立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

有关平行、垂直问题常见判定方法

一、 线线平行的判定

1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c

2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．

3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．

a ∥α，a ⊂β，

αβ=b ==> a ∥b

β

αb

a

4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,

γα=a ,

γβ=b ==> a ∥b

γ

β

αb a

5、 平行于同一平面的两直线互相平行．

a ⊥α，

b ⊥α ==> a ∥b

αb

a

二、 线面平行的判定

1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此

c b a

平面平行．

a ⊄α，

b ⊂α，a ∥b ==> a ∥α

αb

a

2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．

α∥β，a ⊂α ==> a ∥β

α

βa

3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥α

β

α

a

4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥α

α

a

b

三、 面面平行的判定

1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行．

a ⊂α，

b ⊂α，

a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β

O α

β

a b αβa

2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．

a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)

3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．

α∥γ，β∥γ ==> α∥β

α

γ

β

4、 柱体的上下底面互相平行

四、 线线垂直

1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．

2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥b

αa

b

3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥b

αa

b

4、三垂直定理及其逆定理

l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影

三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM

三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HM

l

M H P

αa

5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥b

β

α

a

b

五、线面垂直的判定

1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,

a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥α

l

O α

a b

2、a∥b，a⊥α ==> b⊥α

α

b a

3、直棱柱的侧棱与底面垂直

4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面

α∥β，a⊥α ==> a⊥β

α

β

a

5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

α⊥β，

αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥β

l

βα

a

5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．

αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γ

l γ

β

α

六、面面垂直的判定

1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.

2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥β

l β

α

a

2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥β

β

αa