最优控制习题及参考答案

最优控制习题及参考答案

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1

2

最优控制习题及参考答案

习题 1

求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：

t f J = ∫

(x

2 +1)dt t 0

解： 由已知条件知： t 0

=

0 ， t f

= 1

d

由欧拉方程得：

(2x ) = 0

dt

x = C 1

x = C 1t + C 2

将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：

C 2 = 1，C 1 = 1

得极值轨线： x *

(t ) = t +1

习题 2

求性能指标：

J = ∫ 1

(x 2 +1)dt

在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极

值曲线。

解： 由上题得：

x * (t ) = C t + C

x * (t )

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x f

由 x (0) = 0 得： C 2

= 0

∂L

由 ∂x

t =t

f

= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0

t

0 1

于是： x *

(t ) = 0

【分析讨论】对于任意的 x (0) = x

，x (1)

自由。

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2

1

∫ ⎩

λ =

有： C = x ， C = 0 ，即： x *

(t ) = x

其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3

已知系统的状态方程为：

x 1 (t ) = x 2 (t )

， x 2 (t ) = u (t )

边界条件为： x 1

(0) = x 2

(0) = 1 ， x 1

(3)

= x 2

(3) = 0 ，

3

1 试求使性能指标 J =

u 2

(t )dt 2

取极小值的最优控制 u *

(t ) 以及最优轨

线 x *

(t ) 。

⎡ x ⎤

解： 由已知条件知： f = ⎢ 2

⎥

⎢⎣ u ⎥⎦

Hamiton 函数： H = L + λT

f

H = 1

u 2

+ λ x + λ u

⎧λ = 0

由协态方程： ⎨

1

2

1

2

1 2 2

⎧λ = C

① 得： ⎨

1 1

⎩λ2 = −C 1t + C

2 ② ∂H

由控制方程：

∂u

= u + λ2 = 0 得： u = −λ

2

= C 1t − C 2

③

由状态方程：x

2 = u = C

1

t −C

2

得：x (t) = 1 C t2 −C t + C ④

2 2

由状态方

程：x

1 = x

2

1 2 3

得：x (t) = 1 C t3 −1 C t 2 + C t + C ⑤

1 6 1

2 2

3 4

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66

1

⎪

⎩

=− ∫

⎡1⎤ ⎡0⎤

将

x (0) = ⎢ ⎢

，

x (3) = ⎢0⎢

代入④，⑤, ⎣1⎦

⎣ ⎦ 10

联立解得： C 1 =

由③、④、⑤式得：

u * (t ) = 10

t − 2

9

，

C 2 = 2 ， C

3

=

C 4 =

1 9

x * (t ) = 5 t 3 −t 2

+ t +1 27 x *

(t ) = 5 t 2 − 2t +1 2

9

习题 4

已知系统状态方程及初始条件为

x =u ， x (0) = 1

试确定最优控制使下列性能指标取极

小值。

1

J = 0 解： H = x 2e

2t

+ u 2e 2t + λu

⎧x = u 列方程：

⎨λ = −2xe

2t

⎢2e 2t u + λ = 0

(x 2 + u 2 )e 2t

dt

①

②

③

由③得，

u

代入①得，

x

1 e −2t λ ④

2

1

e −2t λ

67

=−

=−

2

x 1 e −2t λ e −2t λ =− +

2

将②，③代入，并考虑到 u = x

x 1 e −2t (−2xe 2t ) + e −2t (−2e 2t

x ) 2 整理可得：

x + 2x − x = 0