2.3 晶体所有可能的对称组合

于群元素与群元素的乘积，这样就可对点群中的操作进行运算）
32点群
群的数学定义: 群是一组元素的集合,这些元素满足4个条件: (1)封闭性: a,b,c,d….. ab=c, ac=b, bd=a…. (2)结合律: (ab)c=a(bc) (3)单位元: ea=ae=a (4)逆元素: a的逆元素a-1, aa-1=e 例如：所有的整数构成一个群{…-3,-2,-1,0,1,2,3…}。所对应的 乘法为加和.
32点群
为什么对称类型也称点群?
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体的对称类型 或
点群。一般来说，当强调对称要素时称对称类型，强调对称操 作时称点群。 为什么叫点群？ 因为对称类型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的 概念，并且操作时有一点不动，所以称为点群(与空间群对应)。 （点群中，每一个操作可作为一个群元素，操作的复合就相当
在，此点群必须处
于正交坐标系中， 3 个四次轴与坐标轴 重合。
一个4次轴、一个3次轴和一个2次轴的组合
点群43立体图
点群的推导
2. 两个3次轴和一个2次轴的组合 三次轴和三次轴夹角 70º31'44" ，三次轴与 2 次轴夹角 54º44'8" ， 这种组合的最终具有对称元素为 3L24L3，点群国际符号为 23 ； （注意和点群32的区别）
什么是点群(point group)?
宏观晶体中所有对称元素的集合 10 unique 3-D symmetry elements:
1, 2, 3, 4, 6; 1 i, 2 m, 3, 4, 6
And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups
上一群点内部点与点之间的关系就足够了。因此，几何晶体学中
每一个对称类型可以由具有特定对称关系的一群点所代替，这一 群点充分表达了相应的对称类型的对称特征。从这个意义上，我 们更习惯于将32个对称类型称为32个点群。 上一章我们讨论了有关对称元素组合的规律，这一章我们讨 论晶体中一切可能点群的推导。
32点群
由于4个三次轴的存
在，此点群必须处 于正交坐标系中，3 个二次轴与坐标轴 重合。
两个3次轴和一个2次轴的组合
点群23空间立体图
点群的推导
G类：一个以上高次轴与对称面的组合（3个） 1. 对称面和点群43的对称轴的组合： 对称面与同一个大圆上 2个四次轴和2个二次轴同时平行相交， 或者与2个三次轴、一个四次轴及1个二次轴同时平行相交， 组合结果都派生出9个对称面； 这种组合的最终对称元
点群的推导
E类：两个对称面（一个垂直，一个平行）与A类的对称元 素垂直相交（3个）
E类对称类型各点群的极射赤平投影图（3个）
点群的推导
F类：一个以上高次轴的组合（2个）
按照晶体对称性原理，当体系内部有2个以上高次轴时，为了满
足组合的封闭性（有限性），（即必须让对称轴的相交角度为
一些特殊值，使得派生出的新对称轴的数目是有限的），对称
点群的推导
B类：一个2次轴与A类的对称元素垂直相交（8个）
B类对称类型各点群的极射赤平投影图（8个）
点群的推导
C类：一个对称面与A类的对称元素平行相交（4个）
C类对称类型各点群的极射赤平投影图（4个）
点群4mm
点群的推导
D类：一个对称面与A类的对称元素垂直相交（2个）
D类对称类型各点群的极射赤平投影图（2个）
对称面和点群23的对称轴组合（2）
点群 43m 空间立体图
32点群对称元素空 间分布示意图
点群 m3 空间立体图
点群的推导
2. 对称面和点群23的对称轴组合 （2）点群23中2个三次轴、1个二次轴与一个对称面平行相交： 结果是派生出6个对称面，且对称面与其中二次轴以45°相交 结果使得全部初始的二次 轴都演变为四次反伸轴。
组 合 的 对 称 元 素 为
3Li44L36P，点群符号为 4m3
轴的数目和相交夹角就具有一定的限制。可能存在的高次轴的 组合只有下述2种： 1. L4、L3、L2 2. L3、L3、L2
点群的推导
1. 一个4次轴、一个3次轴和一个2次轴的组合 4次轴与3次轴夹角54º44'8"，4次轴与2次轴夹角45º，3次轴与 2 次轴的夹角 35º15'52",这种组合的最终对称元素为 3L44L36L2， 点群符号为43； 由于 4 个三次轴的存
素为3L44L36L29PC，点群
符号为 m3m
对称面和点群43的对称轴的组合
点群
m3m
空间立体图
点源自文库的推导
2. 对称面和点群23的对称
轴组合
（1）点群23中两个2次 轴与一个对称面平行相 交：其结果是派生出3 个对称面，组合的对称
元素为3L24L33PC，点
群符号为：m3
对称面和点群23的对称轴组合（1）
第三章 晶体所有可能的对称组合
32点群推导
1 具有不多于一个高次轴的对称组合
2 具有一个以上高次轴的对称组合 3 具有一个以上高次轴的对称轴与对称面组合
32点群
在有限数目的晶体对称元素间存在着严格的组合规律，这将 预示着晶体对称元素的可能组合数目也是有限的。 研究晶体多面体中晶面之间的关系，只需要研究在投影球面
32点群
对应到点群中，一个群元素就是一个对称操作。所对应的乘法 是操作的复合. 例: 点群2/m (L2PC), 里面有4个群元素: 验证封闭性:
2? m 1, 2? 1 m, m? 1 2
因此
2 / m ® {2, m, 1, 1}
点群的推导
A类：只具有一个对称元素的组合(10个)
极射赤平投影图请参考第四章