最新随机过程知识点总结

第一章：

考试范围1.3,1.4

1、计算指数分布的矩母函数.

2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数.

3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数.

第二章：

1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数

2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理

3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件

1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）.

3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为

实数，证明()X t 是宽平稳过程.

4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程.

第三章：

1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算

2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算

3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义

1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算：

(1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥.

2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.

(1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；

(2). 在已知t 时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？

3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：

(1). 在开门半小时中，无顾客到来的概率；

(2). 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4、设有一泊松过程{(),0}N t t ≥，若有两个时刻,s t ，且s t <，试证明 {()()}1k n k k n s s P N s k N t n C t t -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,1,,k n =.

5、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为λ.若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行，试计算：

(1)．此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率；

(2)．至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率.

第四章：

1. 更新过程、更新方程及其解得存在唯一性

2. Wald 等式

3. 更新定理及其在概率计算中的应用

1、设12{1},{2}33i i P X P X ====，令1

,1n n i i T X n ==≥∑.对于更新过程()sup{:}n N t n T t =≤，计算(1)N 和(2)N 的概率分布.

2、某控制器用一节电池供电，设电池寿命),2,1( =i X i 服从（30,60）（单位：h ）内的均匀分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间),2,1( =i Y i 服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工作时控制器更换电池的速率.

3、设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为20（人/小时）的Poisson 分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为2（分钟/人）的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来.试求：

(1).顾客进银行的速率；

(2).服务员工作的时间所占营业时间的比例.

第五章：

1. Markov 链的定义，转移概率矩阵，C-K 方程

2. 状态的周期，常返态、非常返态的定义及判别（定理5.2.3，推论5.

3.3，5.3.4）

3. 极限定理及平稳分布

1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨明天也下雨 的概率为0.7，而今天无雨明天有雨的概率为0.4，计算星期一有雨，星期四天仍有雨的概 率.

2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为ij p （ij p 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移概率矩阵为：

1/21/201/31/95/91/62/31/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

试对经过长时间后的销售状况进行分析。

3、一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

4、设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：1E 、2E ，经计算得一阶转移概率矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=41.059.021.079.0)1(P ，求证该链具有遍历性，并求出极限分布。 5、设{1,2,3,4}I =，其一步转移概率矩阵为

1/21/2001

00001/32/301/201/20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

试对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期.

6、设齐次Markov 链的转移概率矩阵为

000q p q

p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

，1p q +=，01p <<，