连续传递函数离散化的方法与原理
4_连续信号的离散化与离散信号的连续化
• （3）采样过程的频域分析
– 采样后信号：
x p (t ) x(t ) p(t ), 其中 p(t )
– – 由FT的乘法性质，有
X p j
n
(t nT )
1 X j * P j 2π
2π ( k s ) – 上式中： P j T k
27
• 【拉格朗日线性插值】
x0 , y0 和 x1, y1 ，在上式中取 N 1 – 已知 y f ( x) 的两点，
–
p1 ( x ) y0 x x1 x x0 y y y1 =y0 1 0 ( x x0 ) x0 x1 x1 x0 x1 x0
cT sin[c (t nT )] xr (t ) x (nT ) c (t nT ) n
2016/6/2
大连理工大学
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• 理想冲激序列采样的时域分析
– 图中， xr (t ) xp (t )* h(t )
p(t ) x p (t )
n
X j * s X j s
–
2016/6/2
大连理工大学
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• 2. 采样过程的频域分析（续）
1 2π 1 X p j X j * P j X j * ( k ) s 2 2 π T k
– 频率混叠一旦出现，信号必然出现失真，无论采用什么 方法再进行后处理，都不能无失真地恢复原始连续时间 信号。 – 常用的方法：预滤波。即利用一个低通滤波器，使滤波 器的截止频率等于想要保留的信号的最高频率分量，而 将高于这个最高频率分量的所有频率成分滤除。 – 这样做看起来会丢失一定的信息，但是实际上对信号采 样的总体结果来说，由于避免了信号的频率混叠，一般 要比丢失一定的频率成分更有利。
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25 第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。
在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。
离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。
离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。
时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。
频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。
时域离散化方法：1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。
该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。
2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。
这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。
3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。
它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。
通过插值方法得到离散系统的输出值。
4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。
它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。
频域离散化方法：1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。
通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。
连续函数离散化-以SOGI为例
连续函数离散化-以SOGI为例0. 引⾔0.1 本⽂内容基于SOGI函数，将s域传递函数转换为离散的z域函数，并以m语⾔形式进⾏实现，在simulink中封装为m-function并进⾏验证0.2 学到什么离散化⽅法函数程序实现⽅法1. SOGI简介以TI官⽅⽂档中单相锁相环中SOGI应⽤为例框图如下所⽰正弦信号经过SOGI可得到同相信号及正交信号2. 传递函数同相传递函数H d(s)=v′v(s)=kωn ss2+kωn s+ω2n正交信号传递函数为H q(s)=qv′v(s)=kω2ns2+kωn s+ω2n3. 离散化采⽤双线性变换将s域函数离散⾄Z域3.1 ⼿动离散双线性变换公式为s=2T sz−1 z+1将式3代⼊式1得到H d(z)=kωn2T sz−1z+1(2T sz−1z+1)2+kωn(2T sz−1z+1)+ω2n这⾥使⽤以下两个替换x=2kωn T sy=(ωn T s)2得到H d (z )=x x +y +4+−x x +y +4z −21−2(4−y )x +y +4z −1−x −y −4x +y +4z −2=b 0+b 2z −21−a 1z −1−a 2z −2同理得到正交函数的离散形式H q (z )=k ⋅y x +y +4+2k ⋅y x +y +4z −1+k ⋅y x +y +4z −21−2(4−y )z −1−x −y −4z −2=qb 0+qb 1z −1+qb 2z −21−a 1z −a 2z 3.2 基于MATLAB 的离散⽅法看完上⾯的离散过程，很明显，太⿇烦，有没有简单点的⽅法呢？哎，还真有，MATLAB 只需要⼀条命令就能搞定MATLAB 中c2d 命令可通过多种离散⽅法将连续函数离散化，这⾥为保持⼀致，同样以双线性变换（tustin ）为例进⾏介绍(了解更多c2d 命令，请点击)具体⽤法如下sysd = c2d(sys,Ts,'method')其中，sys 与sysd 分别为离散前后函数，Ts 为采样周期，method 为离散化⽅式，这⾥就是tustin直接给出离散过程的MATLAB 代码%%定义s 为传递函数s = tf('s');%%定义各参数k = 0.5;Wn = 100*pi; %%50HzTs = 1e-4; %%10kHz%%写出传递函数Hd_s = k*Wn*s/(s^2+k*Wn*s+Wn^2);Hq_s = k*Wn^2/(s^2+k*Wn*s+Wn^2);Hd_z = c2d(Hd_s,Ts,'tustin')Hq_z = c2d(Hq_s,Ts,'tustin')运⾏结果为Hd_z =0.007791 z^2 - 0.007791-----------------------z^2 - 1.983 z + 0.9844Sample time: 0.0001 secondsDiscrete-time transfer function.Hq_z =0.0001224 z^2 + 0.0002448 z + 0.0001224---------------------------------------z^2 - 1.983 z + 0.9844Sample time: 0.0001 secondsDiscrete-time transfer function.3.3 对⽐()()()()()()()()()上⾯已经给出了采⽤MATLAB进⾏离散的结果，采⽤同样的参数，这⾥基于式5-8，给出传统计算⽅式的结果Parameter value Parameter valueb00.0078qb00.00012238b10qb10.00024476b2-0.0078qb20.00012238a1 1.9834a2-0.9844可能会看到，这⾥系数正负号与MATLAB计算出结果有所不同，这⾥实际结果没错哈，认为错了的⾃⼰好好检查！4.SOGI的程序实现既然已经得到离散的SOGI函数，如何将其写成程序呢，这⾥以MATLAB语⾔为例，C语⾔同理4.1 离散序列的获得根据式7和8，我们知道U o(z) i(z)=b0+b2z−21−a1z−1−a2z−2U qo(z)i==qb0+qb1z−1+qb2z−2 1−a1z−1−a2z−2容易写成序列⽅程U o(k)−a1U o(k−1)−a2U o(k−2)=b0U i(k)+b2U i(k−2)U qo(k)−a1U qo(k−1)−a2U qo(k−2)=qb0U i(k)+qb1U i(k−1)+qb2U i(k−2)4.2 封装⼀个m-function根据上⾯的式⼦我们很容易可以写出相应的程序，但为了在simulink中验证程序的正确性，我们在这⾥把SOGI封装为⼀个m-function块以便使⽤不了解Matlab的function块功能的⾃⾏百度很容易知道，对于⼀个完整的SOGI函数，有⼀个输⼊端，两个输出端。
传递函数离散化公式
传递函数离散化公式函数离散化是指将连续函数转化为离散函数，即在一定的区间内将连续函数的取值按照一定的间隔进行采样。
离散化公式的设计需要考虑到采样间隔的选择、采样点的选取以及近似误差的控制等因素。
下面介绍两种常见的离散化公式：等间隔离散化和最小二乘离散化。
1.等间隔离散化：等间隔离散化是指将函数的定义域等距地划分成若干个小区间，并在每个区间内选择一个采样点。
等间隔离散化的离散化公式如下：x_i=a+i*h，i=0,1,2,...,N其中，x_i是第i个采样点的坐标，a是定义域的起始点，h是采样的间隔，N是离散化的个数。
2.最小二乘离散化：最小二乘离散化是一种基于最小二乘法的离散化方法，它通过最小化离散函数与原始连续函数之间的均方误差来选择合适的采样点。
最小二乘离散化的离散化公式如下：E=Σ[f(x)-f_i(x_i)]^2其中，E是误差，f(x)是原始连续函数，f_i(x_i)是离散函数，x_i 是采样点的坐标。
在最小二乘离散化中，我们需要根据给定的误差函数f(x)来选择合适的离散函数f_i(x_i)。
具体的选择方式包括：2.1多项式插值：多项式插值是一种常用的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用一个多项式来逼近原始函数。
插值公式如下：f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是多项式的次数。
2.2样条插值：样条插值是一种更加平滑的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用多个低次多项式来逼近原始函数。
样条插值公式如下：f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n，x∈[x_i,x_{i+1}]其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是每个小区间内多项式的次数。
需要注意的是，离散化公式的选择应根据具体情况进行判断。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
传递函数离散化
传递函数离散化传递函数离散化是一种基于连续函数替代技术，用于将连续时间系统对应的传递函数转化为离散时间域方法。
传递函数的离散化步骤包括原函数的抽样、差分抽样和采样滤波器。
传递函数是一种连续函数，它用于确定系统的输入和输出之间关系的描述。
它被用于表示系统特性。
它由系统的输入和输出的数值或符号形式给出。
这可以用一维或多维空间来表示，例如，电气系统的传递函数可以表示为一个或两个实例的输入/输出关系。
传递函数离散化提供了一种机制，专门用于将时变传递函数转换为离散时间模型或离散系统。
这样做可以消除连续参数建模中漫长的计算步骤，改善精度和易于操作性，同时改善计算效率。
它可以用于控制任务中复杂的时变曲线，如弹性和动力曲线，以及某些自动机和神经网络模型的传递函数表示。
传递函数离散化的具体实现方法，包括采样、差分和滤波。
采样是连续时间系统的传递函数过程的第一步，它将连续时间系统的传递函数映射到正准确的离散时间系统中。
它采用抽样间隔来创建一系列连续时间系统的点。
抽样可以通过长度和抽样率来标定。
一旦采样完成，需要使用差分技术来应用传递函数。
差分是传递函数离散化的第二个步骤，它使用差分技术，以确定离散时间系统的传递函数模型。
通过差分，我们可以精确确定系统之间的输入输出关系。
最后，将使用滤波器技术来执行最后的离散步骤，以将连续时间传递函数数值化为离散形式。
滤波器技术可以在离散时间系统中应用，以改善系统性能。
传递函数离散化具有多种优势，其中最重要的是系统模型的精确度提高了。
其次，模型可以以常数时间来表示，因此可以更好地分析复杂的系统模型。
此外，由于整个过程已经离散化，因此它可以大大改善系统的效率，提高计算速度。
传递函数离散化技术在许多工程领域都有重要意义。
例如，它可以用于物理仿真，工业控制，航空航天，计算机视觉，声学信号处理，机器人控制等多个应用领域。
它可以增强系统性能，减少时间，提高可靠性，有效地处理时变信号和控制任务，以及实现更加复杂的系统。
传递函数离散化为差分方程
传递函数离散化为差分方程
传递函数是控制系统中非常重要的概念，它是用于描述输入和输
出之间关系的数学表达式。
但是，在处理实际的控制系统问题时，常
常需要将传递函数离散化为差分方程，以便在数字计算机上进行处理。
下面，我们将分步骤阐述如何将传递函数离散化为差分方程。
第一步：将传递函数转化为拉氏变换
在进行离散化之前，需要将传递函数转化为拉氏变换。
拉氏变换是用
于将时域信号转化为复频域信号的数学工具。
将传递函数转化为拉氏
变换的过程，可以使用MATLAB等数学软件进行实现。
第二步：将拉氏变换转化为Z变换
将传递函数转化为拉氏变换后，需要将其进一步转化为Z变换。
Z变换是一种用于将离散时间信号转化为复频域信号的数学工具，在数字控
制系统中得到广泛应用。
第三步：将Z变换离散化为差分方程
将Z变换离散化为差分方程是离散化传递函数的最后一步。
差分方程
是描述离散时间系统的数学表达式，可以用于数值计算和仿真。
总结：传递函数通过拉氏变换和Z变换的转化，最终可以离散化
为差分方程，这使得设计师能够更好地理解和处理数字控制系统的问题。
离散化传递函数的过程非常重要，它是数字控制系统工程中的基
本步骤。
希望读者能够通过本篇文章，更好地理解如何将传递函数离
散化为差分方程。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
c2d函数离散方法
c2d函数离散方法
c2d函数是将连续时间系统的差分方程转换为离散时间系统的差分方程的方法。
c2d函数通常使用以下形式：
sys_d = c2d(sys_c, Ts, method)
其中，sys_c是连续时间系统的传递函数或状态空间模型，Ts 是采样时间，method是离散化方法。
常见的离散化方法有以下几种：
1. 零阶保持（Zero-order hold）：该方法假设在两个连续时间采样点之间输入信号保持不变。
通过对连续时间系统进行零阶保持，得到离散时间系统的差分方程。
2. 一阶保持（First-order hold）：该方法考虑了输入信号在两个连续时间采样点之间的线性变化。
通过对连续时间系统进行一阶保持，得到离散时间系统的差分方程。
3. 双线性变换（Bilinear transform）：该方法通过将连续时间系统的传递函数进行双线性变换，在频域上将连续时间系统的频率响应映射到离散时间系统的频率响应。
4. 快速离散化（Fast discretization）：该方法利用近似的方法快速计算离散时间系统的差分方程。
选择合适的离散化方法取决于具体的应用场景和要求。
在使用c2d函数进行离散化时，需要考虑采样时间、系统响应、稳定性等因素，并进行适当的验证和调整。
传递函数离散化公式
传递函数离散化公式
函数离散化是一种将连续函数转化为离散函数的方法，通常用于数字信号处理中。
在进行函数离散化时，需要使用一些离散化公式来计算离散函数的值。
以下是几个常用的函数离散化公式：
1. 均匀离散化公式：将一个连续函数按照等间隔划分的方式离散化，即将函数在等距离的点上进行采样。
公式如下：
$x_i = x_{min} + i times Delta x$
其中，$x_{min}$是采样区间的最小值，$Delta x$是采样区间的间隔，$i$表示采样点的序号。
2. 最近邻离散化公式：将一个连续函数在每个采样点上的值赋给其最近的离散点作为离散函数的值。
公式如下：
$y_i = f(x_{j})$
其中，$f(x_{j})$表示函数在离散点$x_{j}$上的值，$y_i$表示离散点$i$处的离散函数值。
3. 线性插值离散化公式：将一个连续函数在每个采样点上的值用线性插值的方式计算出其在离散点上的值。
公式如下：
$y_i =
frac{(x_{j+1}-x_i)f(x_{j})+(x_i-x_{j})f(x_{j+1})}{x_{j+1}-x _{j}}$
其中，$f(x_{j})$和$f(x_{j+1})$分别表示函数在离散点
$x_{j}$和$x_{j+1}$上的值，$y_i$表示离散点$i$处的离散函数值。
这些离散化公式可以根据实际情况进行灵活使用，以达到最佳的
离散化效果。
传递函数零阶保持离散化
传递函数零阶保持离散化1.引言1.1 概述在控制系统中，传递函数是描述系统动态特性的重要数学模型。
传递函数可以用于描述连续系统的输入与输出之间的关系，通过它我们可以预测系统的响应和行为。
然而，在实际应用中，我们常常需要将连续系统进行离散化处理，以适应数字控制系统的要求。
离散化是将连续系统转化为离散系统的过程，它的目的是将连续信号转换为离散信号，并用离散数学方法对其进行处理和分析。
对于传递函数的离散化来说，就是将连续传递函数转换为离散传递函数的过程。
在离散控制算法中，离散传递函数扮演着重要的角色，它可以描述离散系统的输入和输出之间的关系。
本文将探讨传递函数零阶保持离散化的问题。
零阶保持器是一种常用的离散化方法，它的基本原理是将连续信号在某个特定时间间隔内进行采样，然后在每个采样点上保持采样值不变，以离散的形式表示连续信号。
通过对零阶保持器的定义和原理的介绍，我们将了解它在传递函数中的作用，并探讨离散化对传递函数的影响和应用。
同时，我们还将展望传递函数零阶保持离散化的意义和应用，并总结本文的内容。
在接下来的章节中，我们将深入探讨零阶保持器和离散化方法，并分析它们对传递函数的影响。
通过这些内容的学习，读者将能够更加全面地了解传递函数零阶保持离散化的原理和应用。
随着数字控制技术的发展，离散化方法在工程领域的应用将会越来越广泛，因此对于传递函数零阶保持离散化的研究具有重要的现实意义和应用价值。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕传递函数的零阶保持离散化展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个主要部分，具体结构如下：引言部分首先概述了本文的研究内容和目的，对传递函数的零阶保持离散化进行了简要介绍。
接着介绍了本文的结构安排，明确了每个小节的主要内容和意义。
最后，明确了本文的目的，即探讨传递函数的零阶保持离散化在工程应用中的意义和潜在影响。
正文部分主要分为两个小节，分别是零阶保持器和离散化方法。
在2.1小节中，将详细讨论零阶保持器的定义和原理，包括其在控制系统中的作用和优势。
离散化方法
•双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s) s0 D(z) z1 •双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
D(e jT ) s 0 2
应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
D(z) U (z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
T (z 1)
主要特性
s平面与z平面映射关系
z
1 T 2
1 T 2
s s
1 1
T 2 T 2
j T
2
j T
2
s j
z
2
1 1
1 [(1 z1)2 / T 2 0.8(1 z1) / T 1]
T2z2 1 az bz2
, a 2 0.8T , b 1 0.8T T 2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8，
D1 ( z )
1
z2 2.8z
2.8z2
当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2
主要特性
s平面与z平面映射关系
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果
控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果在控制系统中，传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系。
传递函数通常采用连续时间表示，但在实际应用中，为了能够在数字控制器中进行计算和实现，需要将传递函数离散化。
离散化是将连续时间信号转化为离散时间信号的过程，离散化后的控制系统可以方便地在数字控制器中进行实时计算和控制。
传递函数的离散化可以通过多种方法实现，其中最常见的是Z变换法。
在Z变换法中，将传递函数中的连续时间变量s替换为离散时间变量z，即进行变量替换s->z。
通过这种变换，将连续时间域的传递函数转化为离散时间域的递推公式。
对于一个一阶系统，其传递函数为G(s)=K/(Ts+1)，其中K为增益，T为系统的时间常数。
将s替换为z，得到G(z)=K/(T(z-1)+z)。
为了将这个传递函数离散化为递推公式，可以使用Z变换的定义：X(z)=Σ[x(n)*z^(-n)]，其中x(n)为离散时间输入信号。
将G(z)的分子和分母分别进行Z变换得到X(z)=K/(T(z-1)+z)，Y(z)=X(z)*G(z)。
将X(z)代入Y(z)的表达式中，得到Y(z)=K/(T(z-1)+z)*X(z)。
对Y(z)进行逆Z变换，得到y(n+1)=K/T*[x(n)-x(n-1)]+y(n)。
以上就是一阶系统离散化后的递推公式。
通过递推公式可以实现对一阶系统的离散时间域模拟和控制。
对于高阶系统，可以使用相同的方法进行离散化。
将传递函数中的s替换为z，得到离散时间域的传递函数。
然后使用Z变换的定义计算输入信号和输出信号的Z变换，最后将Z变换后的表达式进行逆Z变换，得到系统的递推公式。
通过离散化后的递推公式，可以在数字控制器中进行实时计算和实现控制操作。
递推公式可以实现反馈控制、滤波器设计等。
总结起来，控制系统的传递函数离散化就是将连续时间域的传递函数转化为离散时间域的递推公式的过程。
通过Z变换法将传递函数中的s替换为z，然后通过逆Z变换得到递推公式。
传递函数离散化例题
传递函数离散化例题
传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的过程。
离散化可以让我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
这里我将以一个例题来说明传递函数离散化的过程。
假设我们有一个连续传递函数H(s) = 1/(s+1)，我们希望将其离散化为一个差分方程形式。
首先，我们可以使用双线性变换（也称为脉冲响应不变法）来进行离散化。
双线性变换可以将连续时间变量s映射到离散时间变量z。
其变换公式为：
z = (1+T/2) / (1-T/2) (1+sT/2) / (1-sT/2)。
其中，T为采样周期。
将传递函数H(s) = 1/(s+1)代入上述公式，我们可以得到离散化后的传递函数H(z)。
接着，我们可以通过一些代数运算将H(z)表示为差分方程的形式，通常是z变换域的有理多项式。
另一种离散化方法是使用脉冲响应不变法。
该方法将连续时间系统的冲激响应映射到离散时间系统的冲激响应，然后通过卷积求得离散系统的差分方程。
除了上述方法外，还有其他离散化方法，如双向差分变换法、
双向拉普拉斯变换法等，它们各自有适用的场景和特点。
总之，传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的重
要过程，它可以帮助我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
在实际应用中，选择合适的离散化方法并进行准确的离散化是非常
关键的。
希望这个例题能够帮助你更好地理解传递函数离散化的过程。
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目录第一章模拟化设计基础1第一节步骤1第二节在MATLAB中离散化3第三节延时e-Ts环节的处理5第四节控制函数分类6第二章离散化算法10摘要10比较11第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11第四节后向差分近似法12第五节前向差分近似法14第六节双线性近似法(tustin) 15第七节预畸双线性法(prevarp) 17第八节零极点匹配法(matched) 18第三章时域化算法19第一节直接算法1—双中间变量向后递推19第二节直接算法2—双中间变量向前递推20第三节直接算法3—单中间变量向后递推21第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21第五节串联算法22第六节并联算法23第四章数字PID控制算法24第一节微分方程和差分方程25第二节不完全微分25第三节参数选择26第四节 c51框架27第五章保持器33第一节零阶保持器33第二节一阶保持器30附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢还没有这方面的实际经验。
D(s)xue -模拟控制器1-e -TssG(s)对象以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
xue-D(s)=8s+2s+15.G(s)=20s(s+2)步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：xue-D(z)=6.1091(z-0.9048)z-0.4545D(s)=8s+2s+15.G(s)=20s(s+2)步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数dz=c2d(ds,,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控直流增益 dcgain(dz) 返回直流增益频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图步骤4 离散化控制对象为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串连，即应对Ts1eG ss()--进行离散化，这时可在c2d函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即直接对G(s)离散化，则应在c2d函数中使用冲击响应不变法（imp）。
借用零阶保持器(zoh)方法，将对象20G ss s2()()=+带一阶保持器离散化的过程如下：转换结果为：D(z)x ue-D(z)=6.1091(z-0.9048)z-0.4545G1(z)=Z(1-e-Tss G(s))G1(z)=0.024187(z-0.9672)(z-1)(z-0.9048)步骤5 模拟仿真求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。
离散系统的闭环传递函数为：CZD z G1zTR1D z G1z()()()()=+连续系统的闭环传递函数为：CSD s G sTR1D s G s=+()()()()用MATLAB算TR CZ与TR CS：结果为：trcz=dz*g1z/(1+dz*g1z)trcs=ds*gs/(1+ds*gs)...... %模拟控制器D(s)转换为D(z)的过程见前gs=zpk([ ],[0,-2],20) %建立对象的s传递函数g1z=c2d(gs,,'zoh') %借用c2d函数进行带零阶保持器的对象的离散化C Z 20.14776(z-0.9048)(z-0.9048)(z-1)(z-0.4545)(z+0.9672)T R (z-0.4545)(z-0.9047)(z-0.9048)(z-1)(z -1.307z+0.5975)=2CS 22160s(s +2)(s +15)TR s(s +15)(s +2)(s +15s +160)=用MATLAB 函数STEP 画阶跃响应图形：响应图形为：步骤6 求数字控制器的时域表达式 上面已经求出， 连续传递函数s 2D s 8s 15+=+⋅()的tustin 离散式为11U z 61091z 09048 6.1091-5.527z D z E z z 0454*******z ---===--().(.)()()..，或 11U z 61091E z 5527E z z 04545U z z ().().().()--=-+。
对上式取z 反变换，得时域表达式u k 61091e k 5527e k 104545u k 1=--+-().().().()，根据此式就可以写出计算u k ()的程序代码来了。
除上述步骤之外，在编写程序代码时，还需要考虑几个问题： ① ADC 位数ADC 位数是一个硬件问题，在系统设计时，就应该结合控制算法，仔细分析ADC 位数对控制精度的影响。
② 数据类型在控制算法中有3种数据类型可以采用：无符号整数，定点数，浮点数。
我们知道，无符号整数运算既是最简单和速度最快的运算，又是定点数运算和浮点数运算的基础。
在数据动态范围比较小的情况下，应尽可能用无符号整数运算代替定点数运算和浮点数运算。
浮点数运算是一整套运算，包括加，减，乘，除，对阶，规格化，溢出处理等一系列子程序，使用浮点数的程序，将占用比较多的代码空间和比较长的运行时间。
不论使用汇编语言还是c 语言，对于是否使用浮点数运算，都应进行比较仔细的酌斟。
③ 数值计算误差数值计算引入的误差有3个方面，一是定点数字长不够或者浮点数有效数字过少，一是两个相近的数相减，一是加减乘除次数过多。
在程序设计中，应优化算法以避免计算误差的引入。
hold on %图形保持step(trcs,'r',2) %画连续系统的阶跃响应图,红色,终止时间为2秒 step(trcz,'b',2) %画离散系统的阶跃响应图,兰色,终止时间为2秒第二节 在MATLAB 中离散化1. 建立s 降幂传递函数 ① 建立多项式型s 降幂传递函数 方法1. sys = tf(num,den)方法2. s = tf('s')，再令sys = f(s) 例： 已知03215s 3G 025s 125s s...+=++，用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，0G tf 153********([.],[..])=，若G 0以零极点形式给出，即已知0305s 1G s s 1025s 1(.)()(.)+=++，仍可用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，但需用多项式乘法函数conv 配合，G0=tf(conv([3],[ 1]),conv(conv([1 0],[1 1]),[ 1])) ② 建立零极点型s 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k)方法2. s = zpk('s')，再令sys = f(s)。
2. 传递函数的转换① 将任意形式的s 传递函数转换为s 降幂传递函数 sys = tf(sys) ② 将任意形式的s 传递函数转换为s 零极点传递函数 sys = zpk(sys)3. 建立z 传递函数① 将连续传递函数转换为离散传递函数 sysd = c2d(sysc,t,method) ② 建立多项式形式的z 传递函数 方法1. sys = tf(num,den,?t)方法2. z = tf('z',?t)，再令sys = f(z) ③ 建立零极点z 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k,?t)方法2. z = zpk('z',?t)，再令sys = f(z) 4. 建立z -1格式的传递函数直接根据分子和分母建立z -1格式的传递函数sys_z = filt(num,den,?t)当已有多项式形式的z 降幂传递函数时，按以下步骤： ① 取z 降幂传递函数a 的分子多项式系数 [num,den] = tfdata(sys_s,'v')② 建立z -1格式的传递函数sys_z = filt(num,den,?t)5. 将多项式形式的高阶z -1降幂传递函数转换为并联传递函数，按以下步骤： ① “手工”将z -1降幂传递函数a 改写成多项式形式的z 降幂传递函数b 。
② 取z 降幂传递函数b 的分子多项式系数num 和分母多项式系数den 。
③ 利用residue 函数取z 降幂传递函数b 的分项分式，[an ad ak]=residue(num,den)。
分项结果可能出现共轭复数，在这种情况下应将含有共轭复数的分式合并成二次有理质分式。
④ 根据分项结果手工写出z 降幂多项式形式的并联表达式。
⑤ “手工”将z 降幂多项式形式的并联表达式改写成z -1降幂多项式形式的并联表达式。
⑥ “手工”对z -1降幂多项式形式的并联表达式中的每一个分式项降阶，即将每一个分式项变形，使得分式项的分子的阶次比分母的阶次低1阶，变形完毕再将全部常数项合并。