材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算

d 2
W 令
p Ip
d 2
M max
n
Wp
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面
mm3或m3 模量）
对于实心圆截面：
Wp I p R D3 16 0.2D3
对于空心圆截面：
Wp I p R D3(1 4) 16
0.2D3 (1 - 4 )
5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
5.2.1 圆轴扭转时的强度计算 5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算 5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
第5章 扭转杆件的强度和刚度计算 5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算 5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 5.3 非圆截面杆的自由扭转简介
5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算
一、描述变形的指标 二、薄壁圆筒的扭转 三、等直圆杆扭转的应力
返 回
一、描述变形的指标
*扭转角（）：
任意两截面绕轴线转动的相对角位移。
3
(1 4)
W p 16
3.14 903
16
(1
0.9444)
29400
3
M
W m a x
max p
1500 29400 109
（2）强度相同
M 51MPa
max
Wp
D 16M
3
1 [ ]
3
16 1500 3.14 51 106
53.1mm
（3）比较重量
Q A A 空 Q A A 实
Mn Mn
2 r02 t 2A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
3、剪应力互等定理
a b´
mz 0
d
y
c´
zd
dt
t dxdy t dxdy
x
纯剪切应力状态
4、剪切虎克定律：
= M n m
G
* 重要关系
剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比γ是
表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材 料：
15.4转/秒的电动机解转：子①轴作，扭矩
[]=30Mm Pa, 试m 校核图其，强确度定。危
A DB D D C 3
=1352=751=70
M
险截m 面N 103
n BC
2n
150 103
(N m)
Mn 2 3.14 15.4
m 1.55(kN m)
② x M max
n
Wt
1.55103
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ③所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。
*微小矩形单元体：
①无正应
力
d
②横截面上各点， y
只产生垂直于半径的
均布的剪应力 ，沿
周向大小不变
a
b´
c´ d
d
x
2、薄壁圆筒剪应力：
M A dA r0 n
M r0 AdA r0 2 r0 t n
D
2
2 2 d
d
d
2
(D4 d4)
( Dd )
32
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
O
D
④ 应力分布
Mn
Mn
（实心
（空心
工截程面上）采用空心截面截构面件）：提
⑤ 确定最大剪应
M力
n
Ip
R
d 2
,
max
M M max
d
n 2
n
Ip
Ip
L
1
L
2
(
D d D d 1 4
D D 2
2 2) (
Hale Waihona Puke Baidu
2
1
2 2)
2 1
4
902 852 51.3 2
0.31
5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算
返
回
1、扭转时的变形
由公 式d M n
dx GI p
长为 l 的两截面间相对
扭转M角 为 l
d
n dx
M
l
n
0 GI p
GI p
（当M为常量时）
0.073 16
此 2轴3M满Pa足 [强 ]
无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D 90mm，
M 壁厚t 2.5mm， 1.5KNm, max
[ ] 60MPa，
(1)、校核强度
(2)、改为实心轴，强度不变，求D，并比较重量
（1） d 90 2.5 2 0.944
D
90
mm
D
*剪应变（）：
直角的改变量
返
回
* 平面假设
横截面象刚性平面一样绕 轴线转过一个角度。
二、薄壁圆筒的扭转
返
薄壁圆
t
1 10
r0
（r0：为
回
1筒、实：验壁：
平均半径）
厚
*实验前：
绘纵向线，圆周线
*实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
*结论
①各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只
是 绕轴线作了相对转动
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
3）. 静力学关系
M n A dA
A
G 2
d
dx
dA
Mn
dA O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
M d n GI p dx
d M n
dx GI p
代入物 理 G关ddx 系
M
n
Ip
* 讨论：
M
n
Ip
① 仅适用各向同性、线弹性材料，小
G
E 2(1
)
三、等直圆杆扭转的应力
返
回
1、实验观察：
横截面仍为平面； 轴向无伸缩； 纵向线变形后仍为平行。
2、横截面上的应力：
1）. 变形几何关
tg 系 ：Gd1Gx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心 的距离成正比。
。 d
dx —— 扭转角沿长度方向变化率
2）. 物理关系
虎克定律： G
返 回
5.2.1 圆轴扭转时的强度计算 返
强度
回
max [ ] ([] ：许用剪应力)
条对件于：等 M nmax [ ] Wt
*截强面度圆的三 种①轴计：算校：核
max
M nmax
Wt
[ ]
②强度设：计 M Wp
n max
[ ]
Wp
实 空： ：1DD633（116
4）
③截面求：许 M nmax Wp[ ]
G[ ]
M n max GI p[ ]
传动轴，n = 500 r /
min，输入N1 = 500 马力， 输出 N2 = 200马N力及 NN32 = N3
解：作30内0马力力图，G=80A1GPa B， C [m确 7].定02=47：Nn0(kM①N mPA)aB，段([mMnk直)N ]径5=–010ºd/1和m40–，0BC试x
2、单位长扭转角
d Mn (rad/m)
dx GIp
d Mn 180 (/m) dx GIp
3、刚度条件
max
Mn GI p
(rad/m)
max
Mn GI p
180
(/m)
4、刚度的三种计算
① 校核刚度： max
② 设计截面 ③ 求许可载荷：
M I p
n max
变形 的圆截面等直杆。
② Mn—横截面上的扭矩，由平衡方程求得。
—该点到圆心的距离
Ip—极惯性矩，纯几何量
③ Ip的计算 Ip A 2dA 单位：mm4，m4
对于实心圆截面：
I p A 2dA
d
D
2 2 2 d 0
O
D
D4 0.1D4
32
对于空心圆截面：
I p A 2dA