显著性分析

第7章显著性检验的基本问题

教学目的与要求：通过本章讲授，使学生了解下列概念：观察到的显著水平（p_值）、检验时规定的显著水平标准、显著水平、临界值、检验规则、原假设和备择假设，知道什么是双尾检验，什么是左（右）单尾检验以及各自的适用场合，知道什么是显著性检验中的两类错误以及犯这类错误的概率的图示，掌握总体均值是否为某定值以及两点分布总体中一次试验成功率为某定值的检验问题，知道显著性检验中应当注意的问题。

重点内容与难点：

1．显著性检验的基本问题

2．总体均值为某定值的显著性检验

3．随机试验中某种事件出现的概率为某定值的显著性检验

§7.1 显著性检验的基本问题

1．显著性检验是除参数估计之外的另一类重要的统计推断问题。

2．显著性检验，又称假设检验：就是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差异。

或者说，显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。

3．显著性检验是针对我们对总体所做的假设做检验。

一、显著性检验的基本思想

显著性检验的基本思想可以用小概率原理来解释。

1．小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，假若在一次试验中事件A事实上发生了。那只能认为事件A不是来自我们假设的总体，也就是认为我们对总体所做的假设不正确。

2．观察到的显著水平：由样本资料计算出来的检验统计量观察值所截取的尾部面积为。这个概率越小，反对原假设，认为观察到的差异表明真实的差异存在的证据便越强，观察到的差异便越加理由充分地表明真实差异存在。

3．检验所用的显著水平：针对具体问题的具体特点，事先规定这个检验标准。

4．在检验的操作中，把观察到的显著性水平与作为检验标准的显著水平标准比较，小于这个标准时，得到了拒绝原假设的证据，认为样本数据表明了真实差异存在。大于这个标准时，拒绝原假设的证据不足，认为样本数据不足以表明真实差异存在。

5．检验的操作可以用稍许简便一点的作法：根据所提出的显著水平查表得到相应的z 值，称作临界值，直接用检验统计量的观察值与临界值作比较，观察值落在临界值所划定的尾部内，便拒绝原假设；观察值落在临界值所划定的尾部之外，则认为拒绝原假设的证据不足。

二、原假设和备择假设

1．原假设：对总体所作的论断或推测，指观察到的差异只反映机会变异。记作H0 2．备择假设：是指观察到的差异是真实的。记作H1。

3．原假设和备择假设合在一起，应涵盖我们所研究的总体特征的所有可能性。

三、双尾检验和单尾检验

采用双尾检验还是采用单尾检验（以及左单尾还是右单尾），取决于备择假设的形式。

拒绝域的单、双尾与备择假设之间的对应关系

四、显著性检验的两类错误

（一）显著性检验中的第一类错误及其概率

显著性检验中的第一类错误是指，原假设H0:θ＝θ0事实上正确，可是检验统计量的观察值却落入拒绝域，因而否定了本来正确的假设。这是弃真的错误。

发生第一类错误的概率（记作α）也就是当原假设H0:θ＝θ0正确时检验统计量的观察值落入拒绝域的概率。显然，在双尾检验时是两个尾部的拒绝域面积之和；在单尾检验时是单尾拒绝域的面积。

(二)显著性检验中的第二类错误及其概率

显著性检验中的第二类错误是指，原假设H0:θ＝θ0不正确，而备择假设H1:θ<θ0或H1:θ>θ0是正确的，可是检验统计量的观察值却落入了接受域，因而没有否定本来不正确的原假设。这是取伪的错误。

发生第二类错误的概率（记作β）是指，把来自θ＝θ1(θ1≠θ0)的总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受域的概率。

（三）α和β的关系

当样本容量一定时，α越小，β就越大；反之，α越大，β就越小。

五、显著性检验的P—值

若用计算机统计软件进行假设检验, 我们会见到P—值。将算得检验统计量样本值查表得的概率是就是P—值（在那里我们称之为观察到的显著水平）。

六、关于显著性检验的结果

(一) 显著性检验回答什么问题

我们所观察到的差异（是纯属于机会变异，还是反映了真实的差异？

1．如果显著性检验得到差异显著的结论这时并不能评价差异的大小和重要性。

2．显著性检验只能告诉我们差异是否在事实上存在，而不能回答差异产生的原因。 3．显著性检验不能检查我们对实验所作的设计是否有缺陷

（二）显著性检验回答问题的方式

在表述显著性检验结论的时候，应与检验的逻辑推理相符。

当检验统计量的观察值落在拒绝域时，我们应该说，样本资料显著地（或高度显著地）表明，差异是存在的。

（三）对观察到的显著水平数值的评价

七、显著性检验中的总体和样本

(一)显著性检验的对象是无限总体

(二)大样本可能会使检验统计量过分敏感

(三)从有限总体中抽取样本用于显著性检验时，必须作概率抽样

八、显著性检验的步骤

显著性检验的一般步骤或格式如下：

（1）提出假设

H0：

H 1：

同时，与备择假设相应，指出所作检验为双尾检验还是左单尾或右单尾检验。

（2）构造检验统计量，收集样本数据，计算检验统计量的样本观察值

（3）根据所提出的显著水平α，确定临界值和拒绝域

（4）作出检验决策

把检验统计量的样本观察值和临界值比较，或者把观察到的显著水平与显著水平标准比较；最后按检验规则作出检验决策。当样本值落入拒绝域时，表述成:“拒绝原假设”，“显著表明真实的差异存在”；当样本值落入接受域时，表述成：“没有充足的理由拒绝原假设”，“没有充足的理由表明真实的差异存在”。另外，在表述结论之后应当注明所用的显著水平。

§7.2 总体均值为某定值的显著性检验

总体均值的显著性检验可有双尾、左单尾、右单尾三种不同的情况。下面就总体分布的不同情况，总体方差是否已知的不同情况以及样本大小的不同情况分别介绍检验统计量和检验规则。

一、总体为正态分布，总体方差已知，样本不论大小

对于假设0H ：μ=0μ，在0H 成立的前提下，有检验统计量 )1,0(~2

0N n

x Z σμ-= 如果规定显著性水平为α，在双尾，左单尾，右单尾三种不同情形下，拒绝域分别为：①],(2αz --∞和),[2∞αz ；②],(αz --∞；③),[∞αz 。

二、总体分布未知，总体方差已知，大样本

对于假设0H ：μ=0μ，在0H 成立的前提下，如果样本足够大（n ≥30），近似地有检验统计量 )1,0(~2

0N n

x Z σμ-=

如果规定显著性水平为α，在双尾，左单尾，右单尾三种不同情形下，拒绝域分别为①],(2αz --∞和),[2∞αz ；②],(αz --∞；③),[∞αz 。

三、总体为正态分布，总体方差未知，小样本

对于假设Ｈ0：μ=0μ，在0H 成立的前提下，有检验统计量 )1(~20

--=n t n

s x t μ