(浙江专版)201X年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数学案 新

1．3.3 函数的最大(小)值与导数

预习课本P29～31，思考并完成下列问题

(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？

(2)函数的最值与极值有什么关系？

(3)求函数最值的方法和步骤是什么？

[新知初探]

1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

[点睛] 对函数最值的三点说明

(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．

(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[点睛] 函数极值与最值的关系

(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．

(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )

(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )

(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )

答案：(1)×(2)√(3)×

2．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )

A．最大值为4，最小值为－4

B．最大值为4，无最小值

C．最小值为－4，无最大值

D．既无最大值，也无最小值

答案：B

3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．

答案：1

4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是________．

答案：(－4，－2)

求函数的极值

[典例] 求函数f (x ＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2，＋∞)上的最值． [解] f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－2，x 2＝3

2

.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x －2 ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－2， 32 3

2 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) 0 －

0 ＋

f (x )

57

－1154

由于当x ＞3

2

时，f ′(x )＞0，

所以f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，＋∞上为增函数．

因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－115

4

，无最大值．

求函数最值的四个步骤

第一步求函数的定义域． 第二步求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． 第四步求极值、端点值，确定最值． [活学活用]

函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( )

A ．0 B.π6

C.π

3

D.

π2

解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝1

2，

∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12，

∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6

2

，

∴原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤

π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y

＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π

6

时取最大值，故应选B.

由函数的最值求参数的取值范围

[典例] (1)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．－1

(2)已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2，2]上的最大值．

[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，

令f ′(x )＝0，解得x ＝－1

3(舍去)或x ＝1，

又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2， 则f (2)最大，即a ＋2＝3， 所以a ＝1. 答案：B

(2)解：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 又f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40.

f (0)>f (2)>f (－2)，

所以当x ＝－2时，f (x )min ＝a －40＝－37，得a ＝3. 所以当x ＝0时，f (x )max ＝3.

已知函数最值求参数的步骤