高考数学课标(文)题型专项练课件：9.2不等式选讲(选修4—5)

-16 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解 (1)当a= 1 时,不等式f(x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+ 1 |+|x- 1 |4 ≤0 .①
当x<- 1 时,①式化为x 2-3 x- 4 ≤0,无解; 当-1 ≤x ≤1 时,①式化为x 2-x- 2 ≤0,从而-1 ≤x ≤1;
(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )= 2 . 所以f(x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f(x )≥2 . 又f(x )在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)≥2 且f(1)≥2,得-1 ≤a≤1 . 所以a 的取值范围为[- 1,1].
-14 -
考向一
考向二
考向三
考向四
-15 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解题策略二 求函数最值构造不等式求参数范围 例2 已知函数f(x )=-x 2+ax+ 4,g (x )=|x+ 1 |+|x- 1 |. (1)当a= 1 时,求不等式f(x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f(x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
-21 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.
其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝
对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面
-18 -
考向一
考向二
考向三
考向四
对点训练2 已知函数f(x )=| 2 x- 1 |+|2 x+a| ,g (x )=x+ 3 .
(1)当a=- 2 时,求不等式f(x )<g (x )的解集;
(2)设a>- 1,且当
时,f(x )≤g (x ),求a的取值范围.
-19 -
考向一
考向二
考向三
考向四
-11 -
考向一
考来自百度文库二
考向三
考向四
-12 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得1 .解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零 点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数
轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进
而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2 .在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离
a>b ,只要证明a-b> 0 即可. ②求商比较法:由a>b> 0 > 1 且a> 0,b> 0,因此当a> 0,b> 0
时要证明a>b ,只要证明 > 1 即可.
(2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).
(3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过 推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这
-6-
2 .绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a (a> 0)的解法: ①|x|<a -a<x<a ; ②|x|>a x>a 或x<-a. (2)|ax+b| ≤c(c> 0)和|ax+b| ≥c(c> 0)型不等式的解法: ①|ax+b| ≤c -c≤ax+b ≤c; ②|ax+b| ≥c ax+b ≥c或ax+b ≤-c. (3)|x-a|+|x-b| ≥c(c> 0)和|x-a|+|x-b| ≤c(c> 0)型不等式的
参数,通过求对应函数最值的方法获得.
-13 -
考向一
考向二
考向三
考向四
对点训练1 已知函数f(x )=|x+m|+| 2 x- 1 |(m> 0). (1)当m= 1 时,解不等式f(x )≥3; (2)当x ∈[m ,2m 2]时,不等式 f(x )≤|x+ 1 |恒成立,求实数m 的取 值范围.
解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思 想.
-7-
-8-
4 .不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、
放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法. ①求差比较法:由于a>b a-b> 0,a<b a-b< 0,因此要证明
-20 -
考向一
考向二
考向三
考向四
不等式的证明
例3 已知a> 0,b> 0,a3+b 3= 2 .证明: (1)(a+b )(a5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2 .
证明 (1)(a+b )(a5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6 = (a3+b 3)2-2 a3b 3+ab (a4+b 4)= 4 +ab (a2-b 2)2≥4 . (2)因为(a+b )3=a 3+ 3 a2b+ 3 ab 2+b 3
种证明不等式的方法称为综合法.
-9-
-10 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解绝对值不等式、求参数范围
解题策略一 分离参数法求参数范围 例1 已知函数f(x )=|x+ 1 |-|x-2 |. (1)求不等式f(x )≥1 的解集; (2)若不等式f(x )≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.
-17 -
考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得1 .对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,
得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参
数的不等式,解不等式得参数范围.
2 .解答此类问题应熟记以下转化:f(x )>a 恒成立
f(x )min >a ;f(x )<a 恒成立 f(x )max <a ;f(x )>a 有解 f(x )max >a ;f(x )<a 有解 f(x )min <a ; f(x )>a 无解 f(x )max ≤a;f(x )<a 无解 f(x )min ≥a.
9.2 不等式选讲(选修4—5)
-2-
-3-
-4-
-5-
1 .绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b 是实数,则|a+b| ≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0 时,等
号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b| ≤|a|+|b|; (3)定理2:若a,b ,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c| ,当且仅当(ab )(b-c ) ≥0 时,等号成立.