行列式展开定理
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a2n (1) N a1 j1a2 j2 anjn
an1 an2
ann
(1)N a11a2 j2
1 j2 jn
a11 (1) N a2 j2 j2 jn
anjn
anjn
a11M11 a11A11
（2）
a11
a1, j1
a1 j
a1, j1
ai1,1 D 0
ai1,1
ai1, j1 0
(n2)3 (n1)2 n1
(1)(n1) a 321 a 1n 2(n1)
a a a (n2)3 (n1)2 n1
(1)n(n1)/2 a a 1n 2(n1)
a a a (n2)3 (n1)2 n1
定理 n阶行列式D 等于它的任一行(列)各 元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2, n)
或 D a1 j A1j a2 jA2 j anj Anj
( j 1,2, n)
证： （1）
a11 0 D a21 a22
0
同理证明列的情形。
ab ba Dn
bb b b [a ( n 1)b](a b)n1.
bb
ba
xaa
a
bxa
a
求Dn b b x
a.
bbb
x
xaa
bxa 推广 求Dn b b x
a
a
解 若a b，由2知Dn [x (n 1)a](x a)n1；
a. 若a b，则有
bbb
x
(x a) a 0 a 0 a
则
Dn
a(x b)n b(x a)n ab
，(a
b).
a1n
a2( n1) a2n a1n (1)n1
an1
an( n1) ann
an1
a2 ( n 1)
an(n1)
(n1)(n1)
a1n (1)n1a2(n1) (1)n11 an1
a3(n2)
an(n2)
(n2)(n2)
(1)(n1)n a a 1n 2(n1) an1
a11 a12
a1n
D ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
a11
a12
a 0 i1
0 0a 0
i2
0
a1n
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in
an1
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a11 a12
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00 ai2
0 0 0
ain
an1 an2
ann
ani11Aia1n2 ai2 Aain2n an1aiannA2 in (i ann1,2, n)
ai1, j1
ai1 j aij ai1, j
ai1, j1 0
ai1, j1
an1
a a n, j1
n, j
aij 0
(1)i j 2 a1 j a11
an, j1
0 a1n
anj an1
ann
(1)i j2 aij Mij aij Aij
a1n
ai1,n 0
ai1,n
ann
（3） 一般地
(1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 (1)a(n1)2an1
(注意：(1) (1)5 (1)32 )
(1) a a a a a (n1)n(n1) 432 1n 2(n1)
(n2)3 (n1)2 n1
(1) a a a a a 2n(n1) 321 1n 2(n1)
a3(n2)
an(n2)
(n2)(n2)
(1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 an1
a(n1)2 an2 22
a1n
a2( n1) a2n (1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 an1
a(n1)2 an2 22
an1
an( n1) ann
0a xa 0 0
0 11
1
Leabharlann Baidu
b
xa
a
b xa
a bx
a
Dn
b
bx
a b bx
a a
b
bb
bb
x
x
b bb
x
11 (x a)Dn1 a0 x b
1 a b (x a)Dn1 a(x b)n1.
00
xb
由a，b的对称性，知D (x b)D b(x a)n1.
n
n1
Dn ( x a )Dn1 a( x b )n1 , Dn ( x b )Dn1 b( x a )n1,
an1 an2
ann
(1)N a11a2 j2
1 j2 jn
a11 (1) N a2 j2 j2 jn
anjn
anjn
a11M11 a11A11
（2）
a11
a1, j1
a1 j
a1, j1
ai1,1 D 0
ai1,1
ai1, j1 0
(n2)3 (n1)2 n1
(1)(n1) a 321 a 1n 2(n1)
a a a (n2)3 (n1)2 n1
(1)n(n1)/2 a a 1n 2(n1)
a a a (n2)3 (n1)2 n1
定理 n阶行列式D 等于它的任一行(列)各 元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2, n)
或 D a1 j A1j a2 jA2 j anj Anj
( j 1,2, n)
证： （1）
a11 0 D a21 a22
0
同理证明列的情形。
ab ba Dn
bb b b [a ( n 1)b](a b)n1.
bb
ba
xaa
a
bxa
a
求Dn b b x
a.
bbb
x
xaa
bxa 推广 求Dn b b x
a
a
解 若a b，由2知Dn [x (n 1)a](x a)n1；
a. 若a b，则有
bbb
x
(x a) a 0 a 0 a
则
Dn
a(x b)n b(x a)n ab
，(a
b).
a1n
a2( n1) a2n a1n (1)n1
an1
an( n1) ann
an1
a2 ( n 1)
an(n1)
(n1)(n1)
a1n (1)n1a2(n1) (1)n11 an1
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an(n2)
(n2)(n2)
(1)(n1)n a a 1n 2(n1) an1
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D ai1 ai2
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(1)i j 2 a1 j a11
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0 a1n
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ann
(1)i j2 aij Mij aij Aij
a1n
ai1,n 0
ai1,n
ann
（3） 一般地
(1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 (1)a(n1)2an1
(注意：(1) (1)5 (1)32 )
(1) a a a a a (n1)n(n1) 432 1n 2(n1)
(n2)3 (n1)2 n1
(1) a a a a a 2n(n1) 321 1n 2(n1)
a3(n2)
an(n2)
(n2)(n2)
(1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 an1
a(n1)2 an2 22
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a2( n1) a2n (1)(n1)n(n1) 4 a a 1n 2(n1)
a(n2)3 an1
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0a xa 0 0
0 11
1
Leabharlann Baidu
b
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a
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a
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b
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a b bx
a a
b
bb
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x
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x
11 (x a)Dn1 a0 x b
1 a b (x a)Dn1 a(x b)n1.
00
xb
由a，b的对称性，知D (x b)D b(x a)n1.
n
n1
Dn ( x a )Dn1 a( x b )n1 , Dn ( x b )Dn1 b( x a )n1,