高中函数典型例题

§1.2.1 函数的概念

¤知识要点：

1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=()

f x，x A

∈．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}

f x x A

∈叫值域.

2. 设a、b是两个实数，且a

a b， {x|a

a b，都叫半开半闭区间.

符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)

x x a a

>=+∞，{|}[,)

x x a a

≥=+∞，{|}(,)

x x b b

<=-∞，{|}(,]

x x b b

≤=-∞，(,)

R=-∞+∞.

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域：（1）1

21

y

x

=

+-

；（2

）y=.

解：（1）由210

x+-≠，解得1

x≠-且3

x≠-，

所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)

-∞----+∞.

（2

）由30

20

x-≥

⎧⎪

≠

，解得3

x≥且9

x≠，

所以原函数定义域为[3,9)(9,)

+∞.

【例2】已知函数1(

1

x

f x

x

-

=

+

. 求：（1）(2)

f的值；（2）()

f x的表达式

解：（1）由12

1

x

x

-

=

+

，解得1

3

x=-，所以1

(2)

3

f=-.

（2）设1

1

x

t

x

-

=

+

，解得1

1

t

x

t

-

=

+

，所以1

()

1

t

f t

t

-

=

+

，即1

()

1

x

f x

x

-

=

+

.

点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.

【例3】已知函数2

2

(),

1

x

f x x R

x

=∈

+

.（1）求1

()(

f x f

x

+的值；（2）计算：

111

(1)(2)(3)(4)()(()

234

f f f f f f f

++++++.

解：（1）由222

2

2222

2

1

111

()(1

1

1111

1

x x x

x

f x f

x x x x x

x

+

+=+=+==

++++

+

.

（2）原式11117

(1)((2)(((3)(((4)(3

23422

f f f f f f f

=++++++=+=

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答

后一问的关键.

§1.2.2 函数的表示法

¤知识要点：

1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.

2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.

3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.

判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.

又由20a x >－，解得2

a x <.

所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2

a x x <<.

【例2】已知f (x )=

333

3

22x x x x

-⎧++⎪⎨+⎪⎩

(,1)(1,)

x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]

的值.

解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，

∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12

=52

，即f [f (0)]=52

.

【例3】画出下列函数的图象：

（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.

解：（1）由绝对值的概念，有2,2

|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨

-<⎩

.

所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.

（2）33,1

|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩

，

所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.