华师大版初中数学第19章 矩形、菱形与正方形 专题复习(共46张ppt)

【思路点拨】(1)易证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，从而 证得EH=GF，GH=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四 边形得证. (2)由题意，易证得∠EHG=90°，又由(1)知四边形EFGH是平行 四边形，故四边形EFGH是矩形.
【自主解答】(1)在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
2.(天津中考)如图，在边长为2的正方 形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E， 使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边 CD上，则DG的长为(
A. 3 1 C. 5 1 B.3 5 D. 5 1
)
【解析】选D.∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA＝2， ∵M为边AD的中点， ∴DM＝1，∴ME=MC= 12 22 5， ∴DG=DE= 5 -1.
4.(肇庆中考)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC， BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE. (2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形. ∴BE=AC，∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°，∴CD= 1 BD=
2.(厦门中考)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若 ∠BAC=50°，则∠ABC等于( )
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
【解析】选C．∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC= 1 ∠BAD，CB∥AD，
2
∵∠BAC=50°， ∴∠BAD=100°， ∵CB∥AD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠ABC=180°-100°=80°．
【中考集训】 1.(沈阳中考)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 则图中的等腰三角形有( )
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
【解析】选C.∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB， ∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD， △AOD都是等腰三角形，一共8个.
(2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH= 180 ＝90 ．
2 2
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH=
180 180 2 ＝ ． 2
2 1 ×8=4， 2
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8， 在Rt△BCD中，BC= BD 2 CD 2 82 42 4 3， ∴四边形ABED的面积= 1 (4+8)× 4 3 24 3.
2
考点 2 菱形的性质与判定
【知识点睛】
菱形的常用判定方法 已有条件 需要ຫໍສະໝຸດ Baidu件
【例3】(呼伦贝尔中考)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF=CE.
(1)求证：DE=DF.
(2)当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证 明你的结论.
【思路点拨】(1)DE⊥AC，
DF⊥AB→∠BFD=∠CED=90°→Rt△BDF≌Rt△CDE→DE=DF.
3.(大连中考)如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周 长是( )
A.20
B.24
C.28
D.40
【解析】选A．∵菱形对角线互相垂直平分，设O为AC，BD交点， ∴BO=OD=3，AO=OC=4， ∴AB= AO2 BO2 =5，故菱形的周长为20．
4.(温州中考)如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.将 △ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点 分别是D，E，F，连结AD. 求证：四边形ACFD是菱形.
(2)∠A=90°→四边形AFDE是矩形
DF=DE
结论.
【自主解答】(1)∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°， 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ∵BD=CD，BF=CE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DE=DF.
(2)四边形AFDE是正方形． 证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴四边形AFDE是矩形， 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE， ∴四边形AFDE是正方形．
2
2.(自贡中考)如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延 长交BC的延长线于点F，连结BD，DF，则图中全等的直角三角 形共有( )
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
【解析】选B.由矩形的性质可知，对角线分得的两个直角三角 形全等，又因为E是CD中点，故DE=CE，且∠AED=∠FEC， ∠ADE=∠FCE=90°，故△ADE≌△FCE，从而AD=CF，因此 △BDC≌△FDC，进而△ADB≌△CFD，所以全等的直角三角形共 有 4对 .
2.常用的判定方法： 已有条件 平行四边形 需要条件 有一个角是直角 邻角相等 对角线相等 一般四边形 有三个角是直角 对角线互相平分且相等
【例1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB， BC，CD，AD边上且AE=CG，AH=CF.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形. (2)如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形.
【归纳整合】菱形的判定思路 (1)分析条件判定四边形是一个平行四边形 . (2)从边或对角线的关系判定平行四边形是一个菱形，这是一 般的规律和方法.利用定义证明是最常用的办法.
5.(济宁中考)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB， DF∥AC，分别交AC，AB于点E和F.
(1)在图中画出线段DE和DF. (2)连结EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？
3.(盐城中考)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC， 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加 上的一个条件是 可). (填上你认为正确的一个答案即
【解析】∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，而 “有一个角是直角”的平行四边形是矩形，故可填的条件是： 四边形ABCD内有一个直角. 答案：∠A=90°(答案不唯一)
∴AM=NC，
∴△MBA≌△NDC.
(2)四边形MPNQ是菱形.
理由：∵△MBA≌△NDC，
∴MB=DN，∠ABM=∠CDN，
∵P，Q分别是BM，DN的中点. ∴PM=NQ， ∵∠ABM+∠CBM=90°，∠CDN+∠CND=90°， ∴∠CBM=∠CND， ∴PM∥NQ， ∴四边形MPNQ是平行四边形. 连结MN，由题意可得四边形AMNB是矩形，PN为直角三角形斜边 上的中线，故PN=MP， ∴四边形MPNQ是菱形.
邻边相等 平行四边形 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分
【例2】(娄底中考)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC 的中点，P，Q分别是BM，DN的中点.
(1)求证：△MBA≌△NDC. (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
【中考集训】 1.(成都中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是( )
A.AB∥DC C.AC⊥BD
B.AC=BD D.OA=OC
【解析】选B.菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC；菱形的对 角线一定垂直，所以AC⊥BD；菱形的对角线互相平分，所以 OA=OC；菱形的对角线不一定相等.
又∵M是AD的中点，∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM.
(2)四边形MENF是菱形.
证明：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NF∥ME，NF=ME，∴四边形MENF是平行四边形， 由(1)得BM=CM，∴ME=MF， ∴平行四边形MENF是菱形.即四边形MENF是菱形. (3)2∶1.
4.(鞍山中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延 长线上一点，且DF=BE.
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF.∴EH=GF.
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF. 又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D， ∴△BEF≌△DGH.∴GH=EF. ∴四边形EFGH是平行四边形.
(1)求证：CE=CF. (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【解析】(1)∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.
理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
【解析】(1)如图所示：
(2)∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD=∠EAD. ∵AB∥DE， ∴∠FAD=∠EDA， ∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED， ∴平行四边形AEDF是菱形， ∴AD与EF互相垂直平分.
考点 3 正方形的性质与判定 【知识点睛】 判定正方形的一般思路
【思路点拨】(1)先由矩形性质确定∠A=∠C，AB=DC，再说明 AM=NC，从而证明△MBA≌△NDC. (2)先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由PN=MP，可得四边形 MPNQ是菱形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=DC，AD=BC，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
即∠BCD=∠ECF=90°，
又∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°. ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF. ∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
第19章 专题复习
请写出框图中数字处的内容： 直角 ；②_____ 相等 ；③_____ 相等 ；④_____. 直角 ①_____
考点 1 矩形的性质与判定 【知识点睛】 矩形的性质与判定方法 1.性质应用： (1)证明线段的平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等或相似有关的问题.
【证明】方法一：∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， ∴AC=10cm. 由平移变换的性质，得 CF=AD=10cm，DF=AC， ∴AD=CF=AC=DF， ∴四边形ACFD是菱形.
方法二：由平移变换的性质， 得AD∥CF，AD=CF=10cm， ∴四边形ACFD是平行四边形. ∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， ∴AC=10cm. ∴AD=AC， ∴□ACFD是菱形.
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．
又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是矩形．
【中考集训】
1.(南通中考)如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝
120°，则AB的长为( )
A. 3 cm
B.2 cm
C. 2 3 cm
D.4 cm
【解析】选D．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝ 1 AC＝4 cm．
3.(青岛中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD， BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
(1)求证：△ABM≌△DCM. (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论. (3)当AD∶AB= 不需证明). 时，四边形MENF是正方形(只写结论，
【解析】(1)在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠D=90°，