平面解析几何直线部分基本题型及转化方法.doc

平面解析几何直线部分基本题型及其转化方法

新疆奎屯市一中高级教师 王新敞(833200)

在高中数学学习中，有些同学很认真、很刻苦，感觉到对所学习的基本概念已经理解、基本公式已经熟记，平时也做了许多训练题，但是在考试做题时却力不从心，甚至无从下手,考试成绩不理想，与所付出的心血并不成正比。为什么呢？这是许多教育工作者探究的一个重要课题。通过我多年来的教育实践和观察，这些同学普遍存在：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是知道老师归纳过的一些题型解法，但不会进行转化。也就是说，缺乏自我总结、归纳基本题型的意识和能力，对老师归纳过的一些题型解法，没有认真的理解、消化使其成为自己的知识和技能。本文仅介绍平面解析几何直线部分的一些基本题型及其转化方法如下：

1.关于求点P 分有向线段2

1

P

P 所成的比λ值的问题

一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线上找到分点P 的位置，并确定λ的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系计算出21PP P P =λ的值；如果知

道三点的横坐标或者纵坐标，用y

y y y x

x x x PP P P --=--=

=

2121

2

1λ公

式，只要根据三点坐标计算出λ=

x

x x x --21或者λ=y

y y y --21的

值。

例如A 、B 、C 三点共线，点C 分AB

所成的比是

-3，求B 分

AC

所成的比。

分析：根据λ值的分布规律如图（一）

图(一)

由λ= -3知，点C 在AB 的延长线上，且BC

AB 2=，所以

点B 分

AC

所成的比λ

=

BC

AB = 2.

2.关于判断或证明平面内三点共线问题的一般方法： (1)用y

y y y x x x x PP P P --=--==21212

1λ公式。只要根据三点坐标分别

计算出

x

x x x --21和y

y y y --21的值，若相等则共线，否则不共线；

(2)用距离公式。根据三点坐标分别计算每两点之距，若最大的距离等于另两个较小距离之和则这三点共线，否则不共线；

(3)用斜率公式。分别计算一个点与另两个点连线的斜率，若两斜率相等或者两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线；

(4)用直线方程。计算经过其中两个点的直线方程，再判断另一个点的坐标是否满足该直线方程，若满足则这三点共线，否则不共线。 3.求一点P 0(x 0,y 0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。

(1) 直线

Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、

0)

x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P 1(y 0,x 0)、P 2(-y 0,-x 0)、P 3(x 0,-y 0)、P 4(-x 0,y 0)、P 5(2a-x 0,y 0)、P 6(x 0,2b-y 0)。

(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P 1的坐标为(x 1，y 1)，则PP 1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP 1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x 1、y 1的一个二元一次方程组，从而可以解出x 1、y 1。 (3)公式法. 设P 1的坐标为(x 1，y 1)，由公式

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++-

=+++-=220001220001

)

(2)(2B A C By Ax B y y B

A C By Ax A x x

求出x 1、y 1的值。

4.求一直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程。

(1) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程分别为A 1x-B 1y+C 1=0、-A 1x+B 1y+C 1=0、A 1y+B 1x+C 1=0、-A 1y-B 1x+C 1=0。

(2) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为一般直线时:

1>直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。

2>若直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0相交于一A 点时,利用到角公式就可以求得直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。

5.求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A 1x+B 1y+C 1=0中的x 换为2x 0-x 、y 换为2y 0-y ，即可求出要求直线的方程。

6.已知一直线l

被两条已知直线1l ：A 1x+B 1y+C 1=0、

2

l ：A 2x+B 2y+C 2=0所截得的线段中点P 的坐标为

（x 0,y 0），求这条直线的方程如图（二）所示。 解法一：设直线

l

与直

线1l 相交于A(x 1,y 1), 因为P(x 0,y 0)是线段AB 的中点，所以直线l

与直线2l 的交点B 的坐标为(2x 0- x 1, 2y 0 -y 1).将

点A(x 1,y 1)、交点B(2x 0- x 1, 2y 0 -y 1) 的坐标分别代入直线

1

l ：A 1x+B 1y+C 1=0、 2

l ：A 2x+B 2y+C 2得方程组

⎩⎨

⎧

=+-+-=++0

)2()2(0101011C y y B x x A C By Ax ,解这个方程组得x 1,y 1的值，再

由两点式就可以得到直线l

的方程。

解法二：由题意, 先求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线BC 的方程，再与A 2x+B 2y+C 2=0联立方程组求出交点B 的坐标，根据两点式方程就可以求出要求的直线BP 的方程。

7. 已知ABC ∆的一顶点A 的坐标为(x 0,y 0),∠B 、∠C 的内角平分线分别为直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0,求边BC 所在的直线方程。如图（三）所示。 根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B 、∠C 的内角平分线分别为直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0的对称点P 、D 均在直线BC 上,所以只要分

别计算出P 、D 的坐标,再由两点式方程即可得BC 所在直线方程。

8.关于判断直线系F(x,y,λ)=O(λ为参数),是否过定点,若过定点并求出该定点的方法。