人教版初二数学上册 三角形的证明(完整资料).doc

三角形的证明

1．全等三角形的判定定理

⑴三条边对应相等的两个三角形全等（边边边或错误!未找到引用源。）

⑵两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或错误!未找到引用源。）

⑶两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或错误!未找到引用源。）

⑷两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或错误!未找到引用源。）

⑸斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或错误!未找到引用

源。）

⑴角平分线上的点到这个角的两边距离相等

如图：若点错误!未找到引用源。在角平分线，则错误!未

找到引用源。

⑵角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

如图：若错误!未找到引用源。，则点错误!未找到引用源。在角平分线

3．等腰三角形的性质

⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

⑵如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等

角对等边”）

⑶等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三

线合一”）

4. 等边三角形的性质和判定

⑴等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于错误!未找到引用源。

⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑶有一个角是错误!未找到引用源。的等腰三角形是等边三角形

⑷在直角三角形中，如果一个锐角等于错误!未找到引用源。，那么它所对的

直角边等于斜边的一半。

j

G

B

A E

C

D

【题型一、三角形全等的判定定理证明三角形全等】

【例1】 已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。

【方法技巧】 在三角形中证明边相等的问题可以转化为证明有关三角形全等，根据已知条件选择适当的三角形全等判定定理，可以事半功倍。

变式训练

已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。求证：CE=DF 。

【题型二、作平行线构造三角形全等】

【例2】 如图2-2所示．△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰A 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ． 求证：GD=GE

【方法技巧】三角形全等问题中，如果已知中没有直接给出全等的三个所需条件，这时就需要根据已知条件去构造出所需条件，一般可以作平行线、中线、垂直、截取线段等。如，若题设中含有中点可以过中点作平行线，对直角三角形,有时可作出斜边上的中线． 变式训练

如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，

BQ ⊥AD 于Q ． 求证：BP=2PQ ．

F

E A C D B

F

E

O

D

C

B

A

E

F

B

C

D

【题型三、截长补短构造三角形全等】

【例2】 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点， 且∠BAE=2∠DAM ．求证：AE=BC+CE ．

【方法技巧】证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线

段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等

变式训练

如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2， 证明：AB=AC+CD

【例3】 如图，已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上， 并且AF 平分∠EAD, 求证：BE+DF=AE

【方法技巧】

1、对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法

构造全等三角形；

2、若题设中含有垂线、角平分线等条件，可以试着用轴对称性质，

沿轴翻转图形来构造全等三角形．

变式训练

如图,已知：在△ABC中，∠BAC=45°, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求△ABC的面积．

变式训练

在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，

求证：AB+BP=BQ+AQ．

已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCE

C

B

A

D

O

C

Q

A

如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， 图中有没有和△ABE 全等的三角形？请说明理由。

如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。

求证：① △BCG ≌△DCE

② BH ⊥DE

己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC

垂足分别为E 、F ， 求证：① PE+PF=CD.

② PE – P F=CD.

已知：如图，点D 在△ABC 的边CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，CF 、EF 分别是∠ACB 、∠AED 的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F 的度数。

F E

D C A B

┐ F E D

C A B G H

F E

D

C

A G P

F

E

D C

A

B

G

P