人教版数学高一必修4教学案3.2简单的三角恒等变换
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[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α
2是什么关系？
提示：倍角关系．
(2)如何用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2和tan 2 α
2
？
提示：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α
1＋cos α.
2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点
三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．
[问题思考]
(1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α
2
吗？
提示：tan_α
2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α
.
(2)如何用tan α
2
表示sin α，cos α及tan α？
提示：sin_α＝2sin α2·cos α
2
＝
2sin α2
·cos
α2sin 2
α
2
＋cos 2
α
2＝
2tan
α
2
1＋tan 2
α
2
._cos_α＝cos 2_α2－sin 2_α
2＝
cos 2 α2－sin 2
α2
cos 2 α2＋sin 2 α2＝1－tan 2 α21＋tan 2 α2.tan_α＝sin αcos α＝2tan α
2
1－tan 2
α2
.
[课前反思]
(1)半角公式的有理形式： ；
(2)半角公式的无理形式： .
讲一讲
1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α
2的值．
[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－4
5，
∴cos α＝－3
5，且π2<α2<3π4，
∴sin α
2＝
1－cos α2＝25
5， cos α
2
＝－ 1＋cos α2＝－5
5
，
tan α
2＝sin α
2cos α2
＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练
1．已知sin α2－cos α2＝－15
，450°<α<540°，求tan α
2的值．
解：由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α
2
－cos α22＝15，
即1－sin α＝15，得sin α＝4
5.
∵450°<α<540°， ∴cos α＝－3
5，
∴tan α2＝1－cos αsin α
＝1－⎝⎛⎭⎫－3545
＝2.
讲一讲
2．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2
－cos α
22＋2cos α(180°<α<360°)．
[尝试解答] 原式＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin α2－cos α22·2cos 2
α
2
＝2cos α2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2
＝cos α
2（－cos α）⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
cos α2.
又∵180°<α<360°， ∴90°<α
2<180°，
∴cos α
2
<0，
∴原式＝cos α
2
·（－cos α）－cos α
2
＝cos α.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
练一练 2．化简：
(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛
⎭
⎫3π
2<θ<2π； (2)sin （2α＋β）
sin α
－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪
sin θ2－cos θ2，
∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ
2<π， ∴0 从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝ ⎛ ⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ sin θ2－cos θ2 ＝－2sin θ 2 . (2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)， ∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin α sin α ＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α ＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α . 讲一讲 3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α 1＋cos α＋1－cos α＝ －2cos α 2 ； (2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin β cos β－A . [尝试解答] (1)左边＝ sin 2 α 2 ＋cos 2 α 2 ＋2sin α2cos α 2 1＋⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 2cos 2 α 2－1－ 1－⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ 1－2sin 2 α2＋