第二章 流体静力学

p P A
流体静压强的重要特性
p lim P A0 A
流体静压强所产生的静压力的方向必然沿着作用面的内法线方向。 （静压强作用的垂向性） 平衡流体中某点上流体静压强的数值与作用面在空间的方位无关。 （静压强的各项等值性）(证明如下)
N p 1 dydz x x 2 N y p y 1 dzdx 表面力 2 1 dxdy N z pz 2 N n pn dA
函数W=W(x, y, z) 称为质量力势函数，它满足下列条件
W W W dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z W W W fx , fy , fz x y z
该式表明：质量力必须是有势力。作用在静止常密度流体上的质量力必须 是有势力, 只有在有势力作用下才能平衡。
px py pz pn
结论： 作用于平衡流体中任一点上的流体静压强的大小与过该点的作用面在空间 的方向没有关系, 只与空间位置坐标有关, 是空间位置坐标的连续函数, 即 p=p (x, y, z)。
2.2 流体平衡微分方程 取微元六面体左侧中心点压强为 p = p(x,y,z)。
x 方向的表面力为
称为欧拉平衡方称式的综合表达式。
在有势力场或保守力场中（例如重力场、静电场等 ）, 作用在质点上的质
量力所作的功与质点所经过的路径无关, 只与质点的起点、终点位置有关。 因此, 对于任一有势力场, 存在某一函数W =W (x, y, z), 其全微分dW 等于 单位质量力所作功, 即
dW f x dx f y dy f z dz
dW 0
b. 等压面与质量力矢量正交
f x dx f y dy f z dz 0 f dr 0
重力作用下的平衡液体的等压面是一族z=c的水平面。
c. 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面 反证法：假设分界面a-a不是等压面（→不是等势面）A, B同时属于两种 流体, 分别可得
k i j x y z
体力:
dFbody ( f x i f y j f z k )dxdydz f body ( f x i f y j f z k )
表面力(由于粘性产生的切应力):
f visc
由牛顿第二定律:
p pabs pa h
真空压强：流体绝对压强小于当地大气压强产生真空的程度, 又称真空度。
pV pa pabs hV pV pa pab
以液柱高度来表示


p (Pascals)
120,000 30,000 90,000
High Pressure: p=120,000Pa abs=30,000 Pa gage
春秋<管子>: 堤坝的纵断面要【大其下,小其上】 比1586年S.斯蒂文提出早两千多年！
2.3.1 大气压强、绝对压强、相对压强、真空度 计算流体静压强的基准：完全真空和大气压强。 完全真空：是理想中无任何物质存在的空间的压强(绝对零压强)。
绝对压强：以完全真空为基准的压强(pabs)。
相对压强：以当地大气压( pa )为基准的压强, 又称表压强,记为p。
p dp z dz
p x
p const d z 0 p z con流体中任取两点1、2
z
p1

z1
p2

z2 C
o x
y
重力场不可压缩均质流体静压强基本公式。 物理意义: 重力场中静止流体内任一点处, 单位重量流体的压强势能 p/ 与 位置势能 z之和等于常数。Oxy称为基准面。
质量力
F fdm 1 dxdydz f i f j f k x y z 6


质量力各坐标轴分量
微元四面体平衡条件得
F 1 f dxdydz x 6 x Fy 1 f y dxdydz 6 1 f dxdydz Fz 6 z
1 1 p x 2 dydz pn dAcosn, x 6 f x dxdydz 0 1 1 p y dzdx pn dAcosn, y f y dxdydz 0 6 2 p 1 dxdy p dAcosn, z 1 f dxdydz 0 n z z2 6
dFpress
p p p i j k dxdydz x y z
f press
p p p i x j y k z f press p
The pressure gradient causing a net force that must be balanced by gravity or acceleration or some other effect in the fluid. 哈米尔顿算子:
边界面上任一流体质点的位置高度为z0, 压强为p0。
p

z
p0

z0
h
p0
p p0 z0 z
p p0 h
o z x
z0
z
y
此为重力场中不可压缩均质流体静压强计算. Conclusion: Pressure in a continuously distributed uniform static fluid varies only with vertical distance and is independent of the shape of the container. The pressure increases with depth in the fluid.
p 1 dydz p 1 dydz 1 f dxdydz 0 n x x2 2 6 1 1 dzdx 1 f dxdydz 0 p y dzdx pn y 2 6 2 p 1 dxdy p 1 dxdy 1 f dxdydz 0 n z z2 2 6
2.4.3 流体静力学基本公式应用：测压计
U-tube Open Manometer
Open, pa
z2, p2=pa

zA, pA A
z1, p1
Jump across
p=p1 at z=z1 in fluid 2
2
pA+1|zA-z1|- 2|z1-z2|=p2≈patm
2.4 质量力势函数和有势质量力
p f x x 0 p 0 fy y p 0 fz z
dx dy dz
p p p dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z dp f x dx f y dy f z dz
p p dFx pdydz p dxdydz dxdydz x x
同理，y, z 方向的表面力为
p p dFy pdxdz p dy dxdz dxdydz y y p p dFz pdxdy p dz dxdy dxdydz z z
p p 1 f dx 0 n x x 3 1 f dy 0 p y pn y 3 p p 1 f dz 0 n z z 3
0
当微元四面体体积0, dx, dy, dz0
p x pn 0 p y pn 0 p p 0 n z
Local Atmosphere: p=90,000Pa abs=0 Pa gage=0 Pa vacuum 40,000
50,000
Vacuum pressure: p=50,000Pa abs=40,000 Pa vacuum
50,000 Absolute zero reference: p=0Pa abs=90,000 Pa vacuum 0 Tension
dp 1dW dp 2 dW 1 2 , dp 0, dW 0 dp 0, dW 0 a―a 是等压面, 等势面。
ρ2
a
A B a
ρ1
2.4.2 静压强的计算单位
静压强的计算单位有三种： a. 应力单位 牛/米2(Pa)、公斤力/米2(kgf/m2)。 b. 大气压单位 工程大气压(atm)，1at=9.8×104Pa。 c. 液柱高单位 以水柱或水银柱的高度表示压强的大小。
f f
press
f body f visc a
p f body f visc a
如果流体静止或匀速,
a 0, f visc 0 p f body f p 0

p f x x 0 p 0 fy y p 0 fz z
dp f x dx f y dy f z dz dp dW
试确定重力场中平衡流体的的质量力势函数并解释其物理意义。 解：重力场中平衡流体的质量力分量为
f x f y 0, f z g dW W dx W dy W dz x y z dW f x dx f y dy f z dz gdz W gz C
若设基准面z=0处的势函数值 为W=0, 即零势面, 则重力场中 平衡流体的质量力势函数为.



W gz
意义: 单位质量 (M=1)流体在基准 面以上, 高度为 z 时所具有的位 置势能。
2.4.1 等压面及其性质 等压面: 平衡流体中压强相等的各点组成的面, 即p=const, dp=0。
FLUID MECHANICS