一维连续型随机变量和其概率密度

1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
3. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
图形演示 p(x)
1
e
(
xμ) 2σ 2
2
,
x
,
2 πσ
若X是连续性随机变量,则
P{X a} 0,
显然 {X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p(x) 0; p(x)dx 1
是 p(x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1 设随机变量X 具有概率密度
kx, 0 x 3,
p( x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其 它.
则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 p( x) 称 为 X的 概
率 密 度 函 数,简 称 概 率 密 度.
性质 (1) 对任意的x, p( x) 0. (2)
p(x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim
x
p(t) d t p(x) d x.
x
p( x)
p(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它,
则称 X 在区间(a, b)区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U(a,b).
概率密度
p( x)
函数图形
ao
b
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为μ, σ
上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以
上,求还能使用1000小时以上的概率.
解 X 的分布函数为
F
(
x)
1
e
1 2000
x
,
x 0,
0,
x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
由 F (x) x p(t) d t 得
当x 0时 ,
x
F (x) 0dt 0
x
当 0 x 3时 , F (x) p(t)dt
0
0dt
xt
dt x2
06
12
当3
x
4时
,F ( x)
0
0dt
3
0
t 6
dt
x
3 (2
t )dt 2
3 2x x2
4
当x 4时 ,
F(x) 0,
x 0.
3 1
1 2
指数分布分布函数图形演示
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
=1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
S p(x) d x 1
1
0
x
(3)
P{ x1
X
x2 }
F(x2)
F ( x1)
x2 x1
p( x)dx
证明 P{x1 X x2} PX x2 X x1 PX x2 PX x1 F(x2) F(x1)
x2 p( x) d x
x1 p( x) d x
x2 p( x)d x.
(1) 确 定 常 数k; (2) 求 X 的 分 布 函 数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解
(1) 由
p(x) d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
解之得
k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
第2.3节 一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在
非 负 可 积 函 数p( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) p(t)d t,
F(x)
0
0dt
Baidu Nhomakorabea3 t dt
4 2 t dt
x
0dt
06
3 2
4
1
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
解 X 的分布密度函数为
p(
x)
1 3
,
0,
2 x 5, 其 它.
设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 Y ~ B 3, 2 . 3
因而有
P{Y
2}
C2032.
x1
同时得以下计算公式
P{X a} F(a)
a
p( x)d
x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
p(x) d x p(x) d x
a p(x) d x.
(4) 若 p( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) p( x).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a p(x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x)
S1
0
a•
•
b
x
注意
不可能事件的概率一定为0,而概率为0 的事件不一定是不可能事件.
2 3
2
1
2 3
C33
2 3
3
1
2 3
0
27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分 布.
p(x)
3
1
1 2
指数分布密度 函数图形演示
分布函数
1 ex , x 0,