第五章 质点和刚体运动学基础

点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时 间的一阶导数。
3.点的加速度
v vxi vy j vzk
a

dv dt

d 2r dt 2
a dv d 2r d 2 x i d 2 y j d 2 z k dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
a axi ay j azk
消去参数t
f x, y 0
2.点的速度
r xi yj zk
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
vx vy vz

dx
dt dy
dt dz
dt

x

y


z

v vx2 vy2 vz2
x = f1(t)=x(t)
y = f2(t)=y(t)
z = f3(t)=z(t)
2)点的轨迹方程
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) 消去参数t z f3 (t) z(t
f (x, y, z) 0
平面运动时
x

y

f1 t f2 t
教学重点
点的运动的矢量表示法以及在不同坐标系下的表示 形式；
刚体的定轴转动规律； 点的速度合成定理； 刚体平面运动速度分析方法。
教学难点
点的运动方程、轨迹、速度和加速度的求解； 刚体定轴转动的描述规律； 速度合成定理的应用； 基点法、速度投影定理和瞬时速度中心法分析刚体
2. 点的速度矢量a
速度矢端曲线——将各不同瞬时的速度平行移动到同一出 发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点。此曲线称 为速度矢端曲线，简称速度端图。
t时间内的平均加速度
a* v t
t＋△ t 瞬时:速度 v(t ＋ △ t ) 或v(t)＋ △ v(t)
△ t 时间间隔内速度的改变量 △ v＝ v (t ＋ △ t )－ v(t)
运动方程

y

y t
牵连运动 运动方程
xO xO t

yO

yO t
(t)
坐标变换关系
x y

xO yO

x cos x sin


y y
sin cos

例5-5 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周以速
称为刚体的角坐标，决定了平面 图形的面积。
2.转动刚体的角位移、角速度和角加速度
1）角位移 d
dt时间转角的增量d称为角位移。
2） 角速度
d
dt
3）角加速度


d
dt

d 2
dt 2

3.转动刚体上各点的运动
v s R R
a
（2） 相对运动方程
x OM cost bsin t cost b sin 2t
2
y OM sin t b sin 2 t b (1 cos 2t)
2
（3） 相对运动轨迹
x2


第五章 质点和刚体的 运动学基础
第一节 点的运动 第二节 刚体的运动 第三节 点的合成运动 第四节 刚体的平面运动
教学目的和要求
本章主要讲述质点和刚体运动学的基础知识。学习 时要明确点的运动在不同坐标系下有不同的表示方 式，重点掌握描述点的运动的矢量表示法。掌握运 动合成和分解的基本概念和方法，能应用速度和加 速度合成定理分析解决具体的运动学问题。了解刚 体运动的类型和描述方式，能够应用刚体的平面运 动方程解决具体的刚体运动问题。
a
an
23o54
第二节 刚体的运动
一、刚体的平动
平动——刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其 初始位置保持平行。这种运动称为平动。
二、刚体定轴转动
刚体定轴转动——刚体在运动过程中，其上有且只有一 条直线始终固定不动时，称刚体绕定轴转动。该固定直 线称为轴线或转轴。
1.转动方程
f (t) (t)
又点M的切向加速度为
at

v

r 2
cos t
2
则有
an
a2
at2

r2 sin t
2
例5-3 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速 运动。如初速度为0，经过2min，速度到达54km/h。 求列车起点和末点的加速度。
解 列车作曲线匀加速运动，取弧坐标如上图。
由 at 常数, v0 0 有 v att
度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系Ox' y'相对于
定系Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图所 示。初始时Oxy与Oxy 重合，点M与O重合。
求点M的绝对运动方程。
解 分析 (1) 动点 M
动系 Oxy
(2) 相对运动方程
x OO1 O1M cos y O1M sin
a 0
a an
R 2

d 2n2
2 30 2
2n2d
1800
第三节 点的合成运动
坐标系： 定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系， 称为定坐标系，简称定系。一般将定系固连 在地球上。 动坐标系：把固定于相对于地面运动物体上 的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如 在行驶的汽车建立的坐标系。
一、相对运动、牵连运动和绝对运动 1.绝对运动、相对运动和牵连运动的概念
绝对运动：动点相对于定系的运动。 点的运动
相对运动：动点相对于动系的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动。
刚体的运动
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa 。
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar 。
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动
x(t T ) xt
f 1 频率 T
三、动点速度和加速度的自然坐标表示法 1.弧坐标形式的运动方程
如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程可用点在已 知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
轨迹的运动方程 s f (t) s(t)
点在 t 瞬时的加速度：
a lim v d v v t0 t dt
或 a d 2 r r dt 2
二、 动点速度和加速度的直角坐标表示法
1.点的运动方程和轨迹方程
1)运动方程式
r xi yj zk
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：
的平面运动。
运动学所研究的内容：
(1) 建立物体的运动方程； (2) 分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等； (3) 研究物体运动的分解与合成规律。
第一节 点的运动
几个基本概念
1.参考系、瞬时、时间间隔。 2. 运动方程 ：点的位置随时间的变化规律。 3.速度:描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 4.加速度 :描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量。

r 1
cos
vt r
sin
t

r
sin
vt r
cos t
例5-6 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M沿
水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，
刀尖的运动方程为
x bsin。工t件以等角速
度 逆时针方向转动。
求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
解 （1） 动点M, 动系工件 oxy
代入
vt
r
M点的相对运动方程：
x

r1

cos
vt r


y

r sin
vt r
(3) 绝对运动方程
x

x cos

y sin


r 1
cos
vt r
cost


r
sin
vt r
sin
t


y

x sin


y cos
zM
v
M´
t 瞬时: 矢径 r(t)
t＋t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t ) 或r(t)＋r(t)
Δr
t 时间间隔内矢径的改变量
r(t) r(t Δt) r(t)
r＝ r (t ＋ t)－ r(t)
y
x
t时间内的平均速度
点在 t 瞬时的速度
v r t
v lim r d r t0 t dt

dv dt
R
an

v2


v2 R
R 2
a a ann R R 2n
例5-4 直径为d的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮 缘上各点速度和加速度。
解 根据题意 v R
将 Rd 2
n
30
代入得
v nd
60
由于轮子作匀速转动，所以 0
一、 点的空间运动的矢量表示法
运动方程－变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t
的位置矢量r(t)表示。 r(t)简称为位矢。
zM
M´
r = r (t)
r r´ r M
动点M运动过程中，矢径r 末端在空间描绘出一条连续
曲线，即为点M的运动轨迹， y 亦称矢端曲线（或称矢径端
图）。 x
1. 点的速度矢量v
2. 自然轴系
b n
3. 点的速度
r
v lim
t0 t
（1）速度的大小
由 v lim r lim s ds t0 t t0 t dt
得速度的大小为 v ds
dt
（2）速度的方向
ds 0 v 与 同向，点沿轨迹正向运动。
dt
v ds 0
例5-2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称
为纯滚动），设轮子转角 t(为常值），如图所
示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的 运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速
度。
解 M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1M sin rt sin t y O1C O1M cos r1 cost
vx x r 1 cost , vy y r sint
v
vx2

v
2 y

r
2(1 cos t) 2r sin t （0 t 2 )
2
ax x r2 sint , ay y r2 cost
a ax2 ay2 r 2
为一常数。已知动杆上A、B两点间距离为b。
求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解 A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程为
xA b r sin b r sin( t )
xB r sin r sin( t )
B点的速度和加速度
vB xB r cost
at

v t
15m s 120s
=
0.125m
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2
② t 2min 120s
an
ห้องสมุดไป่ตู้
v2 R

(15m s)2 800m
=
0.281m
s2
a
an
a
a at2 an2 0.308m s2
tan a 0.443
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae 。
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固定在动坐标系上，而随着动坐标系一 起运动时该点叫牵连点。
2.运动方程及坐标变换
绝对运动 x xt
运动方程

y

yt

相对运动 x xt
dt
v ds v
与 反向，点沿轨迹负向运动。
dt
4. 点的加速度
a dv d v dv v d
dt dt
dt dt
a

dv
dt
v2
an n
a a an
a a 2 an 2
a v 0 点作加速运动，a 与 v 同向 a v 0 点作减速运动，a 与 v 反向
ax ay az

d2x
dt 2 d2y
dt 2 d2z
dt 2

x
y
z
a ax2 ay2 az2
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
例5-1 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，
它与水平线间的夹角为 t 其 中, 为t= 0时的夹角，