变化率问题(实用) PPT

x2 x1
x
练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ;
(2) [ 0 , 5 ] .
交流与反思
1.知识方面：
y
平均变化率的定义:
x
几何意义:曲线割线的斜率.
2.思想方法： 由特殊到一般
数形结合
由具体到抽象
探究
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均 49
速度,并思考下面的问题 :
1运动员在这段时间里是静止的吗?
2你认为用平均速度描述运动员运动状态
有什么问题吗?
y
y f (x2 ) f (x1) 表示什么? f (x2)
x
x2 x1
f (x1)
y f (x2 ) f (x1) 表பைடு நூலகம்函数f(x)的图像上O
x
x2 x1
的两点(x1, f (x1)), (x2, f (x2 ))连线的斜率.
试一试
y = f (x)
f (x2) – f (x1)
（2）计算平均变化率
f f(x2 ) - f(x1 ) .
x
x2 - x1
随堂练习
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A（1,-2）及临近一点B（-1+Δx,-2+Δy），则
Δy/Δx=（ D ）
A.3
B. 3Δx-(Δx)2
C. 3-(Δx)2
D. 3-Δx
2 、函数 f x = x2 在区间 -1, 3 上的
x2 – x1
x
x1
x2
平均变化率的几何意义——曲线上两点对应割线的斜率.
已知一次函数 y = f(x) 在区间[-2，6]上的平均变
化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次
函数的表达式.
解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2， 设直线方程为y=2x+b, 又因为直线经过点（0，2）， 代入方程得b=2. 则直线方程为：y=2x+2.
气球:第一次打1升 第二次打1升 第三次打1升
比较各次打气后的气球,你观察到了什么现象? 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢
思考：能否构建一个函数模型,描述这种现象？ (假定气球是理想的球,且不会被吹爆)
体会一下:
①当空气容量V从0增加到1L时，
气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 10
v

h(
65) 49 65

h(0) 0

10 10 65

0
49
49
平均速度不能反映他在这段 时间里运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态.
课后探究:
(1)搜集微积分的发展史资料； (2)生活中的变化率问题的例子； (3)物理中如何求瞬时速度.
微 积 分 的 创 始 人
牛顿
莱布尼兹
发现了解决四类问题的一般方法
情境应用，感知概念
情境1:
(1) 在股市中，甲挣到10万元，乙挣 到2万元，据此，你能评价甲、乙两人 的收益吗？
(2) 甲、乙两人投入相同的资金，甲用5年时 间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元， 你能评价甲、乙两人的收益吗？
1.1.1变化率问题
y
y = f (x)
f (x2) f (x1)
f (x2) – f (x1)
x2 – x1
x
O x1
x2
到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由 于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成 了自然科学的中心议题，人们提出了四类亟待解决 的数学问题：
第一类问题：研究物体运动的瞬时速度问题； 第二类问题：求曲线的切线问题； 第三类问题：求函数的最大值和最小值问题； 第四类问题：求长度、面积、体积和重心等问题.
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( D )
A、3
B、 3Δx-(Δx)2
C 、 3-(Δx)2
D 、3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
平均变化率的求解步骤：
（1）求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
——它反映了函数变化的快慢.
x 是一个整体符号，
而不是 与 x 相乘.
理解： 1，式子中△x
、△
y
的值可正、可负，但

y
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
x
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动 状态,那么求:
①在0秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度?
h 0.5 h 0
v
4.05 (m/s)
0.5 0
②在1秒到2秒时间段内呢?
③在t1到t2秒内呢？
v h(2) h(1) 8.2 (m/s) 2 1
小实验：用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气
平均变化率是（ B ）
A.4
B.2
1
C. 4
3
D. 4
解：Δy = 32 - 1 = 2 Δx 3 - (-1)
3、函数 y = 2x2在区间[1，1.5]上的
平均变化率为_______5________.
解：由平均变化率的公式
得 y 2（1.52 -1.12） 5.
x
1.5 -1
观察函数 f (x) 的图象, 平均变化率
仅考虑一个变量的变化是不行的
情境应用，感知概念
情境2:
海南最近12个月新房价格走势
海南在售新房均价：26683 元/平方米(仅供参考)
问题:如何刻画变化的快与慢呢？
求求看：高台跳水
运动员距水面的高度h(单位:米)与起跳后的 时间t（单位:秒）存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
②当空气容量V从1L增加到2L时，
气球的平均膨胀率为
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 21
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均 膨胀率是多少？
想一想：
定义
式子 f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
称为函数 y=f (x)从x1到 x2的平均变化率.