高中数学计数原理知识点总结及练习教案-学生(1)

教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课教师学生姓名上课日期月日学科数学年级高二教材版本人教版

类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时

学案主题选修2-3第一章《计数原理》复习课时数量第（）课时授课时段

教学目标1．明确分类和分步计数原理及应用；

2．掌握排列组合概念和计算，以及二项式定理和应用

教学重点、

难点排列组合及计数原理的应用。掌握二项式定理和应用。

教学过程

知识点复习

【知识点梳理】

计数原理基本知识点

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有

1

m种不同的方法，在第二

类办法中有

2

m种不同的方法，……，在第n类办法中有

n

m种不同的方法那么完成这件事共有12n

N m m m

=+++种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有

1

m种不同的方法，做第二步有2

m种不同的方法，……，做第n步有

n

m种不同的方法，那么完成这件事有

12n

N m m m

=⨯⨯⨯种不同的方法

3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定

．．

的顺序

．．．排成一列，叫做从

n个不同元素中取出m个元素的一个排列

．．．．

4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中

取出m元素的排列数，用符号m

n

A表示

5．排列数公式：(1)(2)(1)

m

n

A n n n n m

=---+（,,

m n N m n

*

∈≤）

6 阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1

=．

7．排列数的另一个计算公式：m

n

A=

!

()!

n

n m

-

.

8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()

m n

≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

9．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()

m n

≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的组合数

．．．．用符号

m

n

C表示．

10．组合数公式：

(1)(2)(1)

m

m n

n m

A n n n n m

C

---+

==或

!n

C m

n

=)

,

,

(n

m

N

m

n≤

∈*且

11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10

=n C ；

12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n

C 1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n

r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++

+∈，

（2）1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+.

2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4．二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外

的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m

n n C C -=）．直线2

n

r =

是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n

n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C -，12n n

C

+取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵1

(1)1n r r n n n x C x C x x +=++

++

+，

令1x =，则012

2n r n

n n n n n C C C C C =+++

++

+

［特别提醒］

1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r r

r n T C a b -+=，注意()n a b +与()n b a +虽然相同，但具

体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式

系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指r

n C ，而后者是指字母外的部分。 2．在使用通项公式1r n r r

r n T C a b -+=时，要注意：

（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.

（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同.

（3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .

排列组合

复习巩固