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正余弦定理单元测试题

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(完整版)正弦定理、余弦定理单元测试卷

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高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题班级 姓名 1．在ABC ∆中，︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ，则=c ( )A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 32．在ABC ∆中，︒=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.633．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C.ο30或ο150D.ο60或ο1205.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解6．在ABC ∆中，︒===30,3,1A b a ，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解7.在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A c b a sin sin sin （ ） A.338 B.3392 C.3326 D. 32 8在△ABC 中，已知135cos ,53sin ==B A ，则C cos 等于（ ） （A ）6556 （B ）6516 （C ）6516或6556 （D ）6533 9．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）22 （D ）12-10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π311．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°12.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题13．在ABC ∆中，已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；14．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边．若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝________；15．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，则2sin A －sin B sin C＝________. 16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．三、解答题17、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形.18、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形.19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． （1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．。

正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理、余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，已知,30,10,25︒===A c a 则B=（ ）（A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是（ ） （A ）721 （B ）1957 （C ）383 （D ）1957-3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形（C ）锐角三角形 （D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是 （ ）（A ）一解 （B ）二解 （C ）无解 （D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2cossin sin 2AC B =，则△ABC 是 （ ）（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形6．在△ABC 中，已知135cos ,53sin ==B A ，则C cos 等于 （ ）（A ）6556 （B ）6516 （C ）6516或6556 （D ）65337．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(222222c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 二、填空题9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形面积为 ．11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ． 三、解答题13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状．14．（12分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ；a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

正余弦定理练习题（含答案）

正余弦定理练习题（含答案）

A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。

2023数学单元过关检测-平面向量与正余弦定理

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第六章知识总结及测试一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共 40分） 1．设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A ． B ． C ． D ．22．复数 21−i(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A. 1+iB. 1−iC. −1+i D . −1−i3．[2022·湖北武昌模拟]已知向量a ＝(1,3)，则下列向量中与a 垂直的是( ) A ．(0,0) B ．(－3，－1) C ．(3,1) D ．(－3,1)4．（2020·全国高一课时练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：2a b cS p ++==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为10+ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．125．（2020·全国高一课时练习）如果向量(0,1)=a ，(2,1)b =-，那么|2|a b += ( ) A ．6B ．5C ．4D ．36．（2020·全国高一课时练习）设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A ．2B ．-2C ．6D ．-67．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）在ABC 中，下列各式正确的是（ ） A ．sin sin a Bb A= B ．sin sin a C c B = C ．2222cos()c a b ab A B =+-+D ．sin()sin a A B c A +=8．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知C 为ABC ∆的一个内角，向量()()2cos 1,2,cos ,cos 1m C n C C =--=+.若m n ⊥，则角C =()A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）9．（2020·江苏镇江市·高一期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△b = ） A ．1cos 2B =B．cos 2B =C．a c +=D．a c +=10．（2023秋·重庆）已知复数12,z z 是关于x 的方程210(22,)x bx b b ++=-<<∈R 的两根，则下列说法中正确的是（ ） A ．12z z = B ．12z z ∈R C ．121z z == D ．若1b =，则33121z z == 11.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则下列命题中正确命题为( )A.EF →＝12c －12bB.BE →＝a ＋12bC.CF →＝12b －12aD.AD →＋BE →＋CF →＝012．（2020·全国高一）对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，点M 为ABC 三边上的动点，PQ 是ABC 外接圆的直径，则MP MQ ⋅的取值范围是_______________________14．（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一期中）已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2-a b 与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.15．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________.16．16．已知点P 为△ABC 内一点，2P A →＋3PB →＋5PC →＝0，若F 为AC 中点，G 为BC 中点，||PF →||PG→＝________.△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为________．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·深圳市）已知向量a =（cos x x ），b =（cos x ，sin x ）． （1）若a ∥b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求x 的值；（2）若f （x ）a =•b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求f （x ）的最大值及相应x 的值．18．（2020·全国高一课时练习）ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+.（1）求角A ；（2）从三个条件：①3a =；②3b =；③ABC 的面积为ABC 周长的取值范围.19．(12分)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝1. (1)若|b|＝2，求|a ＋b|；(2)若(a ＋b)⊥(a －b)，λ∈R ，求|a ＋λb|的最小值．20．（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-，且2cos p q C ⋅=（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .21．（2020·全国高一课时练习）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =，2CE EB =.（1）求CD 的长； （2）求AB DE ⋅的值．22．（2020·全国高一单元测试）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．。

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:1.在△ABC^, a=15, b=10, A= 60 ,则 cosB=()2. 在△ABC\内角A, B, C 的对边分别是a, b, c .若a 2—b 2=3bc, sin C= 2 3sin B,则 A=()A. 30B. 60 C . 120D. 1503. E, F 是等腰直角AABCM 边AB 上的三等分点，则tan / ECF=（）4. △ABOt\ 若 lg a —lg c=lgsin B= — lg /且 B6 0, "2■，则AABC的形状是（）A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直 角三角形5. AABC^, a 、b 、c 分别为/A 、/B /C 的对边，如果 a 、b 、c 成等差数列，/ B= 30° , △ ABC 勺面积为，那么b 为（）A. 1+ 3B. 3+. 3D. 2+. 36.已知锐角A 是△ ABC 勺一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角A.212 3的对应边，若sin 2A — cos 2A= g,则( )A. b+ c=2a B . b+ c <2aC . b+ c<2aD . b+ cn 2a7、若ABC 的内角A 满足sin 2A I ，则sinA 8sA8、如果AB I C I 的三个内角的余弦值分别等于 A 2B 2c 2的三个内角的正 弦值，则A. A 1B i C i 和A 2B 2c 2都是锐角三角形 B . AB 1C 1和A 2B 2c 2都是钝角 三角形C. ABiG 是钝角三角形， 4B 2c 2是锐角三角形D.AB i C i 是锐角三角形，A 2B 2c 2是钝角三角形9、VABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量in r ur r t . ., . .. p (a c,b), q (b a,c a),右 p//q ,则角 C 的大小为(A )6(B)3(C)2(D)i0、已知等腰△ ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）i5 D. -15711、 ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a 、b 、c 成等比 数列，且c 2a ,则cosBA.工3平 C . |A., i5A. 1 B, 3 。

(完整版)解三角形单元测试题及答案

(完整版)解三角形单元测试题及答案

第一章 解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C CC C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝ (b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知|AB |＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cosB 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°C ．120° D ．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.20．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a +=(1）求A cos 的值； (2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=． (1）求sin ABD ∠的值； (2）求BD 的长．解三角形 答案1．B 2．B 3.D4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B13．45° 14．10 3 15．8 6 16.3317．【答案】(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223,则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1， 其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A＝32．18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．【答案】(1)由acosC ＋12c ＝b 和正弦定理得， sinAcosC ＋12sinC ＝sinB ，又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，∴12sinC ＝cosAsinC ， ∵sinC ≠0，∴cosA ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝3π.(2)由正弦定理得，b ＝asinBsinA ＝，c ＝asinC sinA ， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋sinC)＝1sinB ＋sin(A ＋B)］＝1＋sinB ＋12cosB)＝1＋2sin(B ＋6π). ∵A ＝3π，∴B ∈(0，23π)，∴B ＋6π∈(6π，56π)，∴sin(B ＋6π)∈(12，1］，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3］. 20【答案】（1）由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A +=又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即.sin cos sin 2A A A =而0sin ≠A ，所以.21cos =A (2）由21cos =A 及0＜A ＜π，得A ＝.3π因此.32ππ=-=+A C B由,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+B B π 即23sin 23cos 21cos =+-B B B ，即得.236sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB由,3π=A 知.65,66⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.326ππ=+B 所以6π=B ，或.2π=B若,6π=B 则.2π=C 在直角△ABC 中，c13sin=π，解得;332=c 若,2π=B 在直角△ABC 中，,13tan c=π解得.33=c21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．【答案】（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠412353351351365=⨯-⨯=． (2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD=∠∠，所以533sin132533sin65AD BADBDABD⨯⨯∠===∠．。

正弦定理余弦定理单元测试及答案

正弦定理余弦定理单元测试及答案

答案：sinA = a/c 答案：sinB = b/c 答案：sinC = a/b 答案：cosA = b² + c² - a² / 2bc
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。 答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
余弦定理是描 述三角形任意 两边和其夹角 余弦值的关系
余弦定理公式： c^2=a^2+b^2-
2ab*cos(C)
余弦定理的应 用：求解三角 形的边长、角
度等
余弦定理的证 明方法：向量 法、几何法等
解三角形：已知三角形的两边和夹角，求第三边和第三角的大小 解四边形：已知四边形的两边和夹角，求其他边和角的大小 解多边形：已知多边形的边和角，求其他边和角的大小 解立体几何：已知立体几何体的边和角，求其他边和角的大小
XX,a click to unlimited possibilities
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正弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的正弦值成正比 余弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的余弦值成正比 正弦定理的应用：求解三角形的边长和角度 余弦定理的应用：求解三角形的边长和角度
答案：cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。 答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
总正确率：80% 各题型正确率：选择题75%，填空题85%，解答题90% 各知识点正确率：正弦定理70%，余弦定理80% 错误原因分析：知识点掌握不牢固，解题技巧不足

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题1.若△ABC 的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D.232．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( )A ．0<a <4 3B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤43或a ＝6(理)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12C. －1D. 1(理)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 25．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．(文)(在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( )A ．5B.1132C.41 D ．25(理)在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( ) A.817 B.1517 C.1315D.13177．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．8．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3，则△ABC 的面积为________．(理)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．9．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值围是________．10．(文)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．(理)△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos2B2－1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．11.(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形(理)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形12．(文)已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34(理)△ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°13．(文)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)(理)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 214．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________． ①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°； ③a ＝6，b ＝20，A ＝30°； ④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.15．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A.455 B.355 C.255D.555.、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36C.63D.666．△ABC 的三个角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．7．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，且△ABC 的面积S ＝a sin C ，则a ＋c 的值为________．8．(2011·月考)在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.正弦定理和余弦定理参考答案1、[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A.2、(文）[答案] C[解析] ∵b ·sin A ＝43·sin60°＝6，∴要使△ABC 只有一解，应满足a ＝6或a ≥4 3. 如图顶点B 可以是B 1、B 2或B 3.（理）[答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.3、[答案] D[解析] 由正弦定理得asin A＝bsin B，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.4、（文）[答案] D[解析] 由a cos A ＝b sin B 可得，sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B 所以sin A cos A＋cos 2B ＝1.（理）[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a＝ 2.5、（文）[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又c sin C ＝bsin B，所以sin C＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B（理）[答案] C[解析]12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.6、（文）[答案] A[解析] 由于S ＝12ac sin B ＝2，c ＝42，B ＝45°，可解得a ＝1，根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25，所以b ＝5，故选A. （理）[答案] B[解析] S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.7、[答案] 2[解析] 由S ＝12BC ·AC sin C 知3＝12×2×AC sin60°＝32AC ，∴AC ＝2，∴AB 2＝28、（文）[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB ＝2.（理）[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin Csin B ＝BC ＋BAAC＝2. 9、（文）[答案]π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12，∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. （理）[答案]3<c <5[解析] 边c 最长时(c ≥2)：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0，∴c 2<5.∴2≤c < 5.边b 最长时(c <2)：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0，∴c 2>3.∴3<c <2.综上，3<c < 5.10、（文）[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2(π4＋B 2)＋cos2B －2＝0，2sin B [1－cos(π2＋B )]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，∴sin B ＝12.∵0<B <π，∴B＝π6或56π. (2)∵a ＝3>b ，∴此时B ＝π6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.（理）[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得，a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．11、（文）[答案] C[解析] 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评] 也可以先由正弦定理，将a ＝2b cos C 化为sin A ＝2sin B cos C ，利用sin A ＝sin(B ＋C )代入展开求解．（理）[答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A. 12、（文）[答案] D[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，3sin C＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D.（理）[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.13（文）[答案] C[解析] 根据正弦定理，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 得a 2≤b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴0<A ≤π3，故选C.（理）[答案] A[解析] 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x②，将②代入①得，S △ABC ＝x1－4－x24x2＝128－x 2－12216，由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A. 14、[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解．②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解；③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．15、（文）[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. （理）[解析](1)由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R 知cos A －2cos Ccos B＝2·2R sin C －2R sin A2R sin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2cos B sin C －cos B sin A ，即sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又由A ＋B ＋C ＝π知，sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，∴c ＝2a ，则由余弦定理得b 2＝a 2＋(2a )2－2·a ·2a cos B ＝4a 2∴b ＝2a ，∴a ＋2a ＋2a ＝5，∴a ＝1，∴b ＝2.1、[答案] A[解析] 由条件知b s in A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.2、[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a－b ＝aba ＋b>0，所以a >b .3、[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A. 4、[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角，∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32，∴0<B <π6，∴C 为最大角，由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边，由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22，由正弦定理，b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝555、.[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4.在△ABC 中，由正弦定理：3sin C ＝4sin A- .- -.可修编- 在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3×2234＝66，故选D. 6、[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3. 7、[答案] 48、[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

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正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

正弦定理和余弦定理4

正弦定理和余弦定理4

一、选择题（共5小题；共25正弦定理和余弦定理4分）1. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B 所对的边长分别为 a ，b ．若 2asinB =√3b ，则角 A 等于 ( )A. π12B. π6 C. π4 D. π32. 在 △ABC 中，∠B =π4，AB =√2，BC =3，则 sinA =( )A.√1010B.√105C.3√1010D. √553. 在 △ABC 中，∠A =30∘，AB =√3，BC =1，则 △ABC 的面积等于 ( )A. √32B. √34C. √32 或 √3D. √32 或 √344. 钝角三角形 ABC 的面积是 12，AB =1，BC =√2，则 AC = ( )A. 5B. √5C. 2D. 15. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，△ABC 的面积为 S ，若 acosB +bcosA =csinC ，S =14×(b 2+c 2−a 2)，则 B =( )A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘二、填空题（共3小题；共15分）6. 在 △ABC 中，a =4，b =5，c =6，则 sin2AsinC =( )7. 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 a =√3，sinB =12，C =π6，则 b =( )．8. 若锐角 △ABC 的面积为 10√3，且 AB =5，AC =8，则 BC 等于 ( )．三、解答题（共2小题；共26分）9. 在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠ADC =120∘，cos∠CAD =5√714．Ⅰ 求 AC 的长． Ⅱ 求梯形 ABCD 的高．10. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a =√7，b =3，√7sinB +sinA =2√3． Ⅰ 求角 A 的大小； Ⅱ 求 △ABC 的面积．答案第一部分1. D 【解析】由已知及正弦定理可知：2sinA⋅sinB=√3sinB，因为B为三角形的内角，所以sinB≠0，故sinA=√32，又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈(0,π2)，故A=π3．2. C 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA⋅BC⋅cosB=(√2)2+32−2×√2×3×√22=5，解得AC=√5．由正弦定理得sinA=BC⋅sinBAC =3×√22√5=3√1010．3. D 【解析】由余弦定理的推论知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，代入各数值整理，得AC2−3AC+2=0，解得AC=2或AC=1，由三角形的面积公式得S=12AB⋅AC⋅sinA，从而得S=√32或√34．4. B 【解析】由题意知S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB，即12=12×1×√2sinB，解得sinB=√22．所以B=45∘或B=135∘．当B=45∘时，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=12+(√2)2−2×1×√2×√22=1．此时AC2+AB2=BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B=135∘时，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=12+(√2)2+2×1×√2×√22=5，解得AC=√5．5. C【解析】由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C（R为△ABC 外接圆的半径），即sin(A+B)=sin2C，所以sinC=sin2C，又sinC≠0，所以sinC=1，又C∈(0,π)，所以C=π2，所以c2=b2+a2，S=12ab，又S=14×(b2+c2−a2)，所以a=b，所以B=45∘第二部分6. 1【解析】在△ABC中，由余弦定理的推论得cosA=b2+c2−a22bc =52+62−422×5×6=34，由正弦定理可知 sin2A sinC=2sinAcosA sinC=2a⋅cosA sinC=2a⋅cosAc =2×4×346=1．7. 1【解析】在 △ABC 中，由 sinB =12，可得 B =π6或 B =5π6，结合 C =π6可知 B =π6．从而 A =23π，利用正弦定理 a sinA =bsinB ，可得 b =1． 8. 7【解析】设内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ． 由题意得 12bcsinA =10√3， 可得 sinA =√32，因为 A 为锐角，所以 A =60∘，cosA =12．由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =25+64−2×40×12=49，故 a =7，即 BC =7． 第三部分9. （1） 在 △ACD 中，因为 cos∠CAD =5√714， 所以 sin∠CAD =√2114． 由正弦定理得 ACsin∠ADC =CDsin∠CAD ， 即 AC =CD⋅sin∠ADC sin∠CAD=2×√32√2114=2√7．（2） 在 △ACD 中，由余弦定理得 AC 2=AD 2+4−2×2×ADcos120∘， 整理得 AD 2+2AD −24=0，解得 AD =4（舍负）． 过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，则 DE 为梯形 ABCD 的高． 因为 AB ∥CD ，∠ADC =120∘，所以 ∠BAD =60∘．在 Rt △ADE 中，DE =ADsin60∘=2√3，即梯形 ABCD 的高为 2√3． 10. （1） 在 △ABC 中，由正弦定理 asinA =bsinB ， 得 √7sinA =3sinB ，即 √7sinB =3sinA ， 又 √7sinB +sinA =2√3，解得 sinA =√32， 因为 △ABC 为锐角三角形，所以 A =π3．（2） 在 △ABC 中，由余弦定理 cosA =b 2+c 2−a 22bc，得 12=9+c 2−76c，即 c 2−3c +2=0，解得 c =1 或 c =2． 当 c =1 时，因为 cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√714<0， 所以角 B 为钝角，不符合题意，舍去． 当 c =2 时，因为 cosB =a 2+c 2−b 22ac=√714>0，且 b >c ，b >a ，所以 △ABC 为锐角三角形，符合题意． 所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =12×3×2×√32=3√32．。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

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完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理与余弦定理测试题及答案

正弦定理与余弦定理测试题及答案

正弦定理与余弦定理练习题1.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：4 B．1：1：2 C．1：1：D．2：2：2.（2015•浙江）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosC C．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC3.在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A．B．C．D．4.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．6.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．47.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则∠C等于（）A．60°B．90°C．120°D．60°或120°8.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣19.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（）DA．45°或135°B．135°C．60°D．45°10.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，求△ABC周长的取值范围（）A．（2，3] B．[1，3] C．（0，2] D．（2，5]11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．12.在△ABC中，已知C=，b=4，△ABC的面积为，则c=（）A．B． C． D．13.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣14.在三角形A BC中，∠C=60°，AC+BC=6，A B=4，则AB边上的高为（）A． B．C． D．15.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．316.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B的大小为（A ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形18.在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．19.若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20.（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．21.（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．22.（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．23..（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=．25.在△ABC中，已知A=45°，b=1，且△ABC仅有一个解，则a的取值范围是．26.已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c2﹣（a﹣b）2，则tanC=．27.设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为29（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．30.（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．31.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．32.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．33.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．34.△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．36.在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．37.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．答案1-5CBDCA 6-10CDCDA 11-15BCDAC 16-19ABBD286420.221.122.123.624.4525.126.27.28.601201517a a ︒≥=︒︒或或29.解：①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1， 得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin （A+B ）=sinC=，sinA=，所以a=2c ，又ac=2，所以c=1．30.解：（Ⅰ）因为向量=（a ，b ）与=（cosA ，sinB ）平行，所以asinB ﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3，△ABC 的面积为：=． 31.解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，∵C 为三角形的内角，∴sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=1，整理得：2sin （A ﹣）=1，即sin （A ﹣）=，∴A ﹣=或A ﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=； （2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC 的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：4=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=（b+c ）2﹣12，整理得：b+c=4②， 联立①②解得：b=c=2． 32.解：（I ）∵a=2csinA ．∴由正弦定理可得sinA ， 又sinA ≠0，∴sinC=，∵A 为锐角，∴． （2）∵c=，，且△ABC 的面积为，∴=，化为ab=6，由余弦定理可得：==（a+b ）2﹣3ab ，∴a+b=5．33.解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC ﹣sinAsinC ）=﹣1，∴，∴，又0＜B ＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．34.解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==，∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==，∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos 2C ﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．35.解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cosA，∵cosA≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：，∴，，∴==，∵，∴，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）36.解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．37.解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．。

正弦定理余弦定理测试题一(含答案)

正弦定理余弦定理测试题一(含答案)

正弦定理余弦定理测试题一（含答案）1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b ＝2，c ＝5，A =π3，则a ＝（ ） A ．√19B ．19C ．√39D ．392．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则C ＝（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．在△ABC 中，若a ＝1，b =√7，c =√3，则B 的值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．5π6D ．π64．在△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，c ＝2，则cos B ＝（ ） A ．16B ．13C ．14D ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且a 2+b 2+√2ab =c 2，则角c 为（ ） A ．π4B ．3π4C ．π3D ．2π36．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，那么cos C 等于（ ） A ．23B ．−23C ．−13D ．−147．在△ABC 中，若AB =√13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ ．8．△ABC 外接圆半径为√3，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝2，则c 的值为 ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，则角B 的值是 ．10．在△ABC 中，如果（a +c ）（a ﹣c ）＝b （b ﹣c ），则角A 等于 ． 答案：1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b ＝2，c ＝5，A =π3，则a ＝（ ） A ．√19B ．19C ．√39D ．39【分析】利用余弦定理解题即可．【解答】解：由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝4+25﹣10＝19， 则a =√19， 故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，是基础题．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则C ＝（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【分析】直接利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则cos C =a 2+b 2−c 22ab =9+25−492×3×5=−12． 所以C ＝120°． 故选：B ．【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的解法，是基本知识的考查． 3．在△ABC 中，若a ＝1，b =√7，c =√3，则B 的值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．5π6D ．π6【分析】利用余弦定理，计算求解即可．【解答】解：在△ABC 中，若a ＝1，b =√7，c =√3，则cos B =a 2+c 2−b 22ac =2×1×√3=−√32， 所以B =5π6． 故选：C ．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．在△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，c ＝2，则cos B ＝（ ） A ．16B ．13C ．14D ．1【分析】由已知利用余弦定理即可求解． 【解答】解：因为：a ＝1，b ＝2，c ＝2，所以由余弦定理cos B =a 2+c 2−b 22ac ，可得：cosB =12+22−222×1×2=14． 故选：C ．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且a 2+b 2+√2ab =c 2，则角c 为（ ） A ．π4B ．3π4C ．π3D ．2π3【分析】利用余弦定理求出cos C 和C 的值． 【解答】解：△ABC 中，a 2+b 2+√2ab =c 2， ∴a 2+b 2﹣c 2=−√2ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =−√2ab2ab =−√22；又C ∈（0，π）， ∴角C =3π4． 故选：B ．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．6．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，那么cos C 等于（ ） A ．23B ．−23C ．−13D ．−14【分析】由正弦定理可得；sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c ，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k （k＞0），由余弦定理CosC =a 2+b 2−c 22ab可求得答案． 【解答】解：由正弦定理可得；sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c ＝2：3：4 可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k （k ＞0）由余弦定理可得，CosC =a 2+b 2−c 22ab =4k 2+9k 2−16k 22⋅2k⋅3k =−14故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理a sinA=b sinB=c sinC及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题． 二．填空题（共4小题）7．在△ABC 中，若AB =√13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ 1 ． 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵AB =√13，BC ＝3，∠C ＝120°，∴由余弦定理可得：AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos C ，即：（√13）2＝AC 2+32﹣2×3×AC ×cos120°．∴整理可得：AC 2+3AC ﹣4＝0，解得：AC ＝1或﹣4（舍去）． 故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8．△ABC 外接圆半径为√3，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝2，则c 的值为 √6+1 ．【分析】由已知及正弦定理可解得a ，利用余弦定理可得：c 2﹣2c ﹣5＝0，解方程即可得解．【解答】解：∵△ABC 外接圆半径为√3，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝2， ∴由正弦定理可得：a sin60°=2sinB=c sinC=2√3，解得：a ＝3，∴利用余弦定理：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得：9＝4+c 2﹣2c ，即c 2﹣2c ﹣5＝0， ∴解得：c ＝1+√6，或1−√6（舍去）． 故答案为：√6+1．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，则角B 的值是π6．【分析】直接利用余弦定理求出B 的余弦值，推出B 的值即可．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，由余弦定理可知cos B =a 2+c 2−b 22ac =√32，因为B 是三角形内角，所以B =π6． 故答案为：π6．【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查． 10．在△ABC 中，如果（a +c ）（a ﹣c ）＝b （b ﹣c ），则角A 等于π3．【分析】直接展开表达式，利用余弦定理直接求出A 的余弦值，即可求出A 的值． 【解答】解|：因为在△ABC 中，若（a +c ）（a ﹣c ）＝b （b ﹣c ）， 所以a 2﹣c 2＝b 2﹣bc ，即a 2＝c 2+b 2﹣bc ，符合余弦定理，∴cos A =12， A 是三角形的内角，所以A =π3． 故答案为：π3．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。

正弦定理、余弦定理练习题及答案

正弦定理、余弦定理练习题及答案

正弦定理、余弦定理练习题及答案正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A. B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c 是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1）2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2, c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

正余弦定理练习题(含答案)

正余弦定理练习题(含答案)

正弦定理演习题1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．26 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不合错误4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a等于( )A.6B ．2C.3D.29．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.10．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.11．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.14．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.16．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．17．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？18．在△ABC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.19．(2009年高考四川卷)在△AB C 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．余弦定理演习题1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．462．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于()A ．60° B．45°C．120° D．150° 4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不合错误6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．12．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分离是 a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．正弦定理1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B.2C.3D ．26解析：选A.运用正弦定理得：a sinA ＝b sinB ,求得b ＝asinBsinA＝ 6.2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．42B ．43C ．46D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝asinBsinA ＝4 6.3．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不合错误 a sinA ＝b sinB 得：sinB ＝bsinA a ＝22,又∵a>b,∴B<60°,∴B＝45°. 4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sinB ＝csinC 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin Bsin A,sinAcosA ＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B,或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sinC ＝AC sinB ,求出sinC ＝32,∵AB＞AC,∴∠C 有两解,即∠C＝60°或120°,∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·ACsinA 可求面积．8．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D.26sin120°＝2sinC,∴sinC＝12.又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A＝30°, △ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.解析：由正弦定理得：a sinA ＝csinC,所以sinA ＝a·sinC c ＝12.又∵a＜c,∴A＜C ＝π3,∴A＝π6.答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.解析：由正弦定理得a sinA ＝bsinB⇒sinB ＝bsinA a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a＝c,由a sinA ＝b sinB 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43, ∴a＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．解析：由正弦定理,得a ＝2R·sinA,b＝2R·sinB, 代入式子a ＝2bcosC,得2RsinA ＝2·2R·sinB·cosC, 所以sinA ＝2sinB·cosC,即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC, 化简,整顿,得sin(B －C)＝0.∵0°＜B ＜180°,0°＜C ＜180°, ∴－180°＜B －C ＜180°, ∴B－C ＝0°,B＝C. 答案：等腰三角形13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sinA ＋sinB ＋sinC ＝a sinA ＝63sin60°＝12,又S△ABC＝12bcsinA,∴12×12×sin60°×c＝183, ∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,∴2R＝a sinA ＝1sin30°＝2,又∵a＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C,∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sinB ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.解析：依题意,sinC ＝223,S△ABC＝12absinC ＝43,解得b ＝2 3.答案：2316．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝43×12＝23且c ＝2,∴c<bsinC,∴此三角形无解． 答案：017．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？解：在△ABC 中,BC ＝40×12＝20,∠ABC＝140°－110°＝30°,∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°, 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°, 由正弦定理得AC ＝BC·sin∠ABC sinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△A BC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.解：由sin C 2cos C 2＝14,得sinC ＝12,又C∈(0,π),所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin Bsin C ＝cos2A2,得sin Bsin C ＝12[1－cos(B ＋C)],即2sin Bsin C ＝1－cos(B ＋C),即2sin Bsin C ＋cos(B ＋C)＝1,变形得 cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝1,即cos(B －C)＝1,所以B ＝C ＝π6,B ＝C ＝5π6(舍去),A ＝π－(B ＋C)＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C,得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3,B ＝π6,b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．解：(1)∵A.B 为锐角,sin B ＝1010,∴cos B＝1－sin2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin2A ＝35,∴sinA＝55,cos A ＝255,∴cos(A＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π,∴A＋B ＝π4.(2)由(1)知,C ＝3π4,∴sin C＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c,即a ＝2b,c ＝5b.∵a－b ＝2－1,∴2b －b ＝2－1,∴b＝1. ∴a＝2,c ＝ 5.20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．解：由S ＝12absin C 得,153＝12×603×sin C,∴sin C＝12,∴∠C＝30°或150°.又sin B ＝sin C,故∠B＝∠C.当∠C＝30°时,∠B＝30°,∠A＝120°.又∵ab＝603,a sin A ＝bsin B,∴b＝215.当∠C＝150°时,∠B＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理,得AC ＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于() A. 3 B.2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2,∴c＝ 2.3．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc ＝－3bc 2bc ＝－32,∵0°＜∠A＜180°,∴∠A＝150°.4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,联想到余弦定理,代入得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝32·1tanB ＝32·cosB sinB .显然∠B≠π2,∴sinB＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不合错误解析：选C.a·a2＋c2－b22ac ＋b·b2＋c2－a22bc ＝2c22c＝c.6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议解析：选A.设三边长分离为a,b,c 且a2＋b2＝c2. 设增长的长度为m,则c ＋m ＞a ＋m,c ＋m ＞b ＋m,又(a ＋m)2＋(b ＋m)2＝a2＋b2＋2(a ＋b)m ＋2m2＞c2＋2cm ＋m2＝(c ＋m)2,∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S△ABC＝3＝12|AB →|·|AC →|·sinA＝12×4×1×sinA,∴sinA＝32,又∵△ABC 为锐角三角形, ∴cosA＝12, ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为() A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中,由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB,即3＝a2＋9－33a,∴a2－33a ＋6＝0,解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________． 解析：∵2B＝A ＋C,A ＋B ＋C ＝π,∴B＝π3. 在△ABD 中, AD ＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10, ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k,b ＝(3＋1)k,c ＝10k(k ＞0),∴c 边最长,即角C 最大．由余弦定理,得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝－12, 又C∈(0°,180°),∴C＝120°.11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．解析：S ＝12absinC,sinC ＝32,∴C＝60°或120°. ∴cosC＝±12,又∵c2＝a2＋b2－2abcosC,∴c2＝21或61,∴c＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,设a ＝2k(k ＞0),则b ＝3k,c ＝4k,cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k×4k ＝1116, 同理可得：cos A ＝78,cos C ＝－14, ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________. 解析：∵cos C＝13,∴sin C＝223. 又S△ABC＝12absinC ＝43, 即12·b·32·223＝43, ∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中,cosB ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935, ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分离是a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.解析：12absinC ＝S ＝a2＋b2－c24＝a2＋b2－c22ab ·ab 2＝12abcosC,∴sinC＝cosC,∴tanC＝1,∴C＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1,k,k ＋1(k≥2,k∈N),则⎩⎪⎨⎪⎧ k2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4,∴k＝3,故三边长分离为2,3,4,∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．解：∵A＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B)＝1,∴cos(π－C)＝12,即cosC ＝－12. 又∵a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,∴a＋b ＝23,ab ＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－12) ＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝(23)2－2＝10,∴AB＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1,BC ＋AC ＝2AB,两式相减,得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC·AC·sin C＝16sin C,得BC·AC＝13, 由余弦定理得cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC ＋BC 2－2AC·BC－AB22AC·BC ＝12, 所以C ＝60°.19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C ＝BC sin A, 得AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中,依据余弦定理,得cos A ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC ＝255, 于是sin A ＝1－cos2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin Acos A ＝45, cos 2A ＝cos2A －sin2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2Acos π4－cos 2Asin π4＝210. 20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．解：由正弦定理,得sin C sin B ＝c b. 由2cos Asin B ＝sin C,有cosA ＝sinC 2sin B ＝c 2b. 又依据余弦定理,得cos A ＝b2＋c2－a22bc ,所以c 2b ＝b2＋c2－a22bc, 即c2＝b2＋c2－a2,所以a ＝b.又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,所以(a ＋b)2－c2＝3ab,所以4b2－c2＝3b2, 所以b ＝c,所以a ＝b ＝c,是以△ABC 为等边三角形．。

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

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1.在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是 （ ）
A. 等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
2．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定
是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
3．在△ABC 中，一定成立的等式是 ( )
A.asinA=bsinB
B.acosA=bcosB C .asinB=bsinA D.acosB=bcosA
4．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c
1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为 （ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则△ABC 的面积为（ ）
A. 81
B. 41
C. 21
D. 1
6．若c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个
内角为30°的等腰三角形
7．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 ( )
A. 90°
B. 120°
C.135°
D. 150°
8．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100
C ．a = 7，b = 5，A = 80°
D ．a = 14，b = 16，A = 45°
9．在三角形ABC 中,已知A 60︒=,b=1,,则
sin sin sin a b c A B c ++++为 ( )
A.
10．在ABC Δ中，若232222
b A cos
c C cos a =+，那么其三边关系式为
（ ）
A.c b a 2=+
B. b c a 2=+
C.a c b 2=+
D. b c a 322=+
11．在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的
实数根，则该三角形是 （ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题
中横线上.
13. 在△ABC 中，若210=c ，︒=60C ，3320=
a ，则=A ． 14. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 .
15. 在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的b
a 取值范围是 ． 16. 在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线7
2AD =，那么BC = .
计算题．（本小题满分12分）
17.在ABC ∆中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -+=+-，判定ABC ∆的形状．
18. (本小题满分14分）
在△ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍 ，且三边a 、b 、c 为三个连续整数，求a 、b 、c 的值.
19. （本小题满分14分）
在△ABC 中，若22299190a b c +-=，试求tan tan (tan tan )tan A B A B C +的值．
20．在ABC Δ中，若272242
=-+A cos C B sin 。

（1）求A ；（2）若33=+=c b ,a ，求
c ,b 的值。

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