莫比乌斯环和克莱因瓶
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疯狂的循环
——Möbius band and Klein bottle
青年问禅师：“大师，我很爱我的女 朋友，但她总有几个缺点让我非常讨厌， 有什么方法能让她改变？” 禅师浅笑答：“方法很简单，不过若 想我教你，你需先下山为我找一张只有正 面没有背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
走进克莱因瓶
莫比乌斯带和克莱因瓶作为几何图形的性质是 清晰、简单甚至是优美的，几乎所有的数学家、 哲学家和爱好者都对它们的性质着迷，难于理 解这种简单的几何体所表达的神秘性质：两个 面如何又是一个面?一个面如何又是两个面? 其实莫比乌斯带和克莱因瓶是用几何的方法 表现了最深刻的哲学原理。这种西方哲学和几 何学所未能充分了解的神秘性，却在古代中国 思想家和文学家那里得到了充分的领悟。
疯狂的过山车
疯 狂 的 画 作
《画手》
荷兰著名版画家 埃舍尔
疯 狂 的 建 筑
哈 萨 克 斯 坦 新 标 志 性 建 筑 ︓ 全 新 国 家 图 书 馆
这座建筑位于韩国快速发展的济州岛，是一 座建在天堂般环境中的高端住宅
疯 狂 的 日 用 品
这款漂亮的横8字衣架以著名的莫比乌斯环为原型而 设计，没有“尽头”的环带可恰到好处得将袖肩撑 起并保护衣物不被划伤或挂破，不仅是一款相当实 用的产品更堪称一件不可多得的艺术品呢。
如果把克莱因瓶沿着它 的对称线切下去，竟会 得到两个麦比乌斯圈！
就像莫比乌斯环一样，克莱因瓶不可定向。但是 与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也 就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧 几里德空间中嵌入，克莱因瓶只能嵌入四维（或 更高维）空间。
克莱因瓶也一样，是一个事实上处于四维空间 中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最 高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交 的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结 的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质—— 阴与阳和它们的统一 莫比乌斯带和克莱因瓶也表现了阴阳流变的统一过程， 由此，自然之和谐似乎也让我们窥到冰山一角。
谢谢各位!!
德国有一位数学家 叫莫比乌斯，1858 年，一次偶然的机 会，他发现了这样 一个奇妙的纸圈。 所以，人们就把这 样的纸圈叫莫比乌 斯圈。
莫比乌斯带，它是由一张纸条两端粘接而 成，在粘接前扭转了一下。现在，所得的 纸带已不再具有两面，它只有单面。设想 一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它 能够爬遍整条带子而无须跨越带的边缘．
莫比乌斯环的神奇之处
开启实验模式~！
神奇之处1—— 莫比乌斯环只存在一个面。
二、如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将 会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合 的环（并不是莫比乌斯带），再把刚刚做出 那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从 中间剪开，则变成两个环。
如果你把带子的宽度分为三份，并沿着分 割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄 一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转 了两次再结合的环。
回文诗
赏花归去马如飞， 去马如飞酒力微。 酒力微醒时已暮， 醒时已暮赏花归。
从前有座山，山上有座庙， 庙里有个老和尚， 老和尚给小和尚讲故事， 讲的是：…
如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽 象综合，即去掉它们的空间性质，我们可以得到 一个更加抽象的思想图式，它就是中国的太极图 (有研究表明把莫比乌斯带投影下来就是太极图)。
只见青年沉吟半晌，默默地 画了一个克莱因瓶。（解释： 克莱因瓶没有“内部”和 “外部”之分）
在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的 著名“瓶子”。 这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有 边）曲面，但是它却只有一个面。 在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一 个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长， 然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈 连在了一起。 是指一种无定向性的平面，比如2维平面， 就没有“内部”和“外部” 之分。
另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次 再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半 圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。
耳听为虚，眼见为实！！
青年再问禅师：“我的头脑被这 种繁杂的世俗所装满，如何是好？” 禅师说：“你画一个瓶子，它总 有一个尽头。你不把它里面的东西倒 出来，怎么装新的进去？” 青年凝视着老禅师，若有所思， 似乎悟出了些什么~~
莫比乌斯带参数方程Fra Baidu bibliotek
v u x u, v 1 cos cos u 2 2 v u y u, v 1 cos sin u 2 2 v u z u, v sin 2 2 0≤u≤2 , 1 ≤v≤ 1
莫比乌斯环与艺术设计
如果往里头注水，那么水恰从同一个洞 里溢出．
度假别墅模仿克莱因结构，岂不 是实现了内部的完全开放？
克莱因瓶的参数方程：
克莱因瓶的神奇之处
克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底 部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并 且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的 洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子 不一样，这个物体没有“边”，它的表 面不会终结。它也不类似于气球 ，一只 苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而 不用穿过表面（所以说它没有内外部之 分）。
——Möbius band and Klein bottle
青年问禅师：“大师，我很爱我的女 朋友，但她总有几个缺点让我非常讨厌， 有什么方法能让她改变？” 禅师浅笑答：“方法很简单，不过若 想我教你，你需先下山为我找一张只有正 面没有背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
走进克莱因瓶
莫比乌斯带和克莱因瓶作为几何图形的性质是 清晰、简单甚至是优美的，几乎所有的数学家、 哲学家和爱好者都对它们的性质着迷，难于理 解这种简单的几何体所表达的神秘性质：两个 面如何又是一个面?一个面如何又是两个面? 其实莫比乌斯带和克莱因瓶是用几何的方法 表现了最深刻的哲学原理。这种西方哲学和几 何学所未能充分了解的神秘性，却在古代中国 思想家和文学家那里得到了充分的领悟。
疯狂的过山车
疯 狂 的 画 作
《画手》
荷兰著名版画家 埃舍尔
疯 狂 的 建 筑
哈 萨 克 斯 坦 新 标 志 性 建 筑 ︓ 全 新 国 家 图 书 馆
这座建筑位于韩国快速发展的济州岛，是一 座建在天堂般环境中的高端住宅
疯 狂 的 日 用 品
这款漂亮的横8字衣架以著名的莫比乌斯环为原型而 设计，没有“尽头”的环带可恰到好处得将袖肩撑 起并保护衣物不被划伤或挂破，不仅是一款相当实 用的产品更堪称一件不可多得的艺术品呢。
如果把克莱因瓶沿着它 的对称线切下去，竟会 得到两个麦比乌斯圈！
就像莫比乌斯环一样，克莱因瓶不可定向。但是 与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也 就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧 几里德空间中嵌入，克莱因瓶只能嵌入四维（或 更高维）空间。
克莱因瓶也一样，是一个事实上处于四维空间 中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最 高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交 的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结 的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质—— 阴与阳和它们的统一 莫比乌斯带和克莱因瓶也表现了阴阳流变的统一过程， 由此，自然之和谐似乎也让我们窥到冰山一角。
谢谢各位!!
德国有一位数学家 叫莫比乌斯，1858 年，一次偶然的机 会，他发现了这样 一个奇妙的纸圈。 所以，人们就把这 样的纸圈叫莫比乌 斯圈。
莫比乌斯带，它是由一张纸条两端粘接而 成，在粘接前扭转了一下。现在，所得的 纸带已不再具有两面，它只有单面。设想 一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它 能够爬遍整条带子而无须跨越带的边缘．
莫比乌斯环的神奇之处
开启实验模式~！
神奇之处1—— 莫比乌斯环只存在一个面。
二、如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将 会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合 的环（并不是莫比乌斯带），再把刚刚做出 那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从 中间剪开，则变成两个环。
如果你把带子的宽度分为三份，并沿着分 割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄 一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转 了两次再结合的环。
回文诗
赏花归去马如飞， 去马如飞酒力微。 酒力微醒时已暮， 醒时已暮赏花归。
从前有座山，山上有座庙， 庙里有个老和尚， 老和尚给小和尚讲故事， 讲的是：…
如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽 象综合，即去掉它们的空间性质，我们可以得到 一个更加抽象的思想图式，它就是中国的太极图 (有研究表明把莫比乌斯带投影下来就是太极图)。
只见青年沉吟半晌，默默地 画了一个克莱因瓶。（解释： 克莱因瓶没有“内部”和 “外部”之分）
在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的 著名“瓶子”。 这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有 边）曲面，但是它却只有一个面。 在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一 个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长， 然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈 连在了一起。 是指一种无定向性的平面，比如2维平面， 就没有“内部”和“外部” 之分。
另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次 再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半 圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。
耳听为虚，眼见为实！！
青年再问禅师：“我的头脑被这 种繁杂的世俗所装满，如何是好？” 禅师说：“你画一个瓶子，它总 有一个尽头。你不把它里面的东西倒 出来，怎么装新的进去？” 青年凝视着老禅师，若有所思， 似乎悟出了些什么~~
莫比乌斯带参数方程Fra Baidu bibliotek
v u x u, v 1 cos cos u 2 2 v u y u, v 1 cos sin u 2 2 v u z u, v sin 2 2 0≤u≤2 , 1 ≤v≤ 1
莫比乌斯环与艺术设计
如果往里头注水，那么水恰从同一个洞 里溢出．
度假别墅模仿克莱因结构，岂不 是实现了内部的完全开放？
克莱因瓶的参数方程：
克莱因瓶的神奇之处
克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底 部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并 且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的 洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子 不一样，这个物体没有“边”，它的表 面不会终结。它也不类似于气球 ，一只 苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而 不用穿过表面（所以说它没有内外部之 分）。