广东省广州市八区2019-2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题含解析
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
广东省联考联盟2019-2020学年高二上学期质量检测数学试题及解析word版
广东省联考联盟2019-2020第一学期质量检测高二·数学试卷（满分150分 时间120分钟）注意事项：1．考试范围：必修2，选修2-1．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“,x ∀∈R 22x x ≠”的否定是（ ）A ．,x ∀∈R 22x x = B ．0,x ∃∉R 2002x x = C ．0,x ∃∈R 2002x x ≠D ．0,x ∃∈R 2002x x =2．若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,4．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n5．正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（ ）A B ．12a CD ．13a6．已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为（ ）A ．2或-1B ．1C ．1或-2D ．-27．曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k +=<<--的（ ） A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则x y z ++=（ ）A ．23B ．56C ．1D ．769．直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是（ ）A ．12,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭D ．21,33⎛⎫-⎪⎝⎭10，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为（ ）ABCD ．212．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形．其中正确的结论是（ ） A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________． 14．命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．15圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为________．16．已知圆22:1O x y +=，点P ，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形P ACB 的面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共π0分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知p ：式子2log ()k a -（a 为常数）有意义，q ：方程22113x y k k+=+-（k 为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 19．（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||5MN =，求m 的值． 20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ︒∠=∠=，60BAC CAD ︒∠=∠=，设E 、F 分别为PDAD 的中点证明：（1）CD AC ⊥； （2）//PB 平面CEF ．21．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB λλ=∈R u u u r u u u r，且22||||40HA HB +≥成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省联考联盟2019—2020第一学期质量检测高二数学·参考答案1．【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题第一步是将全称量词改写为特称量词，第二步是将结论加以否定．2．【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α= 又0180α︒︒≤<Q ，120α︒∴=， 故选C ．3．【答案】C【解析】根据抛物线28y x =，知4p =，根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离得7p x =，把p x 代入抛物线方程解得p y =±， 故选C ．4．【答案】C【解析】A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C ，同垂直于一个平面的两直线平行，正确；D ，m ，n 也可能异面． 故选C ．5．【答案】A2=，6．【答案】B【解析】12//l l Q ，42(1)016(1)4(2)m m m m -+=⎧∴⎨+≠-⎩，解得1m =．7．【答案】C【解析】曲线221169x y +=表示椭圆，焦距为2c == 当916k <<时，曲线221169x y k k+=--表示双曲线，焦距为2c ===， 故两条曲线的焦距相等．8．【答案】B【解析】Q 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AC AB BC DD ∴=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ， 1x ∴=，12y =-，13z =，即56x y z ++=． 9．【答案】D【解析】将直线1y x =+代入椭圆2224x y +=中，得222(1)4x x ++=，23420x x ∴+-=，∴弦的中点横坐标是142233x ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，代入直线方程中，得13y =， ∴弦的中点是21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ．10．【答案】B【解析】根据题意，画图如下：则OA R =，O A r '==12hOO '==，故在Rt OO A 'V 中，2OA ===，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球．故选B ．11．【答案】A【解析】设双曲线右焦点为F ，由题意可知：P 关于原点的对称点为Q ，则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形， 则1||PF FQ =，1||PF QF =， 由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||2PF PF a -=，1PF a ∴=，||OP b =，1OF c =，190OPF ︒∴∠=，在1QPF V中，||2PQ b =，13QF a =，1PF a =， 222(2)(3)b a a ∴+=，整理得222b a =，则双曲线的离心率c e a ===故选A ．12．【答案】B【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总过正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状是平行四边形，所以（2）是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以（4）是正确.同时过正方体的中心的平面截正方体的表面得到的截面不可能是三角形和五边形，故选B ．13．【答案】7【解析】设所求距离为d ，由题得：5a =．所以23237a d d a =+⇒=-=． 14．【答案】[2,2]-【解析】命题“2240x ax --->不成立”是真命题，即对于任意的x ∈R ，不等式2240x ax ---≤恒成立，24160a ∴∆=-≤，解之得22a -≤≤，故答案为[2,2]-．15．【答案】3【解析】圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形， 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =，所以底面圆的面积为2r ππ⨯=，圆锥的高为h ==，所以圆锥的体积为133V π=⨯⨯=． 16．【答案】【解析】由平面几何知识可知||3PC =，||||PA PB ==，30CPA ︒∠=，∴四边形P ACB 的面积为123302S ︒=⨯⨯=．17．解：由p ：式子有意义，则k a >，由中22:113x y q k k+=+-表示双曲线，则(1)(3)0k k +-<， 即1k <-或3k >，:[1,3]q k ∴⌝∈-．q ⌝Q 是p 的充分不必要条件，1a ∴<-．18．解：（1）由23435x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，∴两直线的交点坐标为(2,1)．（2）设与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程为30x y C ++=，Q 点(2,1)在直线l 上，3210,7C C ∴⨯++==-，故所求直线l 的方程为370x y +-=．19．解：（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-，则当5m <时，方程C 表示以(2,1)为半径的圆．（2）Q 圆心(2,1)C 到直线l 的距离为d ==22555m ⎛⎫⎛⎫∴-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4m =．20．证明：（1）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥．90PCD ︒∠=Q ，PC CD ∴⊥．PA PC P ⋂=Q ，CD ∴⊥平面P AC ． AC ⊂Q 平面P AC ，CD AC ∴⊥．（2）由（1）得90ACD ︒∠=，在直角三角形ACD 中，60CAD ︒∠=， 可得CF AF =，60ACF ︒∠=，//CF AB ．CF ⊄Q 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， //CF ∴平面P AB ．E Q 、F 分别是PD 、AD 中点，//EF PA ∴，又EF ⊄Q 平面P AB ，PA ⊂平面P AB ，//EF ∴平面P AB ．CF EF F ⋂=Q ，∴平面//CEF 平面P AB ．PB ⊂Q 平面P AB ，//PB ∴平面CEF ．21解：（1）以{}1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ，则由题意知(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,4)A ，(1,1,0)D ，1(0,2,4)C ，1(2,0,4)A B ∴=-u u u r ，1(1,1,4)C D =--u u u u r，111111cos ,||||A B C D A B C D A B C D ⋅∴〈〉===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ∴异面直线1A B 与1C D． （2）(0,2,0)AC =u u u r是平面1AA B 的一个法向量，设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，(1,1,0)AD =u u u r Q ，1(0,2,4)AC =u u u u r，10240m AD x y m AC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩u u u r，取1z =，得2y =-，2x =． ∴平面1ADC 的法向量(2,2,1)m =-，设平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角为θ，2cos |cos ,|3AC m θ∴=〈〉==u u u r ，∴平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角的余弦值为23．22解：（1）依题意，在椭圆22:143x y Γ+=中，24a =，23b =， 则2221c a b =-=，所以点(1,0)F ，则12p=，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =．（2）设直线:1l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y ty --=．因为216160t ∆=+>，所以121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩①，且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩． 又AF FB λ=u u u r u u u r ，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①，得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y ，得2142t λλ=+-．易得(1,0)H -， 则()()2222221122||||11HA HB x y x y +=+++++()222212121222x x x x y y =++++++ ()()()222212121211222ty ty ty ty y y =+++++++++()()()2221212148t y y t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+42164016t t =++．由4216401640t t ++≥， 解得212t ≥或23t ≤-（舍去）， 将212t ≥代入2142t λλ=+-，得140λλ+-≥， 又由题意，可得0λ>，解得02λ<≤2λ≥+故存在满足题意的实数λ，其取值范围是(0,2[2)-⋃++∞．。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
广东省广州市八区2019学年第一学期期末教学质量监测高二数学试题
2019学年第一学期期末教学质量监测高二数学（试题）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上.2 .选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上^3 .非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不 按以上要求作答的答案无效 .4 .考生必须保持答题卡的整洁、选择题：本大题共 12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的24 .设命题p ： x 0,1 ,都有x 1 0,则 p 为（ ）A. x 0 0,1 ,使 x 2 1 02B. x 0,1，者B 有 x 1 0C. x 0 0,1 ,使 x 2 1 0一 _2D. x 0,1 ,都有 x 1 01 .设集合A 3A. 4,一2r2 .已知向量a 3,A.10 3x 4B.32, 162tx 2x 3 0 C.，则AI32，1 D.3 2，4B. 10C.4D.3.已知双曲线2x C 的方程为：一 16 2—1 ,则双曲线的焦距长为（ 9A. 7B.2 JC.5D.105.若a, b, c, d为实数，则下列命题正确的是（）A.若 a b,贝 Uac bcC.若 a b, c d,则 a c b r 6 .已知n 为平面 的一个法向量，D.若 a b , c d ,贝U ac bdA.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件成角的余弦值为（C 至 口.5的等差中项为5,则S 5否命题中，假命题的个数为（7.在长方体ABCDABGD I 中, ABBC a, AAJ3a,则异面直线AG 与CD i 所rl 为一条直线，则 1 n”是1 P ”的（C.充要条件B.必要不充分条件 1A. ■8.已知各项均为正数的数列为等比数列,S n 是它的前 n 项和，若0 7a 3，且22与a 4A.29B.31C.33D.359.命题若a n 是等比数列，则a n a n k n k 且 n 、 k N ） ”的逆命题、否命题与逆a n ka nA.0B.1C.2D.3210.双曲线C ： X 2— 1的右焦点为3F,点 P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ,则PFO 的面积为（3 2A. ----43、2B.——21C..211.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 ABGD 1,该项目由长方形核心喷泉区 ABCD （阴影部分） 和四周绿化带组成.规划核心喷泉区 ABCD 的面积为1000m 2,绿化带的宽分别为 2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地 AB I GD I 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）.三、解答题：本大题共 6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .(本小题满分10分)22A. 20m 52mB. 50mC.10、10mD.100m12 .在三棱锥 D ABC 中，AB BC 272 , DA DC AC平面ADC 平面ABC ，点M 在^BC 上，且DC 与平面DAM 所成角的正弦值为则 AM ().B. .10C2 3D.—二263二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.x13 .已知实数x, y 满足约束条件x 3x0 ,则z 2x y 的最大值为 014 .某学校启动建设一个全新的信息化朱来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第 7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是15 .已知E,2x F 2是椭圆C:— a 2 y _ b 21 (a b 0)的左，右焦点，点 P 为C 上一点，O为坐标原点,POF 2为正三角形，则 C 的离心率为16 .如图平行六面体ABCD A4GD 中 AB AD AA 1BAD DAA 1 BAA 1 60，则 BD 1记S n为公差不为零的等差数列a n的前n项和，已知a i a9, 0 18.(1)求an的通项公式；(2)求S n的最大值及对应n的大小.18.(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点1, 2 ,抛物线C的焦点为F, 准线为1.(1)求抛物线C的方程；(2)过F且斜率为J3的直线h与抛物线C相交于两点A、B,过A、B分别作准线1的垂线，垂足分别为D、E,求四边形ABED的面积.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，PB PD .(1)证明：平面APC 平面BPD;(2)若PB PD , DAB 60 , AP AB 2 ,求二面角A PD C 的余弦值.20.(本小题满分12分)数列a n的前n项和为S n ,且S n n2 ( n N ),数列b n满足b 2, b n 3b n 1 2 (n 2, n N).(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列b n 1是等比数列；(3)设数列C n满足C n —a一,其前n项和为证明：T0 1. b n 121.(本小题满分12分)2 2 .................如图，已知圆A： x 1 y 16,点B 1,0是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线l i和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点D 4,0的直线1与曲线C相交于M, N两点(点M在D, N两点之间).是否uur uuur 存在直线12使得DN 2DM ?若存在，求直线12的方程；若不存在，请说明理由 .22.(本小题满分12分)已知函数f x x2 mx m n (m, n R ).(1)若关于x的不等式f x 0的解集为3,1 ,求实数m, n的值；(2)设m 2,若不等式f x n2 3n对x R都成立，求实数n的取值范围；(3)若n 3且x 1, 时，求函数f x的零点.。
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，的一个通项公式是（ ）A ．12n- B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+-D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯所以其通项公式是：(1)2nn-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n n a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a =故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12- B ．12C． D．2【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A =0,sin 0A A π<<∴≠,则1cos sin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ）A ．1l ，2l 都平行于同一个平面B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面 【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2/分B ．2海里/分C 3海里/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B =∠∠，即120sin 2102sin 22AB BAC BCA⨯⋅∠===∠1022=海里/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题. 8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF=，，2BC BF=，且AFBF>，则此抛物线的方程为（ ） A ．2yx = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BNFB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒所以60AFM ∠=︒ 又4AF=，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2p A +由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=cos AD BE AD BE θ===⎛⋅⋅2a =该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()xx ax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件. 其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(xx ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=， 所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=得到22221AF F F =，即有2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==， 所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB B C AC===，解得56C π=(舍)，6C π=故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【答案】1-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题. 16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________．【答案】1-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos 3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴=3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =， 即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a =所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n =【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A .（1）求A ； （2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π= （2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 24S bc A bc == 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+- 又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以24S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题. 19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x y m m -=--表示双曲线； 命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可； (2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->， 即m 的取值范围是12m <或4m >（2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立， 则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤ 1m ∴<或14m <≤【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB=，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k =，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+，又AFFB=，故()02,0B x +令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-，()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k -+=21D x k ∴=，2D y k =，212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD中，AB =BC =E 、P分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）15【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角 'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ∆中，由35DC AB ==，152DP =，2235PC DP DC =-=以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则(5,25AE =，3535,PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭即35355250AE PD ⋅=-⨯+⨯= AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '⋂=，,OD OP '⊂平面POD ' AE ∴⊥平面POD 'D P '⊂平面POD '，AE D P '∴⊥；（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到23D OP π'∠=.在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -， (11,1,3D Q '=--，(2,4,0)EC =-，(1,3ED '=-， 设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =，由24030n EC x y n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'， 取1y =，得32,1,3n ⎛=- ⎝⎭. l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,n D Q n D Q n D Q '⋅'=='⋅【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22．已知椭圆22:236C x y +=.（1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长e =（2）TM TP >，证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =，TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y 则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+，此时()114,PM x y =-，()224,PN x y =-，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+-- ()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k k k k -++=-++++ ()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦ 22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部. 所以TM TP >， 综上所述，TMTP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
人教A版2019-2020学年广东省广州市天河区高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期数学期末考试试卷一、选择题1．数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）A．56只B．65只C．55只D．66只3．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2＝0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则cos B＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）A．l1，l2都平行于同一平面B．l1，l2与同一平面所成的角相等C．l1，l2都垂直于同一平面D．l1平行于l2所在的平面7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15°的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（）A．海里/分B．2海里/分C．海里/分D．海里/分8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158 B．162 C．182 D．3249．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x10．四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．11．以下几种说法①命题“∃a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有﹣一个零点”为真命题②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题③“x2+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”等价于“对于x∈[1，2]，有（x2+2x）min≥（ax）”max④△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．其中说法正确的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．双曲线的焦点到渐近线的距离为．14．在△ABC中，AB＝1，，，则∠C＝．15．已知三棱锥A﹣BCD每条棱长都为1，点E，G分别是AB，DC的中点，则＝．16．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*，且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S2020＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}中，a5﹣a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值．18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C+c sin A．（1）求A；（2）若，求△ABC面积的最大值．19．已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB 的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．21．如图1，在矩形ABCD中，，，点E、P分别在线段DC、BC上，且，”，现将△AED沿AE折到△AED'的位置，连结CD'，BD'，如图2．（1）证明：AE⊥D'P；（2）记平面AD'E与平面BCD'的交线为l．若二面角B﹣AE﹣D'为，求l与平面D'CE 所成角的正弦值．22．已知椭圆C：x2+2y2＝36．（1）求椭圆C的短轴长和离心率；（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，由此写出此数列的一个通项公式．解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，故此数列的一个通项公式是．故选：B．2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）A．56只B．65只C．55只D．66只【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，则数列{a n}成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的个数解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6所以{a n}的通项公式：为a n＝6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2＝0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．解：对于命题p：∵y＝lnx与y＝2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；即∃x0∈R，使lnx0＝2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；对于命题q：当x＝3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；综上，为真命题的是C．故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则cos B＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由诱导公式，三角形内角和定理化简已知等式可得a cos＝b sin A，又由正弦定理可得a sin B＝b sin A，可得cos＝sin B，利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cos B﹣1＝0，结合B的范围解方程即可得解．解：∵，∴a sin＝a cos＝b sin A，又∵由正弦定理，可得：a sin B＝b sin A，∴cos＝sin B，可得：cos2＝sin2B，可得：＝1﹣cos2B，∴2cos2B+cos B﹣1＝0，∴解得：cos B＝，或﹣1，∵B∈（0，π），∴cos B＝．故选：B．6．直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）A．l1，l2都平行于同一平面B．l1，l2与同一平面所成的角相等C．l1，l2都垂直于同一平面D．l1平行于l2所在的平面【分析】依据题中条件，逐一分析各个选项，考查由此选项能否推出直线l1∥l2，可以通过举反例排除某些选项．解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错．对于B：l1与l2还可能为相交或异面直线，故B错．对于选项C，根据直线与平面垂直的性质定理，C正确．另外，对于选项D，l1与l2不一定平行，故D错．故选：C．7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15°的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（）A．海里/分B．2海里/分C．海里/分D．海里/分【分析】△ABC中，利用正弦定理求得AC的值，再计算海轮的航行速度．解：△ABC中，AB＝20，∠ACB＝90°﹣30°﹣15°＝45°，∠B＝180°﹣45°﹣（90°+15°）＝30°，由正弦定理得，＝，AC＝＝＝10；所以海轮的航行速度为v＝＝（海里/分）．故选：D．8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158 B．162 C．182 D．324【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即＝27，高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝162．故选：B．9．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BE|，∴∠DCA＝30°∴|AC|＝2|AD|＝8，∴|CF|＝8﹣4＝4，∴|PF|＝＝2，即p＝|PF|＝2，∴所以抛物线方程为：y2＝4x，故选：C．10．四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量求出BD＝2，由此能求出该四面体的体积．解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（，0），设D（0，0，t），＝（﹣1，0，t），＝（，0），∵异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，∴cosθ＝＝＝，解得t＝2，∴该四面体的体积：V＝＝＝．故选：A．11．以下几种说法①命题“∃a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有﹣一个零点”为真命题②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题③“x2+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”等价于“对于x∈[1，2]，有（x2+2x）min≥（ax）”max④△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．其中说法正确的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由函数零点与方程根的关系判断①；写出命题的逆否命题并判断真假判断②；举例说明③错误；在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义判断④．解：①，当a＞0时，方程ax2+2x﹣1＝0的判别式△＝4+4a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1有两个零点，故①错误；②，命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题为：“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x+y＝3”为真命题，则原命题是真命题，故②正确；③，a＝2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min＝3＜2x max＝4，故③错误；④，在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sin A＞sin B．若a＞b，由正弦定理得sin A＞sin B，充分性成立．若sin A＞sin B，则正弦定理得a＞b，必要性成立．∴“a＞b”是“sin A＞sin B”的充要条件，即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故④正确．∴说法正确的序号为②④．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1 B．C．D．【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c＝5a，4c＝5b，即可得到所求方程．解：若（+）•＝0，即为若（+）•（﹣+）＝0，可得2＝2，即有|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝﹣，cos∠AF2F1＝﹣＝，化为3c＝5a，即a＝c，b＝c，可得a：b＝3：4，a2：b2＝9：16．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．双曲线的焦点到渐近线的距离为．【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．解：由双曲线，得焦点坐标为F（±4，0），渐近线方程为y＝，不妨取焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为．则焦点到渐近线的距离为d＝．故答案为：2．14．在△ABC中，AB＝1，，，则∠C＝．【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．解：在△ABC中，AB＝1，，，利用正弦定理得：，解得sin C＝．由于0＜C＜π，故：C＝或（不合题意，舍去）故C＝．故答案为：15．已知三棱锥A﹣BCD每条棱长都为1，点E，G分别是AB，DC的中点，则＝．【分析】利用向量的加减法运算把用表示，再由向量的数量积运算得答案．解：如图，∵＝＝＝，∴＝（）＝＝．故答案为：﹣．16．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*，且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S2020＝．【分析】由等式两边同除以n（n+1），结合等差数列的定义和通项公式可得a n＝n2，＝n cos，计算可得每隔6项的和都为3，计算可得所求和．解：a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），可得﹣＝1，即有＝1+n﹣1＝n，可得a n＝n2，＝n cos，则b1＝﹣，b2＝2×（﹣）＝﹣1，b3＝3×1＝3，b4＝4×（﹣）＝﹣2，b5＝5×（﹣）＝﹣，b6＝6×1＝6，b7＝﹣，b8＝8×（﹣）＝﹣4，b9＝9×1＝9，b10＝10×（﹣）＝﹣5，b11＝11×（﹣）＝﹣，b12＝12×1＝12，…，可得每隔6项的和都为3，则S2020＝3×336+2017×（﹣）+2018×（﹣）+2019×1+2020×（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}中，a5﹣a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简可得S n，解方程可得k．解：（1）设数列{a n}的公差为d，因为a5﹣a2＝6，所以5d＝10，解得d＝2，因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以，即，解得a1＝5，所以a n＝2n+3；（2）由（1）知，所以，所以＝，由＝，得n＝15．18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C+c sin A．（1）求A；（2）若，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可求cos A＝sin A，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解．解：（1）由正弦定理可得：sin B＝sin A cos C+sin C sin A，∴sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝sin A cos C+sin C sin A，∵sin C≠0，∴cos A＝sin A，又A∈（0，π），∴．（2）∵，由余弦定理可得，，又a2+c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．所以，所以面积最大为．19．已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）由（2m﹣1）（m﹣4）＞0即可求得m的取值范围；（2）若命题q为真，则恒成立，列关于m的不等式组求得m的范围，再由p真q假或p假q真分别求得m的范围，取并集得答案．解：（1）若命题p为真命题，则（2m﹣1）（m﹣4）＞0，解得m或m＞4．即m的取值范围是或m＞4；（2）若命题q为真，则恒成立，则，即m＞1．∵命题p、q一真一假．∴当p真q假时，得；当p假q真时，1＜m≤4．∴实数m的取值范围是或1＜m≤4．20．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB 的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．【分析】（1）运用抛物线的定义可得所求轨方程；（2）设A（x0，y0），由抛物线的定义可得|AF|，求得B的坐标，直线AB的斜率，设出平行于直线AB的方程，联立抛物线方程，由相切的条件：判别式为0，可得D的坐标，直线AD的斜率和方程，进而判断结论．解：（1）由题意可得动点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，准线为x＝﹣1的抛物线y2＝4x；（2）由题设A（x0，y0），则|AF|＝x0+1，又|AF|＝|FB|，故B（x0+2，0），令平行于AB的直线l：y＝kx+m，则，∴A（k2，﹣2k），代入y2＝4x，得（kx+m）2＝4x，整理k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0（*）∴△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，∴km＝1，∴，所以（*）可以化为∴，，∴，∴，∴，∴，过定点F（1，0），当k2＝1时，AD：x＝1也过点F（1，0），故直线AD过点F（1，0）．21．如图1，在矩形ABCD中，，，点E、P分别在线段DC、BC上，且，”，现将△AED沿AE折到△AED'的位置，连结CD'，BD'，如图2．（1）证明：AE⊥D'P；（2）记平面AD'E与平面BCD'的交线为l．若二面角B﹣AE﹣D'为，求l与平面D'CE 所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AE⊥OD，AE⊥OP，AE⊥OD'，AE⊥OP，从而AE⊥平面POD'，由此能证明AE⊥D'P．（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，根据二面角定义得到．在平面POD'内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标，利用向量法能求出l与平面D'CE所成角的正弦值．解：（1）证明：先在图1，在Rt△ADE中，由，，得，在Rt△PCD中，由，，，得，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，则∠PDC＝∠DAE，∴∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，OD'∩OP＝O，∴AE⊥平面POD'，则AE⊥D'P．（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，再根据二面角定义得到．在平面POD'内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，E（﹣1，0，0），Q（﹣11，0，0），C（﹣3，4，0），＝（﹣11，1，﹣），＝（﹣2，4，0），＝（1，﹣1，），设平面D'EC的一﹣个法向量为＝（x，y，z），由，取y＝1，得＝（2，1，﹣）．∴l与平面D'CE所成角的正弦值为：|cos＜＞|＝＝．22．已知椭圆C：x2+2y2＝36．（1）求椭圆C的短轴长和离心率；（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．【分析】（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为，即可得出短轴长及其离心率．（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，此时T（2，0），可得|TM|＞|TP|．当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2），代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出．解：（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为∴a＝6，，故短轴长为，（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，此时T（2，0），∴|TM|＝4，|TP|＝2，∴|TM|＞|TP|，当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2）代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，∴（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，令M（x1，y1），N（x2，y2）则，，此时＝（x1﹣4，y1），＝（x2﹣4，y2），∴•＝（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝＝＝＝．∴∠MPN＞90°，点P在以MN为直径的圆内部．所以|TM|＞|TP|，综上所述，|TM|＞|TP|．。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝52．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ）A ．25B ．16C ．5D ．45．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√36．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R 0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg 2≈0.3010）（ ） A ．6天B ．15天C ．18天D ．21天7．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点E ．已知|AF |＝5，|BF |＝3，若△AEF 的面积是△BEF 面积的2倍，则抛物线C 的方程为（ ）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知双曲线C的方程为y216−x29=1，则（）A．双曲线C的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B．双曲线C的渐近线方程为y=±34xC．双曲线C的离心率为5 4D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为110．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于411．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．9412．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M，N分别为△ABC与△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A．直线MN与BD所成角的大小为60°B．点A到直线MN的距离为√11 3C．直线MN与平面ACD间的距离为2√2 3D．若BP⊥平面ACD，则三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为27π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽米．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为，点P到直线AF的距离的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程．2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝5解：当直线倾斜角小于45°时，它的斜率小于tan45°＝1，且大于等于0． 由此判断：A 项的直线4x ﹣y +5＝0，斜率k ＝4，不符合题意； B 项的直线x +4y ﹣5＝0，斜率为−14，不符合题意；C 项的直线x ＝4，倾斜角为90°，不符合题意；D 项的直线y ＝5，斜率k ＝0，符合题意． 故选：D ．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=2n+12n=2=a n+2a n， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，公比为2， 则a 5＝1×22＝4， 故选：B ．3．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=GE →+EC →+CF →=13AE →+12BC →+12AA 1→ =16AB →+16AC →+12AC →−12AB →+12AA 1→=−13AB →+23AC →+12AA 1→．故选：D ．4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ） A ．25B ．16C ．5D ．4解：根据题意可得a 2﹣9＝15+1，又a ＞0，解得a ＝5． 故选：C ．5．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√3解：∵A （3，2，0），B （6，1，﹣2，），C （5，﹣1，1）， ∴AB →=（3，﹣1，﹣2），AC →=（2，﹣3，1）， ∴|AB →|=√(3)2+(−1)2+(−2)2=√14， |AC →|=√22+(−3)2+12=√14， 设AB →与AC →的夹角为θ，则cos θ=AB →⋅AC →|AB →||AC →|=−2+3+614×14=12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ=π3，即AB →与AC →的夹角为π3，即∠BAC =π3，∴△ABC 的面积S =12|AB →|⋅|AC →|⋅sin∠BAC =12×√14×√14×√32=7√32，故平行四边形的面积为7√3． 故选：D ．6．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．6天B．15天C．18天D．21天解：设第n轮感染的人数为a n，则数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，由1+S n=2×(1−2n)1−2+1=99，解得：2n＝50，两边取对数得：nlg2＝lg50，则nlg2=lg 1002，∴nlg2＝2﹣lg2，∴n=2−lg2lg2≈2−0.30100.3010≈5.64≈6，故需要的天数约为6×3＝18天．故选：C．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|＝5，|BF|＝3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x解：如图，过A，B分别y轴的垂线，垂足分别为C，D，设△AEF，△BEF的面积分别为S1，S2，且S1＝2S2，所以|AE|：|BE|＝2：1，∴|AC||BD|=5−p23−p2=2，解得p＝2．则抛物线C的方程为y2＝4x．故选：B．8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：这是空间背景下的平面动点轨迹问题，如图，AB ＝8，CD ＝4，BD ＝6，由∠APB ＝∠CPD ，得PB AB=PD CD，即PB ＝2PD ．设P （x ，y ），由PB ＝2PD 得√x 2+y 2=2√x 2+(y −6)2，方程化简后为：x 2+y 2﹣16y +48＝0，即x 2+（y ﹣8）2＝16， 即所求轨迹是以（0，8）为圆心，半径为4的圆． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，则（ ）A ．双曲线C 的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±34xC ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为1 解：∵双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，且焦点在y 轴上，∴双曲线C 的焦点坐标为（0，±5），∴A 选项正确； ∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±43x ，∴B 选项错误；∴双曲线C 的离心率为c a =54，∴C 选项正确；∴双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为c ﹣a ＝1，∴D 选项正确． 故选：ACD ．10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ），则（ ）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4解：直线l的方程（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，整理得（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）＝0．该方程对于任意实数m∈R成立，于是有{2x+y−7=0x+y−4=0，解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点D（3，1）．所以A正确；圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，圆心C（1，2），半径为5，因为直线l恒经过圆C内的定点D，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径10；所以B正确．当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短．由C（1，2），D（3，1），可知k CD=−12，所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，于是有−2m+1m+1=2，解得m=−34．所以C不正确．当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，圆心到直线的距离d=|1+2−4|√2=√22，圆的半径为5，所以圆C上恰有4个点到直线l的距离等于4．所以D不正确．故选：AB．11．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．94解：∵∀n∈N*，S n≥S3，∴{a1＜0d＜0，且{a3≤0a4≥0，即{a1+2d≤0a1+3d≥0，解得﹣3d≤a1≤﹣2d，若a6a5=12，则a1+5da1+4d=12，解得a1＝﹣6d，不满足条件，舍去，A错误；若a6a5=32，则a1+5da1+4d=32，解得a1＝﹣2d，满足条件，B正确；若a6a5=53，则a1+5da1+4d=53，解得a1=−52d，满足条件，C正确；若a6a5=94，则a1+5da1+4d=94，解得a1=−165d，不满足条件，D错误．故选：BC．12．已知正四面体ABCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 与△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线MN 与BD 所成角的大小为60°B ．点A 到直线MN 的距离为√113C ．直线MN 与平面ACD 间的距离为2√23D ．若BP ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的表面积为27π2解：将正四面体A ﹣BCD 放入正方体DEBF ﹣GAHC 中，以点D 为原点，以DE ，DF ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示：因为正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，所以正方体的棱长为√2，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （0，0，0），A(√2，0，√2)，B(√2，√2，0)，C(0，√2，√2)， 因为点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心， 所以点M 的坐标为(2√23，2√23，2√23)，点N 的坐标为(2√23，√23，√23)， 对于A ，MN →=(0，−√23，−√23)，BD →=(−√2，−√2，0)，所以|cos ＜MN →，BD →＞|=2323×2=12，所以直线MN 与BD 所成角为60°，故A 正确； 对于B ，AM →=(−√23，2√23，−√23)，MN →的单位方向向量为e →=(0，−√22，−√22)，所以点A 到直线MN 的距离d =√AM →2−(AM →⋅e →)2=√113，故B 正确；对于C ，因为MN →=(0，−√23，−√23)， 设平面ACD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，因为DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 所以{√2x +√2z =0√2y +√2z =0，取x ＝1，则n →=（1，1，﹣1），因为MN →⋅n →=0，且直线MN ⊄平面ACD ， 所以直线MN ∥平面ACD ，所以点N 到平面ACD 的距离就是直线MN 到平面ACD 的距离， 则点N 到平面ACD 的距离d =|DN →⋅n →||n →|=2√23√3=2√69， 即直线MN 到平面ACD 的距离为2√69，故C 错误； 对于D ，若BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以BP ⊥AC ， 设NP →=λNC →（0≤λ≤1），则NP →=(−2√23λ，2√23λ，2√23λ)， 则DP →=DN →+NP →=（2√23−2√23λ，√23+2√23λ，√23+2√23λ）， BP →=BN →+NP →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)， 所以BP →⋅AC →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)•(−√2，√2，0)=0， 即23+43λ−43+43λ=0，解得λ=14，则DP →=(√22，√22，√22)，设△ACD 的重心为Q ，则Q （√23，√23，2√23）， 所以PQ →=DQ →−DP →=（√23，√23，2√23）−(√22，√22，√22)=(−√26，−√26，√26)，又DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 则PQ →⋅DA →=0，PQ →⋅DC →=0， 所以PQ ⊥DA ，PQ ⊥DC ，又DA ∩DC ＝C ，DA ，DC ⊂平面ACD ， 所以PQ ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的球心在直线PQ 上， 又因为点Q 为等边三角形ACD 的重心，所以点Q 为等边三角形ACD 的外心，△ACD 外接圆半径为|DQ →|=√23+23+89=2√33，设三棱锥P ﹣ACD 外接球的半径为R ，则R2＝（R﹣PQ）2+DQ2，即R2=(R−√66)2+43，解得R=3√64，所以三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为4πR2=27π2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为4．解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a n+2＝3a n+1+4a n，∴a n•q2＝3qa n+4a n，化为q2﹣3q﹣4＝0，q＞0，解得q＝4，故答案为：4．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是3√104．解：由两条直线平行可得：21=m3=−36，解得m＝6．所以两条直线分别为：2x+6y+12＝0，可得两条直线的距离d=|−3−12|√2+6=3√104．故答案为：3√10 4．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽22√5米．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2，∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣2.5）得x0=√5，故水面宽为2√5m ． 故答案为：2√5．16．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面ADD 1A 1上的动点，且PC 1∥平面AEF ，则点P 的轨迹长为√22 ，点P 到直线AF 的距离的最小值为 √23． 如图，连接BC 1，FD 1，AD 1．由正方体的性质易证四边形ABC 1D 1为矩形，因为点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，所以EF ∥BC 1∥AD 1，且EF =12BC 1=12AD 1，所以平面AEF 截正方体所得截面为梯形AEFD 1， 分别取AA 1，A 1D 1 的中点M ，N ，连接MN ，MB ，C 1N ，易证MB ∥D 1F ，因为MB ⊄平面AEFD 1，D 1F ⊂平面AEFD 1，所以MB ∥平面AEFD 1， 因为MN ∥AD 1，MN ⊄平面AEFD 1，AD 1⊂平面AEFD 1，所以MN ∥平面AEFD 1． 因为MB ∩MN ＝M ，MB ，MN ⊂平面MNC 1B ，所以平面MNC 1B ∥平面AEFD 1． 因为动点P 始终满足PC 1∥平面AEF ，所以PC 1⊂平面MNC 1B ，又点P 在侧面ADD 1A 1上，所以点P 的轨迹是线段MN ，轨迹长为√A 1N 2+A 1M 2=√22；如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则M(1，0，12)，N(12，0，1)，A （1，0，0），F(0，1，12)，则MN →=(−12，0，12)，AM →=(0，0，12)，AF →=(−1，1，12)，令MP →=tMN →(0≤t ≤1)，则MP →=(−12t ，0，12t)，因为AP →=AM →+MP →=(−12t ，0，1+t2)，所以AP →⋅AF →=1+3t4，AP →⋅AF→|AF →|=1+3t432=12t +16， 所以点P 到直线AF 的距离d =√|AP →|2−(AP →⋅AF →|AF →|)2=√14t 2+14(t +1)2−(12t +16)2=√14t 2+13t +29，因为函数f(t)=14t 2+13t +29=14(t +23)2+19，其图象的对称轴为直线t =−23，开口向上，在[−23，+∞)上单调递增，所以当t ∈[0，1]时，f(t)min =f(0)=29，所以点P 到直线AF 的距离的最小值为√29=√23．故答案为：√22；√23．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n−1(n∈N∗)，∴当n＝1时，a1=S1=21−1=1，当n⩾2时，S n−1=2n−1−1，a n=S n−S n−1=2n−1，又由n＝1时，2n﹣1＝1，综上可得：a n=2n−1(n∈N∗)；（2）∵b n＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，∴{b n}是等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．解：（1）函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点分别为（1，0），（3，0），（0，3），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则{1+D+F=09+3D+F=09+3E+F=0，解得{D=−4E=−4F=3，故圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0；（2）由（1）可知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，当直线l的斜率不存在，即x＝1时，y＝0或4，满足直线l被圆C截得的弦长为4，符合题意，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y+4﹣k＝0，由题意可知，√k2+1=√(√5)2−(42)2，解得k=−34，即直线l的方程为3x+4y﹣19＝0，综上所述，直线l的方程为x＝1或3x+4y﹣19＝0．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．（1）证明：∵△ADC1中，DC1＝AB＝4，AD＝2，AC1=2√3，∴AC12+AD2=DC12=16，可得∠DAC1＝90°，即DA⊥AC1，又∵DA⊥AB，AB、AC1是平面ABC1内的相交直线，∴DA⊥平面ABC1，∵DA⊂平面AC1D，∴平面ABC1⊥平面AC1D；（2）解：过点C1作C1E⊥BD于E，过E作EF⊥BD，交AB于点F，连接C1F，则∠C1EF是二面角C1﹣BD﹣A的平面角，Rt△BC1D中，C1E=C1B⋅C1DBD=2×4√4+2=4√55，BE=BC12BD=42√5=2√55．由Rt△ABD∽Rt△EBF，得EFAD=BEAB，所以EF=AD⋅BEAB=2×2√554=√55．因为C1E⊥BD、EF⊥BD，C1E∩EF＝E，所以BD⊥平面C1EF，可得BD⊥C1F，因为DA⊥平面ABC1，且C1F⊂平面ABC1，所以DA⊥C1F，结合BD、DA是平面ABD内的相交直线，可知C1F⊥平面ABD，所以C1F⊥EF，在Rt△C1EF中，cos∠C1EF=EFEC1=√554√55=14，即平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值等于14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．（1）解：因为动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切，所以圆心C到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x＝﹣2的距离相等，所以动圆的圆心C的轨迹是以定点F（2，0）为焦点，以x＝﹣2为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x．（2）证明：经过点F的直线l的方程斜率不为0，设AB方程为x＝my+2，代入抛物线方程得y2﹣8my﹣16＝0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝﹣16，因为BP∥x轴，且点P在准线x＝﹣2上，所以点P的坐标为（﹣2，y2），即P（﹣2，−16y1），k OA=y1x1=y1y128=8y1，k OP=−16y1−2=8y1，所以k OA＝k OP，所以直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ， 因为M 为棱AE 的中点，则MN ∥EC ，又MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ， 所以MN ∥平面EFC ， 又BF ∥DE ，BF ＝DE ，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BD ∥EF ，又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以BD ∥平面EFC ，又MN ∩BD ＝N ，MN ，BD ⊂平面BMD ， 所以平面BMD ∥平面EFC ；（2）解：因为ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，则分别以DA 、DC 、DE 所在的直线为轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ED ＝2a （a ＞0），则B （2，2，0），M （1，0，a ），C （0，2，0），F （2，2，2a ），E （0，0，2a ），A （2，0，0）， 所以BM →=(−1，−2，a)，CF →=(2，0，2a)，因为BM ⊥CF ，则﹣1×2+a ×2a ＝0，a ＝1或a ＝﹣1（舍）， 所以EA →=(2，0，−2)，AF →=(0，2，2)，设平面EAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m ⋅→EA →=0m →⋅AF →=0，即{2x −2z =02y +2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即m →=(1，−1，1)， 因为点P 为线段CE 上一点，设EP →=λEC →=λ（0，2，﹣2）（0≤λ≤1）， 所以P （0，2λ，2﹣2λ），PM →=(1，−2λ，2λ−1)， 设直线PM 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜PM →，m →＞|=|PM →⋅m →||PM →|⋅|m →|=4λ√3×√1+4λ2+(2λ−1)2=6√(1λ−1)2+3≤63=2√23， 当且仅当λ＝1时等号成立，故（sin θ）max =2√23． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程． 解：（1）因为PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|， 设直线PF 2的方程为x ＝c ，代入椭圆的方程，可得y P2=b 2（1−c 2a 2）=b4a2，可得|y P |=b 2a ，即|PF 2|=b2a ，所以|PF 1|=7b2a，由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 即b 2a+7b 2a=2a ，可得a 2＝4b 2，即b =12a ，所以c 2＝a 2﹣b 2＝3b 2， 所以离心率e =c a =√3b 2b =√32； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由（1）得a 2＝4b 2，设C ：x 24b 2+y 2b 2=1，即x 2+4y 2＝4b 2，由于A ，B 在椭圆上，则x 12+4y 12=4b 2，x 22+4y 22=4b 2①，由2OA →+3OB →=4OM →，得{2x 1+3x 2=4x 02y 1+3y 2=4y 0，可得x 0=2x 1+3x 24，y 0=2y 1+3y 24，由M 在椭圆上，则x 02+4y 02=4b 2，即(2x 1+3x 24)2+4(2y 1+3y 24)2=4b 2， 即4(x 12+4y 12)+12(x 1x 2+4y 1y 2)+9(x 22+4y 22)=64b 2②，将①代入②得；x 1x 2+4y 1y 2=b 2③，线段AB 的中点为Q(1，−12)，设AB ：y =k(x −1)−12，可知{y =k(x −1)−12x 2+y 2=4b2， 消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣（8k 2+4k ）x +4k 2+4k ﹣4b 2+1＝0， x 1+x 2=8k 2+4k 1+4k2=2×1⇒k =12，所以x 2﹣2x +2﹣2b 2＝0，其中Δ＞0，解得b 2＞12，所以x 1⋅x 2=2−2b 2，AB 方程为y =12x −1，又y 1y 2=(12x 1−1)(12x 2−1)=14x 1x 2−12(x 1+x 2)+1=1−b22④，将④代入③得：2−2b 2+4⋅1−b 22=b 2⇒b 2=45，经检验满足b 2＞12，所以椭圆C 的方程为5x 216+5y 24=1．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（4，0）6．已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：x 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
广东省广州市铁一中学、广州外国语学校、广大附中2023-2024学年高二上学期期末三校联考数学试题
MN
2
³
ld2 恒
成立，则 l 的取值范围是（ ）
( A． -¥, 2 ùû
B．(-¥, 2]
( C． -¥ ,1+ 2 ùû
D． (-¥,3]
二、多选题
9．已知向量
r a
=
(
m,
-1)
,
r b
=
(
-2,1)
，则下列说法正确的是（
）
A．若 m
= 1，则
rr a-b
=
13
B．若
r a
r //b
，则
m
=
答案第31 页，共22 页
则等价于 sin t -1 = 0,t Î[-w,w ) 有两个根，由于 x Î(0,ππ),U2π( ) 时， t = w cos x 有两个根； ∴原题等价于 y= sin t, t Î(-w,w ) 与 y=1有一个公共点，如图，
则
-w
>
-
3π 2
且w
>
π 2
，所以
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) 的左顶点和右顶点分别为 A
和 B ，椭圆 C
的离心
试卷第51 页，共33 页
率为 2 并且与直线 x + y + 6 = 0 相切. 2
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若 M , N 分别为 C 上两点（不与 A , B 重合），若 kBN = 3kAM ，求VMON 面积的取值 范围.
B． x = x2 C．剩下 8 个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数
D． S 2
=
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2023-2024学年广东省广州市六区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．14．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．216．过直线l ：√3x +y −4=0上一点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠APB =π3，则点P 的坐标为（ ） A ．(4√33，0) B ．(2√3，−2)或（0，4）C ．(√3，1)D ．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)7．已知双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线右支相交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π2，tan ∠ABF 1=512，则双曲线的离心率为（ ）A ．√213B ．√21C ．√293D ．√298．数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =2n −1，前12项和为158，则a 1的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n ，则（ ） A ．S 3，S 6，S 9成等差数列B ．a 3，a 6，a 9成等差数列C ．数列{a n }是递增数列D ．数列{S n }是递增数列10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2 11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 ． 14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= ． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ ．16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 ；反射光线n 所在直线的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝4，S 3＝6． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为线段AB ，AA 1的中点．（1）求直线A 1C 与EF 所成角的余弦值； （2）求点B 1到平面CEF 的距离．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0． （1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列；（2）设c n=1a n−1，记集合{n|k≤c n≤2k，k∈N∗}中元素的个数为b k，求使b1+b2+⋯+b k＞2024成立的最小正整数k的值．22．（12分）如图，在圆O：x2+y2＝1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p重合）．（1）求曲线C的方程；（2）过点T（t，0）作圆O：x2+y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|表示成t的函数，并求|AB|的最大值．2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y解：抛物线的焦点坐标为（0，2），可得p ＝4，则抛物线的标准方程是：x 2＝8y ． 故选：D ．2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣4解：因为m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=（﹣2）×4+1×（﹣1）+（﹣3）×x ＝0，解得x ＝﹣3． 故选：C ．3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．1解：由题意直线的斜率k ＝tan π4=1．故选：D ．4．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解：第一个椭圆的a 1＝5，b 1＝4，则焦距为2√25−16=6， 且长轴长为10，短轴长为4，离心率为35，第二个椭圆的a2=√25−k ，b 2=√16−k ，则焦距为2√(25−k)−(16−k)=6，且长轴长为2√25−k ，短轴长为2√16−k ，离心率为√25−k，所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．21解：因为直线l1：3x﹣4y+m＝0（m＜0）与l2：3x+ny+6＝0平行，所以3n＝﹣4×3，解得n＝﹣4，所以l2：3x﹣4y+6＝0，又两平行线之间的距离d=|m−6|√3+(−4)=|m−6|5=3，所以|m﹣6|＝15，即m﹣6＝15或m﹣6＝﹣15，解得m＝21或m＝﹣9，因为m＜0，所以m＝﹣9，所以m+n＝﹣13．故选：A．6．过直线l：√3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB=π3，则点P的坐标为（）A．(4√33，0)B．(2√3，−2)或（0，4）C．(√3，1)D．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)解：因为点P在直线l：√3x+y−4=0上，可设P(√3a，4−3a)，又P A，PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，∠OPA=π6，|OA|=2，所以|OP|＝4，即√3a2+(4−3a)2=4，化为a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，所以点P坐标为(0，4)，(2√3，−2)．故选：B．7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，过F2的直线l与双曲线右支相交于A，B两点，且∠F1AB=π2，tan∠ABF1=512，则双曲线的离心率为（）A．√213B．√21C．√293D．√29解：如图，由题意，设|AF1|＝5x，则|AB|＝12x，|BF1|＝13x，设|AF2|＝y，则|BF2|＝12x﹣y，因为A，B都在双曲线上，所以|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣y＝13x﹣（12x﹣y）＝2a，解得x=2a3，y=4a3，又|F1F2|=2c=√|AF1|2+|AF2|2=√(10a3)2+(4a3)2=2√293a，所以c=√293a，则离心率e=ca=√293．故选：C．8．数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=2n−1，前12项和为158，则a1的值为（）A．4B．5C．6D．7解：当n为奇数时，a n+2﹣a n＝2n﹣1，可得a2n﹣1＝a1+（n﹣1）+12（n﹣1）（n﹣2）×4＝a1+（n﹣1）（2n﹣3），则a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+1+6+15+28+45＝6a1+95，而a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，则前12项和为6a1+95+33＝158，解得a1＝5．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，则（）A．S3，S6，S9成等差数列B．a3，a6，a9成等差数列C．数列{a n}是递增数列D．数列{S n}是递增数列解：数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，对于A，S3＝32﹣3＝6，S6＝62﹣6＝30，S9=92−9=72，∵2S6≠S3+S9，∴S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；对于B，a3＝S3﹣S2＝（32﹣3）﹣（22﹣2）＝4，a6＝S6﹣S5＝（62﹣6）﹣（52﹣5）＝10，a9＝S9﹣S8＝（92﹣9）﹣（82﹣8）＝16，∵2a6＝a3+a9，∴a3，a6，a9成等差数列，故B正确；对于C，数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2，∴数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n =n （n ﹣1）， ∴数列{S n }是递增数列，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2解：对于A ，直线l 的方程可化为：x +y ﹣2+λ （3x +y ﹣4）＝0，由{x +y −2=03x +y −4=0，解得{x =1y =1，∴直线l 恒过定点（1，1），故A 错误； 对于 B ，∵（1﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜4，∴点 （1，1）在圆C 的内部，∴直线l 与圆C 相交，故B 正确；对于C ，由圆的性质可知，当直线l 被圆C 截得的弦最短时，圆心C （2，2）到直线l 的距离d 最大， 而当直线l 与直线y ＝x 垂直时，圆心C 到直线l 的距离d =2√2最大， 此时直线l 的方程为x +y ﹣2＝0，故C 正确；对于D ，圆C 的半径r ＝2，且直线l 恒过定点（1，1），且点（1，1）在圆C 的内部． 圆C 上存在三个点到直线l 的距离等于2−√2，故D 错误． 故选：BC ．11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）解：根据题意可得双曲线的渐近线为y ＝±2x ， 点（2，0）在抛物线右支开口内，∴A 选项满足； 点（﹣2，4）在渐近线y ＝2x 上，∴B 选项不满足； 点（1，4）在两渐近线所夹上方区域，∴C 选项满足； 点（﹣1，1）在两渐近线所夹左方区域，∴D 选项不满足． 故选：AC ．12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13解：由题意BB 1⊥BC ，BB 1⊥BA ，BC ∩BA ＝B ，则BB 1⊥平面ABC ， 平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，平面BCC 1B 1∩平面BAA 1B 1＝BB 1， AB ⊂平面ABB 1A 1，AB ⊥BB 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BC ， 以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （2，0，0）， B 1（0，0，2），C 1（2，0，2），所以BC →1=(2，0，2)，AB →1=(0，−2，2)， 因为BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，设AN →=λAB →1，BM →=λBC →1，(0＜λ＜1，且λ=a22)， 所以M （2λ，0，2λ），N （0，2﹣2λ，2λ）， 所以MN →=(−2λ，2−2λ，0)，易知平面ABC 的一个法向量为BB 1→=(0，0，2)，因为MN →⋅BB 1→=0，且MN ⊄平面ABC ， 所以直线MN ∥平面ABC ，故A 正确；由|MN →|=√(−2λ)2+(2−2λ)2=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，当λ=12，即a =√2时，线段MN 有最小值为√2，故B 不正确；当a =√22时，λ=14，此时MN →=(−12，32，0)，不妨取平面BAA 1B 1的一个法向量为BC →=(2，0，0)， 则|cos ＜MN →，BC →＞|=|MN →⋅BC →|MN →||BC →||=2×√14+94=√1010，所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正弦值为√1010， 故直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的余弦值为√1−(√1010)2=3√1010， 所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13，故C 正确；取MN 的中点O ，连接BO ，B 1O ，BN ，B 1M ， 因为三角形MNB 与三角形MNB 1都是等边三角形， 所以∠BOB 1为二面角的平面角， 又BB 1=2，BO =B 1O =√62，根据余弦定理可得cos ∠BOB 1=−13， 所以平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：A （5，﹣1），B （1，1），则k AB =−1−15−1=−12，故边AB 上的高所在直线的斜率为2， 所求直线过点C （2，3），故边AB 上的高所在直线的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= 8 ． 解：∵正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，∴|a →|=|b →|=|c →|=2，a →⋅b →=a →⋅c →=2×2×cos60°＝2，∴a →⋅(a →+b →+c →)=a →⋅a →+a →⋅b →+a →⋅c →=4+2+2＝8．故答案为：8．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ n •2n ﹣1 ． 解：∵数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，∴a n +1=2(n+1)n ×a n =2(n+1)n ×2n n−1×.....×2×21×a 1＝2n •（n +1）， 故a n ＝n •2n ﹣1，（当n ＝1时，a 1＝1也满足）．故答案为：n •2n ﹣1． 16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 y =12 ；反射光线n 所在直线的方程为 y =−18 ．解：抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F(−18，0)， 因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y ＝﹣x ， 由{y =−x y 2=−12x ，解得{x =0y =0或{x =−12y =12，所以A(−12，12)， 则入射光线m 所在直线的方程为y =12； 则k AF =12−12−(−18)=−43，所以直线AF 的方程为y =−43(x +18)， 由{y =−43(x +18)y 2=−12x ，解得{x =−132y =−18或{x =−12y =12，所以B(−132，−18)， 则反射光线n 所在直线的方程为y =−18．故答案为：y=12；y=−18．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6，可得1+d+q＝4，3+3d＝6，即d+q＝3，d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n﹣1；（2）S n=12n（n+1），可得1S n=2n(n+1)=2（1n−1n+1），则T n＝2（1−12+12−13+...+1n−1n+1）＝2（1−1n+1）=2nn+1．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为线段AB，AA1的中点．（1）求直线A1C与EF所成角的余弦值；（2）求点B1到平面CEF的距离．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（2，0，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以A 1C →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（0，﹣1，2），所以cos ＜A 1C →，EF →＞=A 1C →⋅EF →|A 1C →|⋅|EF →|=−2−8√4+4+16×√1+4=−√306， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为√306． （2）由（1）知，B 1（2，2，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以CE →=（2，﹣1，0），CF →=（2，﹣2，2），CB 1→=（2，0，4），设平面CEF 的的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CE →=0n →⋅CF →=0，即{2x −y =02x −2y +2z =0， 取x ＝1，则y ＝2，z ＝1，所以n →=（1，2，1），所以点B 1到平面CEF 的距离为|CB 1→⋅n →||n →|=√6=√6．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0．（1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．解：（1）由x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0，可得（x ﹣2）2+（y +m ）2＝2m ﹣m 2+3，则2m ﹣m 2+3＞0，解得﹣1＜m ＜3，即m 的取值范围是（﹣1，3）：（2）当m ＝1时，圆C 为x 2+y 2﹣4x +2y +1＝0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−4x +2y +1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为4x ﹣2y ﹣5＝0， 由圆O 的圆心（0，0）到直线4x ﹣2y ﹣5＝0的距离为d =|0−0−5|√16+4=√52， 则公共弦的长为2√4−54=√11． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ，因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF =12AD ， 又因为BC ∥AD ，BC =12AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，所以CE ∥平面P AB ；（2）解：如图，设AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，则PO ⊥AD ，又AD ＝2DC ＝2CB ＝2，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，所以PO ＝OB ＝1，AB =√2，P A =√2，又∠P AB ＝60°，所以△P AB 是正三角形，则PB =√2，所以PO 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又PO ⊥AD ，OB ⊥OD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），所以PA →=(0，−1，−1)，PB →=(1，0，−1)，PC →=(1，1，−1)，设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PA →=0n →⋅PB →=0，即{−y −z =0x −z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)， 设平面P AB 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PC →=0m →⋅PB →=0，即{a +b −c =0a −c =0，令a ＝1，则b ＝0，c ＝1，即m →=(1，0，1)， 设平面P AB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=23×2=√63． 即平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为√63． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ﹣2a n +1＝0，n ∈N *．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列； （2）设c n =1a n −1，记集合{n|k ≤c n ≤2k ，k ∈N ∗}中元素的个数为b k ，求使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 的值．解：（1）证明：由题意可知a n +1a n ＝2a n ﹣1，所以1a n+1−1−1a n −1=(a n −1)−(a n+1−1)(a n+1−1)(a n −1) =a n −a n+1a n+1a n −(a n+1+a n )+1 =a n+1−a n 2a n −1−(a n+1+a n )+1=1， 所以数列{1a n −1}是首项为1a 1−1=1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可知c n =1a n −1=1+(n −1)×1=n ， 所以集合{n |k ≤n ≤2k ，k ∈N *}中元素的个数为2k ﹣k +1，即b k =2k −k +1，所以b 1+b 2+b 3+…+b k ＝（21+22+23+…+2k ）﹣（1+2+3+…+k ）+k=2(1−2k)1−2−k(1+k)2+k =2k +1﹣2−12k 2+12k ， 由指数函数的图象和性质可得b k =2k −k +1＞0 恒成立，所以b 1+b 2+⋯+b k 单调递增，因为b 1+b 2+⋯+b 10=210+1−2−12×102+12×10=2001， b 1+b 2+⋯+b 11=211+1−2−12×112+12×11=4039， 所以使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 为11．22．（12分）如图，在圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点p ，过点p 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |，当点p 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点p 重合）．（1）求曲线C 的方程；（2）过点T （t ，0）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，将|AB |表示成t 的函数，并求|AB |的最大值．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则D （0，y 0），因为|DM |＝2|DP |，所以点P 是线段PM 的中点，所以x 0=x 2，y 0＝y ， 因为点P 在圆x 2+y 2＝1上，所以x 02+y 02=1，所以x 24+y 2=1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1；（2）当﹣1＜t ＜1时点T （t ，0）在圆内，此时过点T （t ，0）不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当t ＝1（t ＝﹣1）时切线方程为x ＝1（x ＝﹣1），对于x 24+y 2=1，令x ＝1，解得y =±√32，所以|AB|=√3，当|t |＞1时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为y ＝k （x ﹣t ）（|t |＞1），所以22=1，所以k 2=1t 2−1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −t)x 24+y 2=1，消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣8tk 2x +4k 2t 2﹣4＝0， 将k 2=1t 2−1 代入得（t 2+3）x 2﹣8tx +4＝0， 所以Δ＝48t 2﹣48＞0，所以x 1+x 2=8t t 2+3，x 1x 2=4t 2+3， 所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48t 2(t 2+3)2=4√3|t|t 2+3， 综上所述，|AB |={√3，t =±14√3|t|t 2+3，|t|＞1， 又当|t |＞1时，|AB |=4√3|t|t 2+3=4√3|t|+3|t|≤√32√|t|⋅3|t|=2，当且仅当|t|=√3时取等号， 所以|AB |max ＝2．。
广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二数学上学期期末
2019-2020学年第一学期期末教学质量监测高二数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题，每小题5分,共60分.部分小题解答8. 解:由337S a =，得12337a a a a ++= ，所以3126()0a a a −+=，即2610q q −−=， 所以11,23q q ==−（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S −==−．故选B ． 9. 解:若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a −与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +−=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +−=>∈N ，，所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A ．10. 解:双曲线22:13y C x −=的渐近线方程为y =，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos601,||2sin 603PO PF ====， 所以PFO∆的面积为112⨯=．故选D ． 11. 解:设BC x =，则1000CD x =，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++ 100001040(4)x x =++1000010401440x x ≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选B ．zyA12. 解:取AC 中点O ，易证：,,OD AC OD OB AC OB ⊥⊥⊥.如上图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz −. 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C− (0,0,(0,2,D AD =(0,2,DC =−.设(,2,0)(02)M a a a −<≤，则 (,4,0)AM a a =−.设平面DAM 的法向量(,,)x y z =n .由0,0AD AM ⋅=⋅=n n 得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+−=⎪⎩，可取,)a a =−−n ，所以sin |cos ,|4DC θ===n ，解得4a =−（舍去），43a =，所以4||AM ⎛== A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 714.260 15.14. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，所以座位数n a 构成等差数列{}n a .因为720a =，所以113713713()1321326022aa a S a +⨯====.15. 解法一: 如图,因为2POF △为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以21||,||PF c PF ==.因为21||||2PFPF a +=，所以2c a =即1ca ==，所以1e =.解法二：如图，易得点1()2P c ，代入22221x y a b +=，得22222221()2)21c b b ca a +=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=−⎩，解得1c e a ==.16. 解析: 因为111BD AD AB AD AA AB =−=+−，所以2211()BD AD AA AB =+− 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++−− 1112cos602cos602cos602=+++⨯−⨯−⨯=， 所以1||2BD BD ==三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小．17. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=， ……………1分由618S =，得1532a d +=， ……………2分 于是18,2a d ==−． ……………4分所以{}n a 的通项公式为102n a n =− *()n ∈N ． ……………5分 （2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n −=+⨯− ……………6分 29n n =−+ ……………7分2981()24n =−−+ ……………8分 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时, ……………9分n S 有最大值为20． ……………10分18. (本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点(1,2)−，抛物线C 的焦点为 F ，准线为l ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过Fh 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准 线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积．18. 解：（1）根据题意，设抛物线C 为22(0)y px p =>， ……………1分因为点(1,2)−在抛物线上，所以2(2)2p −=，即2p =． ……………2分 所以抛物线C 的方程为24y x =． ……………3分（2）由（1）可得焦点(1,0)F ，准线为:1l x =−． ……………4分 不妨设112212(,),(,)()A x y B x y x x >，过Fh的方程为1)y x =−． ……………5分由241)y x y x ⎧=⎪⎨=−⎪⎩ 得231030x x −+=， ……………6分 所以13x =，213x =．代入1)y x =−，得1y =23y =−．x所以A ， …………………………………………………7分 1(,33B −． ……………………………………………………8分 (注：A 、B 两点，算对一个得1分) 所以1||42pAD x =+=， …………………………………………9分24||23p BE x =+=， ………………………………………………10分 12||||DE y y =−=…………………………………………11分(注：上面三条线段，算对一个得1分)因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为1(||||)||29AD BE DE +=．……………………………………12分19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PB PD =．（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=，2AP AB ==，求二面角A PD C −−的余弦值．DABCP第19 题E ODABCP第19 题19. 解：（1）证明：记ACBD O =，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点． ……………………………………1分 因为PB PD =，所以PO BD ⊥． …………………………………………2分 因为ACPO O =，所以BD ⊥平面APC ． ………………………………………………………3分 因为BD BPD ⊂平面，所以平面APC ⊥平面BPD ． ……………………4分 （2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==， 所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==． 因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． ……………………………………5分 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥． ………………………………………………………………6分 方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==， 因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形． ………………………………………7分 取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C −−的平面角． ……………………………………8分 因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．…………………………………………………………9分因为2AE CE ===，2AC AO == ……………………………………………………………10分 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +−∠==−． …………………………………11分所以二面角A PD C −−的余弦值为57−． ……………………………………12分xzC方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz −，………………………………………………………7分 则A ，(0,1,0)D −，(0,0,1)P ，(C ，……………………7分 所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(DC =−．……………………8分 设平面APD 的法向量为1(,,)x y z =n由1100DA DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得00y y z +=+=⎪⎩，令y=1(1,=n ．……………9分同理，可求平面PDC 的法向量2=n ． ……………10分 所以121212cos ||||<>=n n n,n n n=…………11分57=−． ………………………………12分所以，二面角A PD C −−的余弦值为57−． ………………………………12分20.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =(*n ∈N )，数列{}n b 满足12b =，*132(2)n n b b n n −=+≥∈N ,．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{1}n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <． 20. 解：（1）当1n =时，111a S ==． ………………………………………1分当2n ≥时，1n n n a S S −=−=22(1)21n n n −−=−． …………………………2分 检验，当1n =时11211a ==⨯−符合． …………………………3分 所以n a =21n −*()n ∈N ． ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b −−−−−++++===+++， ……………5分 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．………6分 （3）由（1）（2）得 1n b += 1333n n −⋅=，211(21)()133n n n n n a n c n b −===−+， …………………………7分 所以1231n n n T c c c c c −=+++++231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n −=⋅+⋅+⋅++−⋅+−⋅ ①23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++−⋅+−⋅ ② 由①−②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=−−⋅+++++，…………8分21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n −+−=−−⋅+− ………………………………9分11111(21)()()3333n n n +=−−⋅+− 2221()()333n n +=− ， ………………………………10分 所以11(1)()3nn T n =−+． ………………………………11分因为1(1)()03nn +>，所以1n T < ． ………………………………12分21.（本小题满分12分）如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意 一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ． 当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设过点(4,0)D 的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点（点M 在D ，N 两点之间）．是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 解：（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A −，半径4r =． ………………………………1分 因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=． ………………………………2分 因为4||AB <，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A −，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．………3分 因为2,1a c ==，2223b a c =−=， ………………………………………………4分第21 题所以曲线C 的方程为22143x y +=． ……………………………………………5分（2）存在直线2l 使得2DN DM =． ……………………………………………6分 方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =−． ……………………7分 设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +−+−=． …………………8分 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k−=+， ② ……………………9分 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=−−+−>，解得1122k −<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x −=−，即2124x x =−． ③ ……………………10分把③代入①得21241634k x k +=+ ，22241634k x k −+=+ ④把④代入②得2365k =，得k =1122k −<<． …………………11分所以直线2l的方程为：(4)6y x =−或(4)6y x =−−． …………………12分 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)M N −，(6,0),(2,0)DN DM =−=− 此时2DN DM ≠． ……………………………………7分 因此设直线2l 的方程为：4x ty =+． 设112212(,),N(,)()M x y x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(34)24360t y ty +++=． ……………………………8分 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=−⨯+>，解得2t <−或2t > ， 则1222434ty y t +=−+， ①1223634y y t =+， ② …………………9分因为2DN DM =，所以212y y =． ③ …………………10分 把③代入①得12834t y t =−+，221634ty t =−+ ④ 把④代入②得2536t =，t =，满足2t <−或2t >． …………………11分 所以直线2l的方程为4)y x =−或4)y x =−． …………………12分22. (本小题满分12分)已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =−++∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(3,1)−，求实数,m n 的值；（2）设2m =−，若不等式2()3f x n n >−+对x ∀∈R 都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且(1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的零点．22. 解：（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)−，所以3,1−为方程()0f x =的两个根，由根与系数的关系得3131mm n −+=⎧⎨−⨯=+⎩，即2m =−，1n =−．………………………………………2分 （2）当2m =−时，2()2(2)f x x x n =++−，因为不等式2()3f x n n >−+对x ∀∈R 都成立，所以不等式22222x x n n +−>−+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+−=+−，所以2min ()2g x n n >−+． …………………………3分当1x =−时，min ()3g x =−， …………………………4分 所以232n n −>−+，即2230n n −−>，得1n <−或3n >， 所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)−∞−+∞． …………………………5分（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =−++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2mx =的抛物线， 22()4(3)412m m m m ∆=−−+=−−．①当0∆<，即26m −<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点． …………6分 ②当0∆=，即2m =−或6m =时，（i ）当2m =−时，1(1,)2mx ==−∉+∞，此时函数()f x 无零点． ……………7分 （ii ）当6m =时，3(1,)2mx ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3． ……………8分 ③当0∆>，即2m <−或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =−++=，得1222m m x x +==， (1)40f =>． ………………………………………9分（i ）当2m <−时，得12(1)40m x f ⎧=<−⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<， 所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点． ………………………………………10分（ii ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩ ，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x有两个零点：,22m m ． ……………………………11分综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点为3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有两个零点：……………………………12分。
2019-2020学年广东省联考联盟高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．命题“∀x∈R，x2≠2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＝2x B．∃x0∉R，x02＝2x0C．∃x0∈R，x02≠2x0D．∃x0∈R，x02＝2x02．若直线过点（2，4），，则此直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m⊂α，n∥α，则m∥nC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n5．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（）A．B．C．D．6．已知直线l1：x+（m+1）y＝2﹣m与l2：2mx+4y+16＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．1 C．1或﹣2 D．﹣27．曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝x﹣2y+3z，则x+y+z＝（）A．B．C．1 D．9．直线y＝x+1被椭圆x2+2y2＝4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）10．如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．16πC．8πD．4π11．已知双曲线，过原点O任作一条直线，分别交曲线两支于点P，Q（点P在第一象限），点F为E的左焦点，且满足|PF|＝3|FQ|，|OP|＝b，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．14．命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是．15．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为．16．已知圆O：x2+y2＝1，点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，记C为圆O上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤. 17．已知p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，q：方程（k为实数）表示双曲线．若￢q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知直线l1：2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．（1）求直线l1与l2的交点坐标；（2）求经过直线l1与l2的交点，且与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程．19．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠PCD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在λ，使得，且|HA|2+|HB|2≥40成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∀x∈R，x2≠2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＝2x B．∃x0∉R，x02＝2x0C．∃x0∈R，x02≠2x0D．∃x0∈R，x02＝2x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题，进行判断即可．解：命题是全称命题，则否定的特称命题，即∃x0∈R，x02＝2x0，故选：D．2．若直线过点（2，4），，则此直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再求倾斜角．解：直线过点（2，4），，则此直线的斜率为k＝tanθ＝＝﹣，又θ∈[0°，180°），所以倾斜角θ＝120°．故选：C．3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）【分析】根据抛物线y2＝8x可知p＝4，准线方程为x＝﹣2，进而根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x＝﹣2的距离，求得P点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．解：根据抛物线y2＝8x，知p＝4根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x＝﹣2的距离，得x p＝7，把x代入抛物线方程解得y＝±2故选：C．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m⊂α，n∥α，则m∥nC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【分析】根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．5．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出这个几何体的棱长．解：如图，建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为a，∴E（，，a），F（，，0），M（，a，），N（0，，），P（，0，），Q（a，，）．这个几何体是正八面体，棱长|PQ|＝＝．∴这个几何体的棱长为．故选：A．6．已知直线l1：x+（m+1）y＝2﹣m与l2：2mx+4y+16＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．1 C．1或﹣2 D．﹣2【分析】由2m（m+1）﹣4＝0，解得m．经过验证即可得出．解：由2m（m+1）﹣4＝0，解得m＝1或﹣2．经过验证可得：m＝﹣2时重合，舍去．故选：B．7．曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【分析】求出椭圆的焦距以及双曲线的焦距，即可得到结果．解：曲线是解得在x轴上的椭圆；它的焦距为：2＝2．曲线是焦点坐标在x轴上的双曲线，它的焦距为：2＝2．所以曲线与曲线的焦距相等．故选：C．8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝x﹣2y+3z，则x+y+z＝（）A．B．C．1 D．【分析】利用平行六面体法则、空间向量基本定理即可得出．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝++＝x﹣2y+3z，则x＝1，﹣2y＝1，3z＝1，则x＝1，y＝﹣，z＝．∴x+y+z＝1﹣+＝．故选：B．9．直线y＝x+1被椭圆x2+2y2＝4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）【分析】将直线y＝x+1代入椭圆x2+2y2＝4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．解：将直线y＝x+1代入椭圆x2+2y2＝4中，得x2+2（x+1）2＝4∴3x2+4x﹣2＝0∴弦的中点横坐标是x＝＝﹣，代入直线方程中，得y＝∴弦的中点是（﹣，）故选：D．10．如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．16πC．8πD．4π【分析】本题根据球心，圆柱底面圆心，圆柱与球的一个交点连成一个直角三角形，解直角三角形即可得R，可算出球的表面积．解：根据题意，画图如下：则OA＝R，O′A＝r＝，OO′＝＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝4π•22＝16π．故选：B．11．已知双曲线，过原点O任作一条直线，分别交曲线两支于点P，Q（点P在第一象限），点F为E的左焦点，且满足|PF|＝3|FQ|，|OP|＝b，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1＝90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则|OP|＝|OQ|，∴四边形PFQF1为平行四边形，则|PF1|＝|FQ|，|PF|＝|QF1|，由|PF|＝3|FQ|，根据双曲线的定义|PF|﹣|PF1|＝2a，∴|PF1|＝a，|OP|＝b，|OF1|＝c，∴∠OPF1＝90°，在△QPF1中，|PQ|＝2b，|QF1|＝3a，|PF1|＝a，∴（2b）2+a2＝（3a）2，整理得：b2＝2a2，则双曲线的离心率e＝＝＝．故选：A．12．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【分析】利用正方体的结构特征求解．解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7故答案为：714．命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤2 ．【分析】直接利用一元二次方程的根的应用求出结果．解：命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，即：命题“﹣x2﹣2ax﹣4≤0成立为真命题”．故：△＝4a2﹣16≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：﹣2≤a≤2．15．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为．【分析】根据题意，求出圆锥底面圆的半径及高，即可求得体积．解：依题意，圆锥的母线长为3，底面圆的周长为，设底面圆的半径为r，则2πr＝2π，即r＝1，∴圆锥的高，∴．故答案为：．16．已知圆O：x2+y2＝1，点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，记C为圆O上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为．【分析】根据题意，由P的坐标计算可得|PO|的值，进而可得|PC|的值，过点A作AE⊥OP，垂足为E，求出|AE|的值，据此计算可得答案．解：根据题意，连接PO，如图，，则|PO|＝＝2，C为圆O上到点P距离最远的点，则|PC|＝|PO|+1＝3，过点A作AE⊥OP，垂足为E，Rt△AOP中，|OA|＝1，|OP|＝2，则|PA|＝＝，则|AE|＝＝，故S四边形PACB＝2S△ACP＝2×（×|AE|×|PC|）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤. 17．已知p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，q：方程（k为实数）表示双曲线．若￢q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】求出p，q对于的解集，根据条件，求出a的范围即可．解：p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，k＞a，q：方程（k为实数）表示双曲线，则（k+1）（3﹣k）＜0，即k∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），若￢q是p的充分不必要条件，k∈[﹣1，3]是{a|k＞a}的真子集，故a≤﹣1．18．已知直线l1：2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．（1）求直线l1与l2的交点坐标；（2）求经过直线l1与l2的交点，且与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程．【分析】（1）联立2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．解得直线l1与l2的交点坐标．（2）设与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程为3x+y+m＝0，把交点坐标代入解得：m．解：（1）联立2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．解得x＝2，y＝1．∴直线l1与l2的交点坐标（2，1）．（2）设与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程为3x+y+m＝0，把（2，1）代入解得：m＝﹣7．∴要求的直线方程为：3x+y﹣7＝0．19．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．【分析】（1）化曲线C为圆的一般方程，再由5﹣m＞0求得m的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得m值．解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即m＜5；（2）圆C的半径为，圆心（2，1）到直线2x+y﹣4＝0的距离d＝，又|MN|＝，∴，解得m＝4．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠PCD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，PC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AC．（Ⅱ）推导出CF∥AB，CF∥平面PAB，EF∥PA，EF∥平面PAB，从而平面CEF∥平面PAB，由此能证明PB∥平面CEF．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵∠PCD＝90°，∴PC⊥CD．…………………∵PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC．…………………（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ACD＝90°．在直角三角形ACD中，∠CAD＝60°，CF＝AF，∴∠ACF＝60°，∴CF∥AB．…………………∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CF∥平面PAB．…………………∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF∥PA，又∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵CF∩EF＝F，∴平面CEF∥平面PAB．…………………∵PB⊂平面PAB，∴PB∥平面CEF．…………………21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．【分析】（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），利用数量积求解即可．（2）是平面ABA1的一个法向量，求出平面ADC1的法向量，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．解：（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝，∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在λ，使得，且|HA|2+|HB|2≥40成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆方程，求出F（1，0），得到p＝4，然后求解抛物线方程．（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程直线与抛物线方程，消去x，通过韦达定理以及向量关系，结合|HA|2+|HB|2＝40转化求解即可．解：（1）依题意，椭圆中，a2＝4，b2＝3，得c2＝a2﹣b2＝1，则F（1，0），得＝1，即p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，∴①且，又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得H（﹣1，0），则|HA|2+|HB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22＝（ty1+1）2+（ty2+1）2+2（ty1+ty2+2）+2+y12+y22＝（t2+1）（y12+y22）+4t（y1+y2）+8＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16，由16t4+40t2+16＝40，解得t2＝或t2＝﹣3（舍），将t2＝代入4t2＝λ+﹣2，解得λ＝2±．故存在实数λ＝2±满足题意．。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
广东省广州市八区2019_2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题含解析
广东省广州市八区2019-2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（ ）A. 3(4,]2-- B. 3[,1)2-- C. 3[,1)2-D. 3[,4)2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2.已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（ ） A. 10 B. -10C. 4D. -4【答案】D【解析】 【分析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】由于//a b ，所以62312t -==-，解得4t =-. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3.双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A. 10B. 7C. 27D. 5【答案】A 【解析】 由方程，，则，即，则焦距为.4.设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x -≤，则p ⌝为（ ）.A. []00,1x ∃∈，使2010x -≤B. []0,1x ∀∈，都有210x -≤C. []00,1x ∃∈，使2010x ->D. []0,1x ∀∈，都有210x -> 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即p ⌝：[]00,1x ∃∈，使2010x ->，故选：C .【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.5.若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若a b <，则||||a c b c <B. 若22ac bc <，则a b <C. 若a b <，c d <，则a c b d -<-D. 若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6.已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A. 1 5B.5C.5D.2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC与1CD所成角的余弦值.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,3,0,0,3A a C a C a a D a，所以()()11,,3,0,,3AC a a a CD a a=-=-，设异面直线1AC与1CD所成角为θ，则22111135cos552AC CD a aa aAC CDθ⋅-+===⋅⋅.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8.已知各项均为正数的数列{}n a为等比数列，n S是它的前n项和，若337S a=，且2a与4a的等差中项为5，则5S=（）A. 29B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值.【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ．【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9.命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ）A.32B.32C.12D.3 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积.【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为3y x =±，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==，所以PFO ∆的面积为13132⨯⨯=． 故选:D ．【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题. 11.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A. 20mB. 50mC. 1010mD. 100m【答案】B 【解析】 【分析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x=，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++100001040(4)x x =++10401440x x≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.12.在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（ ）C. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长.【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.由0AD n ⋅=,0AM n ⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(4),3,)n a a a =--， 所以222|2323|3sin cos ,443(4)3a a DC n a a a θ+=〈〉==-++， 解得4a =-（舍去），43a =， 所以224845||33AM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13.已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数.【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________． 【答案】31- 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】 【分析】用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=，所以1||2BD BD ==2【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =；（2 【解析】【分析】（1）设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；（2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h 的方程为()31y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】（1）根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由（1）可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F 且斜率为3的直线h 的方程为()31y x =-，由()24 31y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入()31y x =-，得123y =，2233y =-，所以()3,23A ，123,3B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以142pAD x +==，2423p BE x +==，1283DE y y =-=，因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()164329AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】【分析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记ACBD O =，连接PO ． 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因2AE CE ===，2AC AO ==， 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-． 方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(C ， 所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y y z +=+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,n =-.同理，可求平面PDC 的法向量2(1,n =．所以121212cos ||||n n n n n n =,22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++-57=-．所以，二面角A PD C--的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.数列{}n a的前n项和为n S，且()2*nS n n N=∈，数列{}n b满足12b=，()*1322,n nb b n n-=+≥∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求证：数列{}1nb+是等比数列；（3）设数列{}n c满足1nnnacb=+，其前n项和为nT，证明：1nT<.【答案】（1）*21()na n n=-∈N（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a的通项公式.（2）通过证明1131nnbb-+=+，证得数列{1}nb+是等比数列，并求得首项和公比.（3）由（2）求得{}n b的通项公式，由此求得n c的表达式，利用错位相减求和法求得n T，进而证得1nT<.【详解】（1）当1n=时，111a S==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+- 11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21.如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，54)y x =-或54)y x =-． 【解析】【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=， 所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =- 此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=．由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >．所以直线2l 的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析【解析】【分析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131mm n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-．（2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2mx =的抛物线，22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2mx ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m =时，3(1,)2mx ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3．③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得1x =，2x =(1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A ．21()1,()1x f x x g x x -=-=+B ．1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C ．()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R Z D ．2(),()f x x g x ==【答案】B【解析】根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系． 【详解】解：A 中的2个函数()1f x x 的定义域为R ，21()1x g x x -=+的定义域为()(),11,-∞--+∞，定义域不同，故不是同一个函数．B 中的2个函数()|1|f x x =+与11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C 中的2个函数()1f x x =+，x ∈R 与()1g x x =+，x ∈Z 的定义域不同，故不是同一个函数．D 中的2个函数()f x x =的定义域为R ，2()g x =的定义域为[)0,+∞，定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数． 综上，A 、C 、D 中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选B ． 【点睛】本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系． 3．函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6 C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积． 【详解】2346x x =⨯⇒=，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞-【答案】B【解析】因为函数()f x 开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数，则41a -≤-，即可解出答案．【详解】 因为函数()()2212f x xa x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数， 则41a -≤-，解得3a ≥-， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数的单调性求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于基础题． 6．已知向量a ，b 满足||3,||23,3a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°【答案】B【解析】设两个向量的夹角θ，利用向量的数量积公式列出方程，求出夹角的余弦，利用夹角的范围求出夹角． 【详解】解：设两个向量的夹角为θ3a b ⋅=-∴cos 3a b θ=- ∴1cos 23a b a bθ⋅===-⨯[]0,θπ∈120θ∴=︒故选：B ． 【点睛】求两个向量的夹角，一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角． 7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ） A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<b<a D ．b<a<c【答案】A【解析】试题分析：()20.34log 40,log 30,1,0.31a b c a b c -==∈=∴<<【考点】1.指数函数对数函数性质；2.比较大小8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度 【答案】D【解析】设出平移量a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案． 【详解】设将函数2y cos x =的图象向右平移a 个单位后，得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，则()223cos x a cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得6a π=，所以，函数2y cos x =的图象向右平行移动6π个单位长度，可得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，故选：D 【点睛】本题考查的知识点是函数()y Acos x ωϕ=+的图象变换，其中设出平移量为a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =， 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A ．B ．-C ．5D ．5-【答案】D【解析】向量b a -在向量a 方向上的投影，计算()b a a a-⋅即可得出结论． 【详解】向量()3,4a =-，()4,3b =，()1,7b a ∴-=，()()137425b a a -⋅=⨯+⨯-=-；则向量b a -在向量a 方向上的投影是：()2253(4)b a a a-⋅==-+-．故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积，投影，主要考查基本公式，属于基础题． 11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由函数的图象的最大值求出A ，由过点()0,1求ϕ，由点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭求ω，可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】 根据函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图，可得2A =，再把点()0,1代入可得21sin ϕ=，求得12sin ϕ=，6πϕ∴=． 再根据五点法作图可得5126ππωπ⋅+=，2ω∴=，故函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈， 当[]0,x π∈时，函数的对称轴是6x π=，故由图象可得方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有的解共有2个，且这2个解的和等于263ππ⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，一般由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（） A ．14- B ．3- C ．14-或3D ．14-或3- 【答案】D【解析】根据题意得到0a <，分01a <-< 和1a -≥ 两种情况得到函数在不同的情况下的解析式，进而得到参数值. 【详解】由题意知，当0x >时，()2f x ≥，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()2f x ≤-， ()4f a =-，0a ∴<，()()4f a f a =--=-，()4f a ∴-=，当01a <-<时，()122log 4a -+=，解得14a =-， 当1a -≥时，14a -+=，解得3a =-， 综上可得，14a =-或3-. 故答案为D. 【点睛】解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()4f =___________.【答案】12【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可; 【详解】解：设幂函数()f x x α=，幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴222α=，解得12α=-， 12()f x x-∴=，()121442f -∴==， 故答案为：12．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.14．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 【答案】63.【解析】试题分析：令,则，即，即，所以；即当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度可达12Km/s.【考点】函数模型的应用. 15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】 解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--， 所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题. 16．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得234AP BM sin πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，进而得解． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标， 由1AP=可得，点P 在圆221x y +=上，设(),P cos sin θθ，易知()1,0B ，()0,1C ，由3BC BM =可得，21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()11,,,33AP cos sin BM θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 则1123334AP BM cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=-+=- ⎪⎝⎭， 由正弦函数的有界性可知，22AP BM ⎡⋅∈⎢⎣⎦． 故答案为：22⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查平面向量的运用，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．三、解答题 17．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值；()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)512；(2)717【解析】()1由513sin α=．02πα<<，利用同角三角函数关系式先求出cos α，由此能求出tan α的值．()2利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为222sin cos 2sin 2sin 2sin cos αααααα++，再化简为关于sin ,cos αα的齐次分式求值．【详解】 (1)因为513sin α=．02πα<<，所以1213cos α===， 故512sin tan cos ααα==． (2)()22222221221222sin sin sin sin cos sin cos sin tan sin sin cos sin cos tan cos sin απααααααααπαααααααα-----===+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭51712517112-==+． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题型． 18．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x xx ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
广东省广州市八区 2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测 数学(含答案)
12019-2020学年第二学期期末联考高二数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 本次考试不允许使用计算器.4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.若(1)2Z i i -=，则Z =A ．1i -+B ．1i --C ．1i -D ．1i +2.已知随机变量，那么随机变量的均值= A ．98 B ．43 C ．2 D ．833.为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用2x2列联表进行独立性检验，经计算,则所得的结论是：有__________把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”附表：A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%1~(4,)3X B X ()E X 2 6.705K =24.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N σ，，且(4)0.8P X ≤=，则(24)P X <<=A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.25.设函数()=e 1x f x +的图像与y 轴相交于点Q ，则曲线()y f x =在点Q 处的切线方程为A ．22y x =+B ．21y x =+C ．1y x =+D ．2y x =+6.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，我国古代数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。
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4
，
a4 解得 a 4 （舍去）， 3 ，
| AM |
所以
4 2 3
8 3
2
45 3
．
故选:A．
【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法， 属于中档题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上.
x 1 0 x y 1 0 13.已知实数 x, y 满足约束条件 3x y 3 0 ，则 z 2x y 的最大值为__________．
C : x2 y2 1
10.双曲线
3 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点，若
PO PF ,则△PFO 的面积为（ ）
32 A. 4
32 B. 2
1 C. 2
3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形 PFO 的边
A
1.设集合
x | x2 3x 4 0
， B {x | 2x 3 0}，则 A B （
）
(4, 3]
A.
2
[ 3 , 1) B. 2
[ 3 ,1) C. 2
[ 3 , 4) D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 A ，解一元一次不等式求得集合 B ，由此求得两个集合的交集.
广东省广州市八区 2019-2020 学年高二数学上学期期末教学质量监测
试题（含解析）
本试卷共 4 页，22 小题，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即
p
：
x0
0,1 ，使
x02
1
0
，
故选：C.
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.
D. 5 .
5.若 a, b,c, d 为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 a b ，则 a | c | b | c |
和四周绿化带组成.规划核心喷泉区 ABCD 的面积为1000m2 ，绿化带的宽分别为 2m 和
5m （如图所示）.当整个项目占地 A1B1C1D1 面积最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为（
）
A. 20m
【答案】B
B. 50m
C. 10 10m
D. 100m
【解析】
【分析】
设 BC x ，得到 CD 的值，进而求得矩形 A1B1C1D1 面积的表达式，利用基本不等式求得面
A. 10 【答案】A 【解析】
B. 7
C. 2 7
由方程，
，则
，即 ，则焦距为
4.设命题 p： x 0,1，都有 x2 1 0 ，则 p 为（ ）.
A. x0 0,1，使 x02 1 0
B.
x
0,1 ，都有
x2
1
0
C. x0 0,1，使 x02 1 0
D.
x
0,1 ，都有
x2
1
0
【答案】C
【解析】
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三
角形的面积计算，属于基础题.
11.为不断满足人民日益增长的 美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、 更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新
建一个长方形音乐喷泉综合体 A1B1C1D1 ，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD （阴影部分）
否命题中，假命题的个数为（ ）
A. 0 【答案】A
B. 1
C. 2
D. 3
【解析】
【分析】
先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由
此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.
【详解】若{an}是等比数列，则 an 是 ank 与 ank 的等比中项，所以原命题是真命题，
项错误.
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
6.已知
n
为平面
的一个法向量，
l
为一条直线，则“
l
n
”是“ l
/
/
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“ l n ”与“ l / / ”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属
于基础题.
14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从
第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第 7 排有 20 个座位，则该报告厅
前 13 排的座位总数是__________．
【详解】当“ l n ”时，由于 l 可能在平面 内，所以无法推出“ l / / ”.
当“ l / / ”时，“ l n ”.
综上所述，“ l n ”是“ l / / ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断ห้องสมุดไป่ตู้考查线面平行和法向量，属于基础题.
7.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC a ， AA1 3a ，则异面直线 AC1 与 CD1 所
长，由此求得以 PFO 的面积.
C : x2
【详解】双曲线
y2 3
1
的渐近线方程为
y
3x ，无妨设 POF 60 ，
因为 PO PF ，| OF | c 2 ，所以得| PO | 2 cos 60 1,| PF | 2sin 60 3 ，
1 1 3 3
所以 PFO 的面积为 2
2．
故选:D．
成角的余弦值为（ ）
1 A. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
5 B. 6
5 C. 5
2 D. 2
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 AC1 与 CD1 所成角的余弦值.
【详解】以 D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意
Aa,0,0,C 0, a,0,C1 0, a,
3a , D1 0, 0,
【详解】由 x2 3x 4 x 4x 1 0 解得 A 4,1，有 2x+3 0 解得
B
3 2
,
，所以
A
B
3 2
,1
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基
础题.
2.已知向量
a
3, 1,
2
b
，
6,
2, t
，且
a
b
，则
t
（
）
A. 10
所以当 x 50 时， S A1B1C1D1 最小．
故选:B． 【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础 题.
12.在三棱锥 D ABC 中， AB BC 2 2 ， DA DC AC 4 ，平面 ADC 平面
3 ABC ，点 M 在棱 BC 上，且 DC 与平面 DAM 所成角的正弦值为 4 ，则 AM （ ）
3a
，所以
AC1 a, a, 3a , CD1 0, a, 3a ，设异面直线 AC1 与 CD1 所成角为 ，则
cos AC1 CD1 a2 3a2 5
AC1 CD1
5a 2a 5
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.
8.已知各项均为正数的数列an为等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若 S3 7a3 ，且 a2 与
uuur 则 AM (a, 4 a, 0) .
设平面 DAM 的法向量 n x, y, z .
2 y 2 3z 0
由
AD
n
0
,
AM
n
0
得
ax
(4
a)
y
0
，
可取 n ( 3(a 4), 3a, a) ，
sin cosDC, n
| 2 3a 2 3a |
3
所以
4 3(a 4)2 3a2 a2
【答案】7 【解析】 【分析】 画出可行域，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界点
B 2,3的位置，此时 z 2x y 取得最大值为 2 2 3 7 .
故答案为： 7
积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时 BC 的长.
【详解】设 BC
CD x ，则
1000 x
S ，所以 A1B1C1D1
(x 10)(1000 x
4)
1040 (4x 10000) 1040 2 4x10000 1440
x
x
，
4x 10000
当且仅当
x ，即 x 50 时，取“ ”号，
B. - 10
C. 4
D. - 4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得 t 的值.