初中圆垂径定理

∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件 就能推出最后一个。 十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【巩固练习】
一. 选择题：
1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，
则P点 ［ ］
A.在⊙O内或圆周上
B.在⊙O外
C.在圆周上
D.在⊙O外或圆周上
2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为
［ ］
A、2或3
B、3
初中圆复习
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧 弧中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
Ａ. 相交
Ｂ. 相切 Ｃ. 相离 Ｄ. 无法确定
【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置
关系是______________.
3.正多边形和圆的有关计算 【例6】 已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面 积. 4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相 切于点E，则阴影部分的面积为
（l）求证： AD＝DC； （2）求证： DE是⊙的切线； （3） 如果OE＝EC，请判断四边形OED是什么四边形，并证明你的结 论．
考点一：与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确
理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.
1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行
即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧
六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的
弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只 要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底
面半径长的比是
.
考点二：圆中计算与证明的常见类型
1.利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆
内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理
完成其论证或计算.
(1) AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直 径．(12分)
17．如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上， 弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2) 若OE∶EA=1∶2， PA=6，求⊙O的半径；(3)求sinPCA的值．(12分)
； （2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：；
是直角三角形。 即：在△中，∵
∴△是直角三角形或 注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的 内对角。即：在⊙中，
∵四边是内接四边形 ∴
九、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端
即：∵、是的两条切线 ∴；平分
十一、圆幂定理 1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即： 在⊙中，∵弦、相交于点， ∴ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条
线段的比例中项。即： 在⊙中，∵直径， ∴
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项。
求AB的长和∠ECB的正切值． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E 为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证： （l）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC．
22．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙；与⊙O的弦AC相交于 D， DE⊥OC，垂足为E．
解题
【例1】 已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为
圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.
【例2】 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数
为（ ）.
Ａ. 30°
Ｂ. 45° Ｃ. 50° Ｄ. 60°
2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系
图10 图11
18．如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C， 弦DF//AC交 BC于C．
（1）求证：；
（2）若CF＝AE．求证：△ABC为等腰三角形． 图12
19.如图12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上， ∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2） 若BC=3，sinP=，求⊙O的直径。 20．如图13，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直 线，∠PAC＝∠B． （l）求证：PA是⊙O的切线； （2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC＝8，CE：ED＝ 6：5，AE：EB＝2：3，
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴ 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆
周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
理.
【例2】
如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：
∠ACD=∠OCB.
3.利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示 了确定四点共圆的方法.
【例3】 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若 ∠C＝45°，AB＝，则点B到AE的距离为________. 4. 判断圆的切线的方法及应用
线.
【例5】 如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长 为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相 切.
【例6】 如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧
上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切 线.
4如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若 ∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 _ N _ M _ B _ A
_
_ P _ O 5．与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______． 6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径 R=______，内切圆半径r=______． 7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是 ． 8．PA、 PB是⊙O的切线，切点是A 、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径 AC，连接CB，则∠PBC=______． 9．如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于 A．sinBPC B．CosBPC C．TanBPC D．cotBPC 10．如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O 于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是
（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图
= （2）圆柱的体积：
3、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积：
十六、内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距
离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的
半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是
圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角， ∠DBE=∠A。 \
BE O AD
练习题 1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的 位置关系是( ) A．点A在圆内 B．点A在圆上 c．点A在圆外 D．不 能确定 2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是 3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B 为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值
【例1】 在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为
1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为
.
Ａ. 2
Ｂ. 4
Ｃ. 4
Ｄ. 2
2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的
问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定
A．Biblioteka Baidu
B．2 C．2
D．3 11．圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距 离为d，那么 A、d<6 cm B、6 cm<d<12 cm C．d≥6 cm D．d>12 cm 12．如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切 线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______．13．如图 7，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割 线，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，则PA=______．
判断圆的切线的方法有三种： （1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切 线；
（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是线段BC的中点. （ 1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由. （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切
【例3】 已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：
（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
【例4】 ⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位
置关系是（ ）.
14．如图8，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C 在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．
15 如图，AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线，⊙C与⊙D相外切，⊙C 的半径r=2，⊙D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。 16．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平 分AC于E，求证：
即：在⊙中，∵是切线，是割线 ∴
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
即：在⊙中，∵、是割线 ∴
十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共
弦。如图：垂直平分。 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分
十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1） 公切线长：中，