离散余弦变换(DCT)及其应用分析
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f e ( x ) cos
x0
(2 x 1)u 2N
2
N
2 N 1
j (2 x1)u
Re{
f e ( x )e 2 N }
x0
式中，Re{·}表示取复数的
2
N
j u 2 N 1
j 2 xu
Re e 2 N f e ( x )e 2 N
x0
离散余弦变换（DCT）及其应用
由于
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.1一维离散余弦变换
一维CT的变换核定义为 :
g(x,u)C(u) 2co(2sx1)u
N 2N
(1-1)
式中，x, u=0, 1, 2, …, N－1;
1
C(u)
2
u0
(1-2)
1
其他
一维DCT定义如下: 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号 列。
M x 0 y N 0
2 M 2 N
(1-8)
离散余弦变换（DCT）及其应用
式中: x, u=0, 1, 2, …, M－1; y, v=0, 1, 2, …, N－1
二维DCT逆变换定义如下：
f( x ,y ) 2M 1 N 1 C ( u ) C ( v ) F ( u ,v ) c( 2 o x 1 ) s u c( 2 o y 1 ) s v
N x0
2N
(1-14)
2
N 1
f ( x ) cos
(2 x 1)u
2
2 N 1
0 cos
(2 x 1)u
N x0
2N
N xN
2N
2 N
N 1
f e ( x ) cos
x0
(2 x 1)u 2N
2 N
2 N 1
f e ( x ) cos
xN
(2 x 1)u 2N
2 N
2 N 1
2N1
j2xu
fe(x)e 2N
为fe(x)的2N点DFT。因此，在
作DCT时，x可0 把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列
fe(x) ， 然 后 对 fe(x) 作 DFT ， 最 后 取 DFT 的 实 部 便 可 得 到 DCT的结果。
同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓
Nu0
2N
式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。可见一维DCT的逆 变换核与正变换核是相同的。
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.2 二维离散余弦变换
考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广 到二维DCT。其正变换核为
g ( x ,y ,u ,v )2C ( u ) C ( v ) c( 2 o x 1 s ) uc( 2 o y 1 s ) v(1-7) MN 2 M 2 N
式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）;x, u=0, 1, 2, …,
M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
二维DCT定义如下:设f(x, y)为M×N的数字图像矩
阵，则
F ( u ,v )2M 1 N 1f( x ,y ) C ( u ) C ( v ) c( 2 o x 1 ) s uc( 2 o y 1 ) s v
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来 完成， 其算法流程与DFT类似， 即
f (x,y)F行[f (x,y)]F(x,v)
转置
F(x,v)T F列[F(x,v)T]F(u,v)T
转置
F(u,v)
(1-12)
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.3 快速离散余弦变换
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方 便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速 DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的 FCT。
M u 0 v 0 N
2 M 2 N
(1-9)
式中:x, u=0, 1, 2, …, M－1; y, v=0, 1, 2, …, N－1。
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式
如下：
F=GfGT
(1-10)
离散余弦变换（DCT）及其应用
同时，由式(1-8)和式(1-9)可知二维DCT的逆变换核与 正变换核相同，且是可分离的，即
为
Fe
(u)
F
(u)
0
u=0, 1, 2, …, N-1 u=N, N+1, …, 2N-1
(1-15)
离散余弦变换（DCT）及其应用
离散余弦变换（DCT）及其应用
F(u)C (u)
2N1
(2x1)u
f(x)cos
(1-3)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Nx0
2N
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即
F=Gf
(1-4)
其中
1/ N
1
2/N
cos/(2N)
1
1
co3s(/2N) cos2(N(1)/2N)
首先，将f(x)延拓为
fe
(
x)
f
(
x)
0
x=0, 1, 2, …, N-1
(1-13)
x=N， N+1, …, 2N-1
离散余弦变换（DCT）及其应用
按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT
F (u)
F(0)
1 N1 N x0
fe(x)
2 N 1 f ( x ) cos ( 2 x 1) u
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 离 散 余 弦 变 换 （ Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。 DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的 变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号 和图像信号的相关特征。因此，在对语音信 号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是 一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压 缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其 中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还 是一种可分离的变换。
g(x,y,u ,v)g 1(x,u)g2(y,v)
2C (u)co (2xs 1 )u 2C (v)co (2ys 1 )v
M
2M N
2N
(1-11)
式中:C(u)和C(v)的定义同式（1-2）; x, u=0, 1, 2, …, M －1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
离散余弦变换（DCT）及其应用
G 2/N cos/(2N)
co6s(/2N) cos2(N(1)/2N)
2/NcosN((1)/2N) cosN((1)(3/2N) cosN((1)(2N1)/2N)
(1-5)
离散余弦变换（DCT）及其应用
一维DCT的逆变换IDCT定义为
f(x) 2N1C (u)F(u)co(2sx1)u (1-6)
x0
(2 x 1)u 2N
2
N
2 N 1
j (2 x1)u
Re{
f e ( x )e 2 N }
x0
式中，Re{·}表示取复数的
2
N
j u 2 N 1
j 2 xu
Re e 2 N f e ( x )e 2 N
x0
离散余弦变换（DCT）及其应用
由于
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.1一维离散余弦变换
一维CT的变换核定义为 :
g(x,u)C(u) 2co(2sx1)u
N 2N
(1-1)
式中，x, u=0, 1, 2, …, N－1;
1
C(u)
2
u0
(1-2)
1
其他
一维DCT定义如下: 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号 列。
M x 0 y N 0
2 M 2 N
(1-8)
离散余弦变换（DCT）及其应用
式中: x, u=0, 1, 2, …, M－1; y, v=0, 1, 2, …, N－1
二维DCT逆变换定义如下：
f( x ,y ) 2M 1 N 1 C ( u ) C ( v ) F ( u ,v ) c( 2 o x 1 ) s u c( 2 o y 1 ) s v
N x0
2N
(1-14)
2
N 1
f ( x ) cos
(2 x 1)u
2
2 N 1
0 cos
(2 x 1)u
N x0
2N
N xN
2N
2 N
N 1
f e ( x ) cos
x0
(2 x 1)u 2N
2 N
2 N 1
f e ( x ) cos
xN
(2 x 1)u 2N
2 N
2 N 1
2N1
j2xu
fe(x)e 2N
为fe(x)的2N点DFT。因此，在
作DCT时，x可0 把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列
fe(x) ， 然 后 对 fe(x) 作 DFT ， 最 后 取 DFT 的 实 部 便 可 得 到 DCT的结果。
同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓
Nu0
2N
式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。可见一维DCT的逆 变换核与正变换核是相同的。
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.2 二维离散余弦变换
考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广 到二维DCT。其正变换核为
g ( x ,y ,u ,v )2C ( u ) C ( v ) c( 2 o x 1 s ) uc( 2 o y 1 s ) v(1-7) MN 2 M 2 N
式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）;x, u=0, 1, 2, …,
M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
二维DCT定义如下:设f(x, y)为M×N的数字图像矩
阵，则
F ( u ,v )2M 1 N 1f( x ,y ) C ( u ) C ( v ) c( 2 o x 1 ) s uc( 2 o y 1 ) s v
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来 完成， 其算法流程与DFT类似， 即
f (x,y)F行[f (x,y)]F(x,v)
转置
F(x,v)T F列[F(x,v)T]F(u,v)T
转置
F(u,v)
(1-12)
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.3 快速离散余弦变换
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方 便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速 DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的 FCT。
M u 0 v 0 N
2 M 2 N
(1-9)
式中:x, u=0, 1, 2, …, M－1; y, v=0, 1, 2, …, N－1。
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式
如下：
F=GfGT
(1-10)
离散余弦变换（DCT）及其应用
同时，由式(1-8)和式(1-9)可知二维DCT的逆变换核与 正变换核相同，且是可分离的，即
为
Fe
(u)
F
(u)
0
u=0, 1, 2, …, N-1 u=N, N+1, …, 2N-1
(1-15)
离散余弦变换（DCT）及其应用
离散余弦变换（DCT）及其应用
F(u)C (u)
2N1
(2x1)u
f(x)cos
(1-3)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Nx0
2N
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即
F=Gf
(1-4)
其中
1/ N
1
2/N
cos/(2N)
1
1
co3s(/2N) cos2(N(1)/2N)
首先，将f(x)延拓为
fe
(
x)
f
(
x)
0
x=0, 1, 2, …, N-1
(1-13)
x=N， N+1, …, 2N-1
离散余弦变换（DCT）及其应用
按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT
F (u)
F(0)
1 N1 N x0
fe(x)
2 N 1 f ( x ) cos ( 2 x 1) u
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 离 散 余 弦 变 换 （ Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。 DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的 变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号 和图像信号的相关特征。因此，在对语音信 号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是 一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压 缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其 中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还 是一种可分离的变换。
g(x,y,u ,v)g 1(x,u)g2(y,v)
2C (u)co (2xs 1 )u 2C (v)co (2ys 1 )v
M
2M N
2N
(1-11)
式中:C(u)和C(v)的定义同式（1-2）; x, u=0, 1, 2, …, M －1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
离散余弦变换（DCT）及其应用
G 2/N cos/(2N)
co6s(/2N) cos2(N(1)/2N)
2/NcosN((1)/2N) cosN((1)(3/2N) cosN((1)(2N1)/2N)
(1-5)
离散余弦变换（DCT）及其应用
一维DCT的逆变换IDCT定义为
f(x) 2N1C (u)F(u)co(2sx1)u (1-6)