圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

42

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +-> 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

y y

x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k

--+++=+++， 整理得：2

2

71640m mk k ++=，解得：1

222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线

交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b

a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=∙BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=∙BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆类型题训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。 练习3：过122

2=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=∙AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

π

α

β+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分

线, 证明直线l 过定点.

练习6：已知点()()1,0,1,0,B

C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦

AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线

DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）

）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l

交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为

2

5

，求向量OM 与的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M ),,4

(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线，

(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅α

.5sin ||||,2

5

=⋅⋅∴=

∆αS ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q ),,4

(323

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 即.(*)04)(43232=+++y y y y 即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆2

2

2

r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2

00r y y y x =+”，类比也有结

论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点

>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：14

22

=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；

（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

4(

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴

13

311=+ty x ① 同理可得13322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13

3

ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

第22题