克莱因瓶

克莱因瓶*

在数学中克莱因瓶是一个确定的非定向曲面，即表面（二

维流形），没有明显的“内部”和“外部”之分。其他相关的非定向曲面包括莫比乌斯带（Möbiu s strip）和实射影平面。而莫比乌斯带是一个有边界的二维曲面，而克莱因瓶没有边界。（相比之下，球体是一个没有边界的定向曲面。）1882年，德国数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）首次提出克莱因瓶（Klein bottle）的概念。原名为Kleinsche

Fläche（克莱因表面）；不过，这是Kleinsche Flasche（克莱因瓶）不正确的表达。

克莱因瓶的构造

如图所示，从一个正方形出发，粘合颜色相同的边，并使得箭头方向也匹配。更严格的说，克莱因瓶是单位正方形[0，1] × [0，1]按如下方式定义等价关系 (0，y) ～(1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ～ (1-x，1) ，0 ≤x≤ 1得到的商空间。

这个正方形是克莱因瓶的基本多边形。

红色箭头的一边相粘合的（左，右两侧）形成一个圆柱。为了让另外两条边按箭头匹配方式粘合，必须要从圆柱的一段穿过去。请注意，这将导致一个圆形的交线。这是克莱因瓶到3维空间的一个嵌入。

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如果空间从3维增加到4维，则前面的构造可以避免相交。这个构造帮助我们直观理解克莱因瓶的许多特性。例如，克莱因瓶没有边界和它是非定向的。

克莱因瓶的常见物理模型都是类似构建起来的。英国科学博物馆展出的一系列人工吹制的克莱因玻璃瓶，还包括对这个拓扑主题的许多变化。自从1995年,艾伦班尼特为博物馆制作了这些克莱因瓶。杜鹃的蛋的作者克利福德斯托尔，制造了一些克莱因瓶, 并通过互联网Acme Klein Bottle销售。

克莱因瓶的性质

克莱因瓶可以按如下方式看作是纤维从：设全空间E为单位正方形，而底空间B是单位区间X，投射:E B

π→,(,)

x y x

π=。因为单位区间X的两个端点视为是重合的，该底空间B实际上是圆环1S，所以克莱因瓶可以看作是一个圆上的"扭转"一个1S纤维丛。

和莫比乌斯带一样，克莱因瓶是非定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维的欧几里德空间，而克莱因瓶不能, 但它能嵌入到四维空间。

克莱因瓶是可以通过把两个莫比乌斯带粘在一起构造，正如下面的佚名打油诗所述：一个名叫克莱因的数学家

认为莫比乌斯带了不起.

他说：“如果你用胶水

仿真的人工吹制的

克莱因玻璃瓶

把两个莫比乌斯带的边缘粘合起来， 你就会获得一个奇怪的克莱因瓶。”

克莱因瓶也可以由纵向对半折叠莫比乌斯带,并粘合边界得到。

六种颜色足以填充克莱因瓶表面的任何地图；这是希伍德猜想(推广的四色定理)的唯一例外情况。

克莱因瓶还可以看作一个球面加上两个交叉的帽子（Cross-cap ）。

截面

沿其对称平面将截克莱因瓶成两个莫比乌斯带镜像，即一个左转的半捻（half-twist ）是， 另一个是右转的半捻（half-twist ）（参见右边的图行）。注意到，图形并不是真正的相交在一起。事实

上，也可以把克莱因瓶也切成一个的莫比乌斯带。

参数形式

“图8”克莱因瓶的嵌入（Klein bagel ）有一个特别简单的参数表示。即莫比乌斯带旋转

180 嵌入。

还有一种更简单的参数表示：

图8

其中

（0 ≤ u < 2π，0 ≤ v < 2π）

推广

一般的高亏格的克莱因瓶是由基本多边形给出的。

另一种推广的思路是构照三维流形，众所周知，一个实心的克莱因瓶是拓扑等价于

Mo I ⨯，即莫比乌斯带与单位区间的笛卡尔乘积。实心的克莱因瓶是实心环（21D S ⨯）的非

定向形式。

克莱因曲面

克莱因曲面是一个黎曼曲面，即有一个由复共轭组成其上的变换函数的图册（atlas ）。你可以在这个空间上得到所谓的dianalytic 结构。

参考文献

∙ Eric W. Weisstein , Klein Bottle at MathWorld .

∙

A classical on the theory of Klein surfaces is [1] of Alling-Greenleaf

外部链接

∙ Imaging Maths - The Klein Bottle ∙

The biggest Klein bottle in all the world

Klein Bottle animation: produced for a topology seminar at the Leibniz University Hannover.

[2]