三角形星形等效变换

（a）
a
5Ω
＋ 15V －
b
（c）
[例2-13]
求如图(a) 所示电路的戴维南等效电路。
2Ω 2Ω － 3V 2I I ＋ ＋ U － 8Ω ＋ 1V － I ＋ U
－
2V
＋
－
（a）
（b）
解：戴维南等效电路除采用上例的步骤求解外,也可以通过求 解端口的伏安关系获得
设端口电压为U，产生的电流为I，由KVL得
－
U U U KI B
代入已知条件可得
20 K B 30 2 K B
I
N
U
＋
K 10 B 10
U 10 I 10
当I=3A时，有
U 10 3 10 40 A
2-4-3
戴维南和诺顿定理
一、戴维南定理
对于任意一个线性有源两端网络N，就其输出端而言， 总可以用一个电压源和电阻串联支路来等效。其中电压源的 电压等于该网络输出端的开路电压Uoc，电阻RO为该网络所有 的独立源为零时，从输出端看进去的等效电阻。
a UOC N b M － RO
＋
a
M
b
a
＋ UOC NO
a RO b
N
b
－
[例2-12]
求图(a )所示电路的戴维南等效电路
2A 20V － a ＋ 10Ω 10Ω － b 10V － ＋ 10Ω 10Ω I ＋ a
10V
b
（a）
（b）
解：（1）求开路电压UOC 图(a)可等效为图(b)。根据KVL可得
（b）
US ＋ ＋ N － －
当 U S 4V I S 10 A时，有
1 1 U2 IS US 2 2
U 2
1 1 U 2 10 4 7V 2 2
（c）
2-4-2 置换定理（替代定理）
置换定理：
在任何集中参数电路中，若已知某条支路K的电流为IK， 电压为UK，则这条支路可以用一个电压为UK的电压源来置换； 也可以用一个电流为IK的电流源来置换。在置换前后电路中各 支路电压和电流均保持不变。
U 13 R1 I 1 R3 ( I 1 I 2 ) ( R1 R3 ) I 1 R3 I 2 U 23 R2 I 2 R3 ( I 1 I 2 ) R3 I 1 ( R2 R3 ) I 2
设流过R12的电流为I12，则对Δ型网络的回路可列写KVL方程为
a
R2
R3
3 R4 2 R5
1
b
小结全课：1、 Y型和△型电阻电路定义 2、如何实现等效变换 作业：P49 5-12
[例2-7]
如图（a）所示电路，用叠加定理求I 和U。
I 1Ω 1Ω 4A 1Ω ＋U－ 1Ω
＋
6V －
解：（1）当4A电流源单独作用时
I
1Ω 1Ω 4A ＋ 1Ω
（a）
10 I 20 10 I 10 0
I 1.5 A
U OC 1.5 10 15V
( 2 ) 求等效电阻Ro 将两端网络中所有电源置零， 即图(a)中2A电流源开路，10V电压 源短路
＋ 10V
2A
a 10Ω 10Ω
－
b
RO 10 //10 5
所以所求戴维南等效电路如图(c)所示
（3）当两电源共同作用时
I I I 2 (3) 1A U U U (2) (3) 5V
[例2-8]
电路如图(a)所示，运用叠加定理求电流I。
I 2Ω 3Ω 3A 1Ω ＋ 2I －
解：该电路包含一个受控源，受 控源不能像独立源一样进行叠加， ＋ 应和电阻一样，始终保留在电路 10V － 中。 （1）10V电压源单独作用时
U －
I
1 4 2A 11
U ( I 4) 1 2V
（b）
(2) 当6V电压源单独作用时
I 1Ω 1Ω ＋U－ 1Ω ＋ 6V － 1Ω
I 1Ω
＋ U－ 1Ω ＋ 6V －
1Ω
4A
（a）
I
6 3A 11
（c）
U (3) 1 3V
使用时注意的问题：
（1）替代定理既适合线性电路，也适合非线性电路；
（2）被替代电路电流或电压必须是已知的；
（3）在替代前后，除被替代的支路以外，电路的结构，参数 均不能改变，因为一旦改变，被替代的支路电流、电压也会发 生变化。
[例2-10] 电阻Ｒ。
4Ω
在图（ａ）所示电路中，已知Ｕ ＝９Ｖ．求
6Ω
U a 18 U a U a 9 0 4 12 6
＋
9V
U a 12V
U a 9 12 9 I 0.5A 6 6
4Ω ＋ 18V －
（b）
6Ω I ＋ 12Ω R U －
U 9 R 18 I 0.5
（a）
[例2-11] 电路如图(a) 所示，当改变电阻 R 时，电路中各处 的电压、电流均会发生变化。已知I=1A时， U=20V；I=2A时， U=30V；求当I=3A时，U=？
所以当S1打开,S2闭合时
U OC1 U OC 2 80 12 I A 20 RO 40 7 40 3
(2) 当US = 0，则UOC1 = 0，当S1、S2都打开时，有
R1 R2 R1 R1 R2 R3
R2 R3 R2 R1 R2 R3
R3
R1 R3 R1 R2 R3
R1
Rab R1 ( R3 R4 ) //(R2 R5 )
( R3 R4 )( R2 R5 ) R1 R2 R3 R4 R5
（1）当S1、S2都打开时
S1
I
U OC1 U OC 2 I 1.2A RO 20 40
当S1闭合,S2打开时
＋
UOC1 － ＋ UOC2 － Ro
a
40Ω 20Ω S2
U OC1 U OC 2 I 3A Ro 20
b
（b）
20 RO 3 U OC1 U OC 2 80V
i2
i3 u23
R23
+
–
+
– 3
u23Y i3 =i3Y ,
i1 =i1Y ,
u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
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Y型和△型电阻电路分析
1
I1 R 1
R2 I 2 R3
2
1
I1
I12 R12
R13
I2 R23
2
3
3
由Y型电阻电路可得
1
1 R1
R31
R12
R2 2
R3 3
R23
2
3
端子：为了方便导线连接而应用的。
如何实现等效变换？
—Y 变换的等效条件 + 1 i1 – u12 u31 R
12
+ i1Y u12Y R2 i2Y 2 + i2 =i2Y ,
1
– u31Y R3 i3Y – 3
R31
R1
– 2+
等效条件：
解：本题可用戴维南定理和叠加定理求解。自a、b端向左看 进去的戴维南等效电路如图(b)所示，
S1 S1 I ＋ a N b 40Ω 20Ω S2 UOC1 － ＋ UOC2 － Ro a
I
＋ US －
40Ω 20Ω
S2
b
（a）
（b）
图中UOC1为US单独作用时的开路电压分量,UOC2为N内独立源作用 时的开路电压分量，RO为a、b端的戴维南等效电阻。
二、若要两者等效，则其电阻的关系
从Δ型 Y型 从Y 型 Δ型
R12 R13 R1 R12 R23 R13 R12 R23 R2 R12 R23 R13 R23 R13 R3 R R R 12 23 13
R1 R2 R2 R3 R1 R3 R12 R3 R1 R2 R2 R3 R1 R3 R23 R1 R1 R2 R2 R3 R1 R 3 R13 R2
I ＋ ＋
4Ω
a
6Ω
I ＋
＋
18V － 12Ω R
U －
18V －
12Ω －
9V
（a）
（b）
解：若要求电阻R，必须已知电阻R上的电压和电流。因为U已 知，所以本题的关键是求解电流I。为求电流I的方便，可用 替代定理将R替换为9V电压源，如图(b)所示。
设a点的电位为Ua，则根据ＫＣＬ可得
4Ω a 6Ω I ＋ 18V － 12Ω －
U 3 2I 2( I 2I ) 2
8I 1
[例2-14] 在图（a）所示的电路中，N为线性含独立源的电阻 电路。 （1）已知当开关S1、S2均打开时，电流I为1.2A；当S1闭合，S2 打开时，电流I为为3A。问当S1打开，S2闭合的情况下， I为多 少？ （2）若已知US=0，在S1，S2均打开的情况下，I为1A，求S1闭 合，S2打开时的I为多少？
R12 I12 ( I12 I 2 ) R23 ( I12 I1 ) R13 0
由上式可求得
1
I1
I12 R12 R13
I2 R23
2
R13 I1 R 23 I 2 I12 R12 R23 R13
3
R13 ( R12 R23 ) R23 R13 U 13 ( I1 I12 ) R13 I1 I2 R12 R23 R13 R12 R23 R13 R23 R13 R23 ( R12 R13 ) U 23 ( I 2 I12 ) R23 I1 I2 R12 R23 R13 R12 R23 R13
U 2 K1 I S
U 2 K 2U S
U 2 U 2 U 2 K1 I S K 2U S
＋ IS N
－
U2
将已知条件代入上式，可得：
K 1 K 2 1 2 K 1 10 K 2 6
K1 K 2 1 2 1 2
Y型电阻两两相乘之和 型端钮n两电阻的乘积 Rij Δ型 Y型Rn= 接在与Rij 相对端子的Y型电阻 型三电阻之和
例题分析：[例2-5]
R2 a Rab b 1 R1 3 R4
求图示电路的等效电阻Rab。
R1
R3 2 a 1
R2
R3
3 R4 2 R5
R5 b
解：由图(a)可看出，R1、R2、R3构成一个Δ型网络，R1、R3、 R4构成一个Y型网络。无论将其中哪一个进行相应的等效变换， 均可以使原电路变换为可以用串并联方法来求解的电路
复习：复杂电路的计算方法：基尔霍夫定律
1、基尔霍夫电流定律
2、基尔霍夫电压定律
导入：电阻的等效变换
R2 a Rab b 1 R1 3 R4 R5 b R3 2 a 1
R1
R3
3
R2
2 R5
R4
第一节 电阻△型连接与Y型连接的等效变换
一、 Y型和△型电阻电路
1、定义：
都是通过三个端子与外部电路相连，因其电路外形而得名。 2、连接线路：
I 0.6A
（3）两பைடு நூலகம்源共同作用时
I I I 2 (0.6) 1.4A
叠加定理所说的每个独立源单独作用，是指当某一个独立 源单独作用时，其它的独立源应为零。 若要电压源为零，应将其短路。 若要电流源为零，应将其开路。 使用叠加定理应注意以下几点： （1）叠加定理只适用于线性网络，只能计算线性网络的 电压和电流，不能用来计算功率。 （2）受控源是非独立源，不能单独作用，应在电路中 保持不变。 （3）各个独立源产生的电压或电流分量的方向可能与原 电流或电压方向不一致，若与原方向一致，取正值；若与原 方向相反，则取负值。所以叠加是代数相加，应特别注意每 个分量的方向。
I R1 － － I N U ＋
R
IS － US ＋
R2
U ＋
（a）
（b）
解：首先将虚线框中的电路作为有源线性电阻网络N，因为R 上的电流已知，可用一个电流源I来替代，如图(b)所示。
根据电路的线性关系，设电流源 I 单独作用时，产生的响应 为 U ，N网络中的电源单独作用时，产生的响应为 U ，根据叠 加定理则有
I
＋ 10V － 2Ω 3Ω 1Ω ＋
（a）
(2 1) I 2I 10
2I
－
I 2A
（b）
(2) 3A电流源单独作用时
I ＋ 10V － 2Ω 3Ω 3A
I
1Ω
＋ 2I －
2Ω 3Ω 3A 1Ω ＋
2I
－
（a）
（c）
2I (3 I ) 1 2I 0