变化率问题(实用) PPT
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课件1:5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx=-ΔΔxx++242,
∴k= lim Δx→0
ΔΔyx=Δlixm→0
-ΔxΔ+x-242=-44=-1.
又 x=2 时 y=242=1,
∴切线方程为 y-1=-1×(x-2),即 x+y-3=0.
【课堂小结】
1.函数 y=f (x)在 x=x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.即:
【学以致用】
1.一物体的运动方程是 s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A.0.4
B.2
C.0.3
D.0.2
B [ v =s22.1.1--s22=4.02-.1 4=2.]
2.物体自由落体的运动方程为 s(t)=12gt2,g=9.8 m/s2,若 v
=lim Δt→0
率及瞬时速度的概念.(易混点) 及数学运算的核心素养.
1.平均变化率
【新知初探】
对于函数 y=f (x),从 x1 到 x2 的平均变化率:
(1)自变量的改变量:Δx=__x_2-__x_1_. (2)函数值的改变量:Δy=__f_(_x_2_)-__f_(_x_1)__.
(3)平均变化率ΔΔyx=
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的关
系可用函数 s(t)=t2+t+1 表示,求物体在 t=1 s 时的瞬时速度.
[解] ∵ΔΔst=s1+ΔΔtt-s1
=1+Δt2+1+ΔΔtt+1-12+1+1=3+Δt,
∴lim Δt→0
ΔΔst =Δlitm→0
(3+Δt)=3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性,即在每个周期内,变化率呈现单调性。例如, 正弦函数在每个周期内先增后减,余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具,具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中,变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析,如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析,物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制,为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用,通过分析种群数量的变化率,可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处,函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得,用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得,常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中,变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析,经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势,为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域,通过分析物理量的变化率,可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性,即在每个周期内,变化率呈现单调性。例如, 正弦函数在每个周期内先增后减,余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具,具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中,变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析,如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析,物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制,为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用,通过分析种群数量的变化率,可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处,函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得,用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得,常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中,变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析,经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势,为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域,通过分析物理量的变化率,可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
《变化率问题》课件
生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况,如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据,但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题,导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型,并进行优化。然而,由于问 题的复杂性,如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体(如空气和水)在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域,涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等,描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢,以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念,表 示函数在某一点的变化率。通过 求导,我们可以找到函数的最值
、拐点等关念, 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中,积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支,通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题,奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展,变化率问题 的应用领域不断扩大,如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
研究生物种群数量随时间的变化情况,如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据,但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题,导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型,并进行优化。然而,由于问 题的复杂性,如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体(如空气和水)在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域,涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等,描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢,以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念,表 示函数在某一点的变化率。通过 求导,我们可以找到函数的最值
、拐点等关念, 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中,积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支,通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
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REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题,奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展,变化率问题 的应用领域不断扩大,如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解:
1,式子中△x 、△ f 的值可正、可负,但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变?变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况?
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时,可以采用近似解析法,通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛,涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中,变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如,研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速;分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策;研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式,使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
Python是一种解释型、高级编程语言,具有简单易学、语法简洁、可读 性强等特点。
Python拥有丰富的第三方库和框架,如NumPy、Pandas、SciPy等,可 以进行科学计算、数据分析、机器学习等多种任务。
工程领域应用
总结词
详细描述
生物领域应用
总结词 详细描述
物理领域应用
总结词
详细描述
变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件,广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱,支持多种编程语言和脚本语言,方便用户进行算法设计和数据 分析。
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中,Δx,Δy分别表 示什么? 2.求函数平均变化率的关键是什么? 探究提示: 1.Δx是自变量的改变量,即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量,即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一:由题意,得
2
2.一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么? 探究提示: 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】
解:∵在 t=2 s 时,瞬时速度为
v= lim
Δt→0
s2+Δt-s2 Δt
= lim
Δt→0
a2+Δt2-3-a×22-3 Δt
= lim
Δt→0
4aΔt+ΔtaΔt2=Δlit→m0
(4a+aΔt)=4a(m/s)
,
∴4a=16,解得 a=4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)=x2+3x+1 在点 P(1,f(1))处的切线的斜率,以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率,然后根据点斜式列方程,代入运算即可.
Δt→0
st+Δt-st Δt
= lim
Δt→0
2+34+Δt-32-2-34-32 Δt
= lim
Δt→0
3ΔtΔ2+t 6Δt=Δlit→m0
(3Δt+6)=6.
∴物体在 t=2 和 t=4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)=12+3×1+1=5,所以点 P 的坐标为(1,5).
因为点 P(1,5)在曲线上,所以切线的斜率为
k= lim
Δx→0
f1+Δt-f1 Δt
= lim
Δx→0
1+Δt2+31+Δt+1-12+3×1+1 Δt
= lim
Δx→0
Δt2+Δt5Δt=Δlxi→ m0
(Δt+5)=5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)=x2-2x+1 在 x=4 处切线的斜率.
解:因为 f(x)=x2-2x+1,
故曲线在 x=4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4+Δx-f4 Δx
= lim
Δx→0
4+Δx2-24+Δx+1-42-2×4+1 Δx
变化率问题 PPT
v
49 65 0
0
49
t
平均速度不能反 映他在这段时间 里运动状态,需 要用瞬时速度描 述运动状态。
拓展探究2
当点B逼近于点A时,也即 x 0 时,割线AB会有什么变化?其斜
率有会有什么变化?
B y=f (x)
几何画板研究
A
PART
课堂小结
平均变化率 的定义
y f (x2 ) f (x1)
数与形
随着气球体 积逐渐变大, 它的平均膨胀 率逐渐变小.
平均膨胀率
几何画板 研究图像
r(V ) 3 3V
4
情境二 高台跳水
吴敏霞跳水视频
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高
h 度 (单位:m)与起跳后 的时间 t (单位:s) 存在
函数关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考:如何描述其运动状态呢?
13-16岁 2.12 1.61 0.17(m / 年) 16 13
16-22岁 2.26 2.12 0.02(m / 年)
●
22 16
22 年龄
PART
情境一 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径 增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
负,但不为0
平均变化率的几何意义 f (x2 ) f (x1) x2 x1
思考:从几何角度看,它又可以表示什么?
表示割线AB的斜率
A( x1, f ( x1)) f (x2)
B( x2, f ( x2 ))
f (x1)
y=f (x)
B
A
x2-x1
f ( x2 ) f ( x1)
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0,f (x0)),P(x,f (x))是曲线 y=f (x)上任意不同两点,
则平均变化率fx-fx0=fx0+Δx-fx0为割线
x-x0
Δx
P0P
的__斜__率_.
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点,即Δx 逐渐变小,当Δx→0 时,瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0+Δx-fx0就 是 Δx
的瞬时速度,这就需要用到我们数学中的“极限”思想,意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0+Δt-ht0
lim
Δt→0
Δt
思考:在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2),考察抛物线f(x)=x2的割线 P0P有什么变化趋势?
提示 当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例,了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中, 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)=-4.9t2+6.5t+10, 根据上述探究,你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗?
例 1 某物体的运动路程 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的关系可 用函数 s(t)=t2+t+1 表示,求物体在 t=1 s 时的瞬时速度.
[解] ∵ΔΔst=s1+ΔΔtt-s1
=1+Δt2+1+ΔΔtt+1-12+1+1=3+Δt,
∴lim Δt→0
ΔΔst =Δlitm→0
(3+Δt)=3.
提示 0≤t≤0.5 时, v =h00.5.5- -h00=4.05(m/s);1≤t≤2 时, v = h22- -h11=-8.2(m/s);0≤t≤6459时, v =h46649559--h00=0(m/s);
【最新】课件-变化率问题PPT
∵x2=x1 +△x
∴平均变化率也可表示为
y x
f (x1 x) x
f (x1)
课堂小结
1、函数y=f(x)平均变化率
=
函数值差 自变量差
y x
f (x2) f (x1) x2 x1
2、平均变化率的几何意义就是两
y y f (x)
点(x1,y1),(x2,y2)间连线(曲线的一条
割线)的斜率。
什么是导数呢?.
问题1:气球膨胀率 新知探究——变化率 在吹气球的过程中可以发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的 半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径
r
V
4 3
r
3
表示为体积V的函数,
那么
r(V )
3
3v
4
思思考考1::当当空空气气容容量量r(从V11)从V100r增L(0r增加)(V加到20到)V.621时2Lr(d,(,气Vm气1球/)球L的)的平平均均膨膨胀胀率率是是多多少少??
类比:当空气气球容平量均Vr膨(从22)胀1L率增1r(表1加) 示到V0特22.L1征6,V(—气d1m—球/半的L)径平差均/膨体胀积率差是多少?
知识回顾与新知引入
1、函数单调性的定义—— 已知x1,x2∈D,且x1<x2; 若f(x1)<f(x2),则函数f(x)是D上的单调增函数; 若f(x1)>f(x2),则函数f(x)是D上的单调减函数;
2、函数单调性的性质—— 若函数f(x)与g(x)在区间D上有相同的单调性,则和函数f(x)+g(x)
f (0) f (1) 4
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微 积 分 的 创 始 人
牛顿
莱布尼兹
发现了解决四类问题的一般方法
情境应用,感知概念
情境1:
(1) 在股市中,甲挣到10万元,乙挣 到2万元,据此,你能评价甲、乙两人 的收益吗?
(2) 甲、乙两人投入相同的资金,甲用5年时 间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元, 你能评价甲、乙两人的收益吗?
y
y f (x2 ) f (x1) 表示什么? f (x2)
x
x2 x1
f (x1)
y f (x2 ) f (x1) 表示函数f(x)的图像上O
x
x2 x1
的两点(x1, f (x1)), (x2, f (x2 ))连线的斜率.
试一试
y = f (x)
f (x2) – f (x1)
交流与反思
1.知识方面:
y
平均变化率的定义:
x
几何意义:曲线割线的斜率.
2.思想方法: 由特殊到一般
数形结合
由具体到抽象
探究
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均 49
速度,并思考下面的问题 :
1运动员在这段时间里是静止的吗?
2你认为用平均速度描述运动员运动状态
有什么问题吗?
x2 – x1
x
x1
x2
平均变化率的几何意义——曲线上两点对应割线的斜率.
已知一次函数 y = f(x过点(0,2),试求此一次
函数的表达式.
解:由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2, 设直线方程为y=2x+b, 又因为直线经过点(0,2), 代入方程得b=2. 则直线方程为:y=2x+2.
气球:第一次打1升 第二次打1升 第三次打1升
比较各次打气后的气球,你观察到了什么现象? 随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢
思考:能否构建一个函数模型,描述这种现象? (假定气球是理想的球,且不会被吹爆)
体会一下:
①当空气容量V从0增加到1L时,
气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 10
平均变化率是( B )
A.4
B.2
1
C. 4
3
D. 4
解:Δy = 32 - 1 = 2 Δx 3 - (-1)
3、函数 y = 2x2在区间[1,1.5]上的
平均变化率为_______5________.
解:由平均变化率的公式
得 y 2(1.52 -1.12) 5.
x
1.5 -1
观察函数 f (x) 的图象, 平均变化率
v
h(
65) 49 65
h(0) 0
10 10 65
0
49
49
平均速度不能反映他在这段 时间里运动状态,需要用瞬时速 度描述运动状态.
课后探究:
(1)搜集微积分的发展史资料; (2)生活中的变化率问题的例子; (3)物理中如何求瞬时速度.
②当空气容量V从1L增加到2L时,
气球的平均膨胀率为
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 21
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
想一想:
定义
式子 f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
称为函数 y=f (x)从x1到 x2的平均变化率.
——它反映了函数变化的快慢.
x 是一个整体符号,
而不是 与 x 相乘.
理解: 1,式子中△x
、△
y
的值可正、可负,但
y
的△x值不能为0, △ y 的值可以为0
x
2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0
3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) - f(x1 ) .
x
x2 - x1
随堂练习
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( D )
A.3
B. 3Δx-(Δx)2
C. 3-(Δx)2
D. 3-Δx
2 、函数 f x = x2 在区间 -1, 3 上的
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( D )
A、3
B、 3Δx-(Δx)2
C 、 3-(Δx)2
D 、3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
平均变化率的求解步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
仅考虑一个变量的变化是不行的
情境应用,感知概念
情境2:
海南最近12个月新房价格走势
海南在售新房均价:26683 元/平方米(仅供参考)
问题:如何刻画变化的快与慢呢?
求求看:高台跳水
运动员距水面的高度h(单位:米)与起跳后的 时间t(单位:秒)存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
1.1.1变化率问题
y
y = f (x)
f (x2) f (x1)
f (x2) – f (x1)
x2 – x1
x
O x1
x2
到了十六世纪,有许多科学问题需要解决,由 于航海、机械制造、军事上的需要,运动的研究成 了自然科学的中心议题,人们提出了四类亟待解决 的数学问题:
第一类问题:研究物体运动的瞬时速度问题; 第二类问题:求曲线的切线问题; 第三类问题:求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题:求长度、面积、体积和重心等问题.
x2 x1
x
练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ;
(2) [ 0 , 5 ] .
若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动 状态,那么求:
①在0秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度?
h 0.5 h 0
v
4.05 (m/s)
0.5 0
②在1秒到2秒时间段内呢?
③在t1到t2秒内呢?
v h(2) h(1) 8.2 (m/s) 2 1
小实验:用打气筒打气球,若每次都打入相同体积的气