2) ×10=5－4 30+8 5＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4× 1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－ (4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴ 方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－8042176=－12(n－3) －3＜0∴ 方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿ =b2－4ac，尔后对⊿ =b2－4ac进行化简或变形，使⊿ =b2－4ac的符号光明化，进而说明⊿ =b2－4ac的符号情况，得出结论。
6 一元二次方程根的判别式的综合应用(1)
知识要点
知识归纳
一、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac.
1、ax2+bx+c=0(a≠0)中， 方程有两个不等实数根.
2、ax2+bx+c=0(a≠0)中， 方程有两个相等实数根.
3、ax2+bx+c=0(a≠0)中， 方程没有实数根.
知识迁移
2、根的判别式逆用
4、ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根
5、ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根
6、ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根
思路分析
难点
一元二次方程根的判别式的综合应用
专题一：不解一元二次方程，判断根的情况.
思
维
导
图ห้องสมุดไป่ตู้
题型链接
（1）2x2+3x-4=0
(2)ax2+bx=0(a≠0)
迁
移
应
用
思路分析
题型链接
专题四：判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例:（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是
（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是
迁
移
应
用
思路分析
题型链接
专题五：证明字母系数方程有实数根或无实数根.
例:求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根.
迁
移
应
用
思路分析
根的判别式的十种常见应用(专题)
第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况（1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．（1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？类型四：应用根的判别式判断三角形的形状已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。
练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式（1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值；（2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。
练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？类型六：判断抛物线与直线的交点情况当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。
根系的判别式及应用
根系的判别式及应用根系是由一个多项式的所有根所构成的集合。
判别式是用来判断多项式的根系类型的代数量，它可用于对多项式进行分类和分析。
判别式的计算公式取决于多项式的次数和系数，不同的判别式对应于不同的根系类型。
在数学中，根系的判别式及其应用具有广泛的意义和应用。
下面将介绍根系的判别式及其应用方面的内容。
第一节：根系的判别式对于一个n次多项式f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+...+an-1x+an，它的判别式可以用来判断它的根系类型。
具体而言：1. 如果判别式Δ=∏(ai-aj)^2=0，则多项式f(x)有重根。
也就是说，多项式f(x)存在至少两个根相等的情况。
2. 如果判别式Δ>0，则多项式f(x)有n个不同的实根。
这意味着多项式f(x)的根是一个由不同实数构成的集合。
3. 如果判别式Δ<0，则多项式f(x)有n个不同的复根。
也就是说，多项式f(x)的根是一个由复数构成的集合。
需要注意的是，当多项式的次数特别高时，计算判别式可能会非常复杂。
因此，在实际应用中，我们通常使用计算机来计算判别式。
第二节：根系判别式的应用根系判别式在数学和其他领域有着广泛的应用。
以下是根系判别式的一些常见应用：1. 多项式的因式分解：根系判别式可以用来判断一个多项式是否可分解，并找到它的因式。
通过判断判别式的值和类型，我们可以确定多项式是否可以被因式分解，以及如何找到它的因式。
2. 求解方程：根系判别式可以帮助我们求解各种类型的方程。
根据判别式的值和类型，我们可以确定方程的根的数量、根的类型（实根或复根）以及根的位置。
3. 研究函数的性质：根系判别式可以用来研究函数的性质，特别是在寻找函数的极值点和拐点时。
通过计算判别式的值和类型，可以确定函数的拐点和极值点的位置，并研究它们的性质。
4. 优化问题：根系判别式在一些优化问题中也有应用。
通过计算判别式的值和类型，我们可以确定函数的最大值、最小值以及它们的位置，从而得出问题的最优解。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
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一元二次方程根的判别式的综合应用
1.用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣2x﹣5=0 （2）x（x）=4 （3）x（x﹣2）=3x+1
2.若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，求c的值.
3.关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围.
4.已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．
5. k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
6求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
7.已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
8.已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
证明：不论m为何值时，方程总有实数根
9.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，求整数a的最大值
10..已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)
B.ax 2+bx+c=0
232057
x +
-= 2下列方程中,常数项为零的是( )
A.x 2+x=1
B.2x 2-x-12=12；
C.2(x 2-1)=3(x-1)
D.2(x 2+1)=x+2
3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 2
31416x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭; D.都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=一个根是0，则a 为（ ）A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、
12 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一
根, 则这个三角形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
6.已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有两个实数根
7使分式2561
x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-
74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74
且k ≠0
9.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.
10.22____)(_____3-=+-x x x
11.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是
______.
12.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1,
则a= ______, b=______.
13.关于x 的二次方程2
0x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .
14.利用直接开平方法解下列方程
(1) 4（x-3）2=25 (2) 024)2x 3(2=-+
15利用配方法解下列方程
（1） 21
30
2x x ++=
（2）012632=--x x
16利用公式法解下列方程
（1）322-=-x x
（2）3x 2-5(2x+1)=0
17用适当方法解方程：
22(3)5x x -+=
230x ++=。