三角形的内角和(优质课)获奖

C、直角三角形 D、钝角或直角三角形
（2）在△ABC中，
C
A、30° C、90°
B、60° D、120°
3、在 △ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C
＝∠B+10°。求△ABC各内角的度数
解：∵∠B＝∠A+10°,∠C＝∠B+10°(已知） ∴∠C=∠A+10°+10°＝∠A+20° ∵∠ A+∠B+∠C＝180° ∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+20°）＝
（两直线平行，同位角相等）
B
∴∠A=∠AFD （两直线平行，内错角相等）
34
2
FD
GC
∵DH∥AC（已知）
∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等）
∴∠AFD=∠HDP (两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换）
∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换）
∵∠A=∠AFD ∠AFD=∠HDP ∴∠A=∠HDP（等量代换）
A
∵ ∠B=∠ACB
∴ ∠A=180°－ 2∠B=2(90°－∠B)
D
在Rt △ BCD中, ∠BCD=90°－∠B.
B
C
∴ 2∠BCD=∠A
4. 如图，在△ＡＢＣ中，AD⊥BC，垂足为D，AE是 ∠BAＣ的平分线，交BC于E（ ∠B＞ ∠C）。
（1）若∠C=45 °，∠B=65 °，求∠DAE的度数； （2）试写出∠DAE与∠B和∠C之间的关系式。
2. 锐角三角形任意两个内角的和必大于（ A ）
A . 90 ° B. 100 °
C. 110 °
D. 120°
拓展：三角形和锐角三角形最大的角的取值范围分别是？
[60 °， 180°） [60 °， 90°）
3. 如图，△ABC中，∠B=∠ACB,CD是高，求证 2∠BCD=∠A
证明: 在△ABC中, ∠A=180°－(∠B+∠ACB)
A
解：⑴∵∠C=45 °， ∠B=65 °，
∴ ∠BAC=70 °
AE是∠BAC的平分线，∴ ∠BAE=35°
∴ ∠AED=180°－65°－35° =80 ° B D E
C
∵ AD⊥BC ∴ ∠ADE=90 °，∠DAE=10 °
⑵∠DAE= 1（∠B － ∠C）
谢谢各位光临 欢迎大家指导
作品欣赏 谢谢观看！
∠ADB的度数。
C
解：由BAC 40，AD是△ABC的角平分线，得
BAD 1 BAC 1 40 20.
2
2
在△ABD中,B ADB BAD 180 C
(三角形内角和定理)
ADB 180 B BAD
180 75 20 85
北
（图中AD∥BE）
6. 如图，C 岛在 西
东
A 岛的北偏东
E
50°方向，B 岛
南
H
在 A 岛的北偏东 D
80 °方向，C 岛
在 B 岛的北偏西
C.
40 °方向。从 C
岛看 A、B 两岛
的视角∠ACB是
多少度？
西
北 80°
50°
. 30°
A
东
. F
40°北
西
东
B
南
南
D
E
D
E
. 北 80°C 40°北
北
.C 40°北
50°
. 西 A
西
30°
东
. B 南
PH∥AC;
A
∵EF∥BC (已知）
∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等） ∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等）
P E 14
Q 23 F
∵QG∥AB（已知）
D
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） B
G
H
C
∴∠A=∠DQF （两直线平行，同位角相等）
∵PH∥AC（已知）
∴∠PDQ=∠DQF (两直线平行，内错角相等）
∵∠2＋∠4＋∠HDP=180̊（平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠C=180̊
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180̊
（2）基础知识巩固训练 1、 求出下列图形中x的值：（教材P16）
x̊ x̊
39̊ 108̊
x̊
x̊
72̊
x̊
x̊
(x̊-36̊)
x̊ x̊+36̊
2. （1）如果三角形的三个内角的度数比是 2:3:4,则它是( A ) A、锐角三角形 B、钝角三角形
方法：度量、剪拼、折叠
任意画一个三角形，测量三角形的三个内 角并求和，你有什么发现？
A
B
C
三角形三个内角的和是180̊
A
1
2
B
C
已知：如图 ,△ABC.
A E
求证：∠A+∠B+∠C=180°
2
证明：作BC的延长线CD， 过点C作射线CE∥BA，
B
1
C
D
则 ∠2=∠A （两直线平行，内错角相等），
∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（1平角=180°），
∴∠A+∠B+∠ACB=180° （等量代换）。
（1）思维能力训练
①过三角形一个顶点，用构造平角将三个角 化归为平角来证明定理
那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分 小组讨论。
D
A
E
1
2
B
C
三角形的边上 三角形内部 三角形外部 归纳结论
180° ∴∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°
4、一个直角三角形最多有几个直角？ 一个三角形最多有几个钝角？
至少有几个锐角？ 请证明你的结论。
一个直角三角形最多有一个直 角，一个三角形最多有一个钝角， 至少有两个锐角。
5. 已知：在△ABC中， ∠BAC=40°，
∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求
∴∠DFC=∠3 (两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠3 (等量代换）
B
E F
3
2
1
D
C
∵∠1＋∠2＋∠3=180̊（平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠C=180̊
③这个点能否为三角形内部任意一点。
A
P E 14
Q 23 F
D
B
G
H
C
已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊
证明：在△ABC内部任取一点D，过点D做直线EF∥BC, GQ∥AB;
D
A
E
1
2
已知：如图 ,△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180° B
C
证明：过点A作射线DE∥BC， 则 ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）， ∠1=∠B （两直线平行，内错角相等）。 ∵∠1+∠2+∠BAC=180°（1平角=180°）， ∴∠A+∠B+∠BAC=180° （等量代换）。
②这个点在三角形的边上如何？
∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换）
∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换）
∵∠A=∠DQF ∠PDQ=∠DQF ∴∠A=∠PDQ（等量代换）
∵∠2＋∠4＋∠PDQ=180（̊ 平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠C=180̊
④如果这个点运动到三角形的外部呢？
东 西
50°
.
A
西 东
.东 B 南
西
南
E
D
H
北
.C 40°北
50°
.
A
西 东
. B 南
东西
南
D
E
北
.C 40° 北
50° F
.
A
西 东
. B 南
南
东
南
(3）能力提高训练
1. 在△ABC中，如果∠A=∠B－∠C,那么这个三角形是（ B）
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A . 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
A
H
P
E1 B
3
4
2
FD
GC
已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊
证明：在△ABC外部任取一点D，过点D做直线DE∥BC, DG∥AB;
DE∥BC; ∵EF∥BC (已知）
AH
P
∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等）
∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等） E 1
∵DG∥AB（已知）
∴∠1=∠2
三角形的内角和
数
学
同学们，你们知道“三角形 内角和等于180度”这个结论
史 最早是谁提出的吗？
话
帕斯 卡： （1623 — 1662） 法国著 名的数 学家
实验操作，探究新知
问题1 在小学我们已经知道任意一个 三角形三个内角的和等于180°，你还记 得是怎么发现这个结论的吗？请大家利 用手中的三角形纸片进行探究．
A
E F
3
2
1
B
D
C
已知：△ABC
求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊
证明：在△ABC边上任取一点D，过点D做直线DF∥AB, DE∥AC;
∵AB∥DF (已知）
∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等）
A
∴∠A=∠DFC （两直线平行，同位角相等）
∵DE∥AC（已知）
∴∠C=∠2 （两直线平行，同位角相等）