平面向量的加法教学案

向量的加法

授课人：王勇

【教学目标】

1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；

2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量； 3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

【教学重、难点】1．向量加法的运算及其几何意义； 2．向量加法法则定义的理解。

【课前复习】

向量的定义:______________________________________________ 向量的表示：_____________________________________________ 零向量：_________________________________________________ 单位向量：_______________________________________________ 相等向量__________________________________________________ 相反向量：________________________________________________ 共线向量：________________________________________________

【问题情境】

问题1: 图1某人从A 地经B 地到C 地，两次位移BC AB ，的结果与从A 地直接到C 地的位移C A

，有什么关系？用式子表示出来。

问题2: 图2（1）表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC 的方向伸长了EO 长度；图2(2)表示撤去F 1和F 2,用一个力F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度. F 与力F 1、F 2有怎样的关系呢? 由图2(3)发现,力F 在以F 1、F 2为邻边的平行四边形的什么位置？,并且大小等于哪段长？.

结论：位移和力可以看成向量。从物理的角度，力F 和位移A C

都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位

移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。

思考:怎么定义任意二个向量的和呢？

1. 向量加法的定义： 已知向量

a

，

b

，在平面内任取一点A ，作

,A B a B C b == ，则向量AC 叫做 ．记作a b

+

，

即 ．求两向量和的运算，叫向量的加法． 2.向量加法的两个运算法则：

A

B

C

（1）三角形法则（两个向量“首尾”相接）：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形

法则。表示：AB BC AC +=

．

注意：① 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的 为起点，则由第一向量的 指向第二个

向量的 的向量即为和向量。

② 三角形法则对于两个向量共线时适用吗？ ③ 两个向量的和向量还是向量吗？

④ 三角形法则可以推广到n 个向量相加的情况成立吗？ AB BC CD DE +++= , .（注意字母必须首尾顺次连接首尾。） （2）平行四边形法则：以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b

为 邻边作平行四边形OABC

，则以 为起点的 就是a 与b

的和，这种求向量和的方法称为向量加法的 . 注意：① 从两个向量的公共始点出发作和向量．即三个向量都共起点.

② 力的合成可以看成是向量加法的平行四边形法则的物理模型

3.提出问题

①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ ②两共线向量求和时,用什么法则较为合适？

当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？

③思考|a +b |,|a |,|b |存在着怎样的关系？

④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?

4．向量的运算律：向量的加法既然是一种运算，它应该具有一些运算律？请同学们类比实数加法运算律，猜测一下是什么？并验证.

交换律：． 结合律： ．

【一试身手】

练习1：如图：已知向量,a b

，用向量加法的三角形法则作出a b +

a

a

练习2:如图：已知向量,a b

，用向量加法的平行四边形法则作出a b +

b

AB BC CA ++=

图6 b

练习3:如图：当向量,a b

共线时，如何做出作出a b +

【例题分析】

例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图，一艘船从南岸A

点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为向东2/km h ，

（1）适用向量表示，江水速度，船速以及船实际航行的速度。 （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与水流速间的夹角表示）。

变式训练：船在静水中的速度为6/m s ，水流的速度为3/m s 则它必须朝哪个方向开，

才能保证船沿水流的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？

1(2)(3)O ABCDEF OA OC BC FE OA FE +++ 例1：已知为正六边形的中心，作出下列向量

（）

【目标检测】

1在平行四边形ABCD 中，=AB a ，AD b = 则用a 、b

表示向量DB AC +=

2化简： 3.根据图示填空：

4. 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，

则飞行的路程为 ；两次位移的和的方向为

大小为 千米． 【课堂小结】将学习本节课的收获写到下边 1. 2. 3. 4.

良辰美景惜时如金敢与金鸡争晨晖，

书山学海甘之若饴誓同峨眉共比高。

a b

d

A B

C

E c

f e

g D

()()

(2)________

M A BN AC C B +++=

(1)________

AB C D BC ++= ()(3)________

AB BD C A D C +++=

(1) (2) (3) (4) a b c d a b d c d e +=+=++=++=