8.1__图与网络分析基本概念

• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
e1
a
e6 e3
e2
b
e4
这个示意图中有两个要素：
c
d
e5
1）顶点集合 V { a , b , c , d } 2）边集合 E { e1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 }
{( a , b ), ( a , c ), ( b , d ), ( b , c ), ( d , c ), ( a , d )}
1 1 2 2
, v i , e i , v i ),如果满足 e ( v , v ) ( t 1, ..., k 1) ,则称此序列 k 1 k 1 k i i i
t t t 1
为连接v i 与v i 的一条链,记作 ( v i , v i , v i ),链长为k.
1 k
1 2 k
(V , E ).
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4
• 网络 (Network): 也称赋权图(Weight Gragh)
图的每条边上具有表示一定实际含义的权重 w ij .
e7
v1
v1
e6 v3 e5
e1
v2
v2
5 7.5 5.5 4
3
e2
e3
v5
2
e4
v4
v5
v3
3.5
v4
5
2、有向图和无向图
• 边都没有方向的图称为无向图，用 G 在无向图中,有( v i , v j ) ( v j , v i ). • 边都有方向的图称为有向图，用 D
(V , A ) 表示. (V , E ) 表示.
在有向图中,有向边又称为弧,用 a i 或 ( v i , v j ) 表示.
这里i , j 的次序是不能颠倒的,在图中弧的方向用箭头标示. • 从有向图中 D
(V , A )去掉所有弧上的箭头,就成为无向
图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
(6)T 中任意两点, 有唯一链连接.
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二、图的生成树
• 若图 例
(G1) (G2)
G (V , E ) 的生成子图 T (V , E ).为一棵树,则称
T为G的生成树（支撑树）.
(G) (G3) (G4)
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二、图的生成树
定理 图 G
(V , E )
有生成树的充分必要条件为G 是连通图.
v1 v2
5.5 5 7.5 4 2
3
v5
v3
3.5
v4
无向网络的权矩阵必为对称阵.
19
2、邻接矩阵
• 对于无向图G
(V , E ) ,
1, b ij 0,
构造矩阵 B
其他
( bij ) n n,其中
(vi , v j ) E
则称矩阵B为图G的邻接矩阵. • 对于有向图 D
按照边的选法,找图中生成树的方法:
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v V1
每条边都被算了两次.因此顶点次数之和是边数的两倍.
d (v )
v V 2
d (v ) d (v ) 2 m.
v V
11
3、端点、关联边、相邻、次
• 在有向图中,以 v i 为起点的弧的数目称为点 v i 的出次,
记作 d ( v i ) ； v i 为终点的弧的数目称为点 v i 的入次， 以 记作 d ( v i ). 点v i 的入次和出次之和即为该点的次.
w ij , b ij 0,
(vi , v j ) E 其他
则称矩阵B为图G的权矩阵.
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图G的权矩阵为
0 5 B 7 .5 4 3 5 0 5 .5 0 0 7 .5 5 .5 0 3 .5 0 4 0 3 .5 0 2 3 0 0 2 0
(A)
(B)
(C)
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一、树的概念与性质
定理 图
T (V , E )中,| V | n , | E | m ,
则下列命题等价：
(1)T是一个树； (2)T 无圈,且 m n 1; (3)T 连通,且 m n 1; (4)T 无圈,但每加一条新边,即得唯一一个圈. (5)T 连通,但任删去一边则不连通.
第八章
图与网络分析
图与网络的基本知识
最小生成树问题
最短路问题 网络最大流问题 最小费用流问题
1
第一节
A C B
图与网络的基本知识
A D C B D
图论起源——哥尼斯堡七桥难题
一个散步者能否从任一块陆地出发,一次连续走过 问题：
七座桥且每座桥只走过一次,最后回到出发点？
2
一、图与网络的基本概念
引例1：如果有a, b, c, d四个人，这四个人之间存 在着亲戚关系，若两人之间有亲戚关系则用一条线将两 人连接起来，若用小圆圈表示人，则可表示为：
3
一、图与网络的基本概念 1、图与网络
• 顶点 (Vertex): ——物理实体、事物、概念 一般用v i 表示. • 边 (Edge): ——顶点间的连线,表示有关系. 一般用e i 或 ( v i , v j ) 表示. • 图 (Gragh): ——顶点和边的集合,记作 G 顶点集 V
{ v i } ; 边集 E { e i } { ( v i , v j )} ;
(V , A ),
构造矩阵 B
( bij ) n n,其中
1, 当 有 弧 从 v i 指 向 v j b ij 其他 0,
则称矩阵B为图D的邻接矩阵.
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第二节
树与最小生成树
一、树的概念与性质
• 树图：倒置的树,根在上,叶在下.
C1 根 树图是图论中结构最简单的但又十分重要的的图.
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
7
3、端点、关联边、相邻、次 • 图中可以只有顶点,而没有边,但有边必有顶点.
• 若顶点 v i , v j之间有一条边 e i , 则称 v i , v j 是 e i 的端点,
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
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3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
1 1 k 1 k
它的前后两个相邻顶点,即a i ( v i , v i
k k
k
1
),则称此链为连接
v i 与 v i 的一条道路,若 v i v i ,则称为回路.
k
1 k
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5、连通图、连通分图、子图
• 图中任意两点间至少存在一条链的图为连通图,否则称 为不连通图.
G2 为连通图， G1为不连通图. G1 G2
它在自然科学和社会科学的许多领域有着广泛的应用. C2 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类
C3
学、组织结构等都是典型的树图.
C4
叶
25
一、树的概念与性质
• 一个无圈的连通无向图称为树,记作T
(V , E ).
树中次为1的点称为树叶,次大于1的店称为分支点. 例 判断下面图形哪个是树：
10
定理1 在任何图中,所有顶点的次数总和等于边数的两倍, 即
d ( v ) 2 m.
v V
这是因为每条边必与两个顶点关联,在计算顶点的次时, 定理2 任何图中,次为奇数的顶点必为偶数个. 证明： 设 V 1 和 V 2 分别是图G中奇点和偶点的集合,
(V1 V 2 V ), 由定理1可知
v5 v5 v4 v2
G1
G2为G1的支撑子图.
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生成子图（支撑子图）.
v1 v3 v1 v2
v4 v3
G2
二、图的矩阵表示
图的矩阵表示有多种：权矩阵、邻接矩阵、关联矩阵、 回路矩阵、割集矩阵等.
1、权矩阵
• 设有网络（赋权图）G 构造矩阵 B
( bij ) n n,其中
(V , E ) ,其边 ( v i , v j ) 上有权 w ij ,
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
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4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
d ( vi ) d ( vi ) d (vi )


所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和.
v i V

d ( vi ) d (vi )
v i V
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4、链、圈、路、回路
• 在图 G (V , E ) 中,一个点边的交替序列 ( v i , e i , v i , e i ....
1 1 k 1 k
是G的一条链,将其中的边替换成相应的弧,所得的序列
( v i , a i , ...., a i , v i ) 称为有向图D的一条链.若 v i v i 1 1 k 1 k
1 k
,则称
之为圈. 有向图中定义链(圈）时,对弧的方向不做要求. 若链 ( v i , a i , ...., a i , v i ) 中,每条弧的起始点恰好分别是