线面垂直习题精选

线面垂直习题精选

证明：取 AB 的中点F ,连结CF , DF

T AC BC ，二 CF AB

T

AD

BD ，二 DF AB .

又CF I DF F ，二 AB

平面CDF

T

CD 平面CDF - CD

AB • 又CD BE , BE I AB B , •- CD 平面 ABE CD AH •

T AH CD , AH BE ,

CD I E 二 AH

平面BCD

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理•同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题•下面举例说明.

3如图1所示，ABCC 为正方形，SA 丄平面ABCD 过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC, SD 于E ，F ，G •求证：AE SB ， AG SD .

证明：T SA 平面ABCD I"1

二 SA BC . T AB BC ，二 BC 平面 SAB 又AE 平面 SAB 二 BC AE . T SC 平面 AEFG 二 SC AE •二 AE 平面SBC /. AE SB •同理可

证 AG SD .

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所 在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.

4 如图2,在三棱锥 A — BCD 中, BC= AC ，AD= BD

作BE 丄CD E 为垂足，作 AH^ BE 于H .求证：AH1平面 BCD

习题精选精讲 线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1如图1,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O,求证:

证明：连结 MO , A f M , T DB 丄 AfA , DB 丄AC , AAI ••• DB 丄平面 A 1ACC 1，而 AO 平面 A1ACC 1 二 DB 丄

3

2

a .

4 设正方体棱长为a , 则 A 1O 2

AO

平面MBD .

AC A ，

AO .

在 Rt △ A 1C 1M 中, A 1M 2

3 2 2 a 2，MO 2

2 9a 2. T AO 2

4

MO 2 2 A 1M ，二 AO OM . •/ OM n DB=o,「. A 1O 丄平面 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据， 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2, P 是厶ABC 所在平面外的一点，且 PA 丄平面ABC , 丄平面PAC . 证明：在平面 PAC 内作AD 丄PC 交PC 于D . 因为平面PAC 丄平面PBC ，且两平面交于 PC , AD 平面PAC ，且AD 丄PC, PBC,「. AD 丄 BC . T PA 丄平面 ABC , BC 平面ABC , T AD n PA=A,「. BC 丄平面 PAC . (另外还可证BC 分别与相交直线 AD , MBD . 通过计算来证明. 平面PAC 丄平面 PBC .求证: BC 由面面垂直的性质，得 AD 丄平面PBC . /• PA 丄 BC . AC 垂直，从而得到BC 丄平面PAC).

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面 中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直•在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含 着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直. 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

判定 性质

(:

# "'A

平面

线面垂直

性质

B

平面ABC BC 平面ABC BC • . BC 平面 APC 平面PBC

已知条件岀发寻找线线垂直的关系.

6.空间四边形 ABCD 中，若 AB 丄CD , BC 丄AD ，求证：AC 丄BD

A 作AO 丄平面BCD 于0 CD

， CD B0同理BC 丄DO . 0 ABC 的垂心

7.证明：在正方体 ABCD - A i B i C i D i 中，A i C 丄平面BC i D

证明：过

AB

于是BD CO BD AC

A i C 平面 BC i D

同理可证A 1C BC 1

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直•如此反复，直 到证得结论. 5如图3，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点， PA 平面ABC 若AE 丄PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEH 平面 PBC

证明：丁 AB 是圆o 的直径，二AC BC •

•- PA

•- PA •- BC

二平面 APCL 平面

PBC

丁 AE 丄PC 平面APC P 平面PBC= PC

AE 丄平面PBC

T

AE 平面AEF 二平面 AEH 平面PBC

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，

证明：连结AC

BD AC

AC 为A i C 在平面AC 上的射影

BD A i C

8.如图，PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证： MN AB

p

H

即证线面垂直，而证线面垂直则需从