2013年中考数学试题分类汇编 动点问题(含答案)
2013年全国各市中考题分类汇编(6)：因动点产生的平行四边形问题
因动点产生的平行四边形问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，连接DE 、DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1㎝/s ，点P 沿A F D 的方向运动到点D 停止；点Q 沿 B C 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动.在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （㎝2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ） （1）当点P 运动到点F 时，CQ= ㎝；（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度； （3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式.2.如图,矩形A BCD 中，点P 在边CD 上,且与C 、D 不重合,过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q,连接PQ,M 为PQ 的中点.⑴ 求证：△ADP ∽△ABQ;⑵ 若AD ＝10,AB ＝20,点P 在边CD 上运动,设DP ＝x,2BM ＝y,求y 与x 的函数关系式,并求线段BM 长的最小值; ⑶ 若AD ＝10,AB ＝a,DP ＝8,随着a 的大小的变化,点M 的位置也在变化.当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围. QP N MFEDCB AFEDCBACMDPBAQ3.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP 于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．4.如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A 运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t 之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．（第26题图） 5.如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D 。
专题60：动态几何之双动点问题
2013年全国中考数学试题分类解析汇编(169套75专题）专题60：动态几何之双（多）动点问题江苏泰州锦元数学工作室 编辑一、选择题1.（2013年福建三明4分）如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，动点P 从点C 出发，沿DC 方向匀速运动到终点C ．已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接OP ，OQ ．设运动时间为t ，四边形OPCQ 的面积为S ，那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】A 。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图，作OE⊥BC 于E 点，OF⊥CD 于F 点，设BC=a ，AB=b ，点P 的速度为x ，点F 的速度为y ， 则CP=xt ，DQ=yt ，所以CQ=b ﹣yt ， ∵O 是对角线AC 的中点，∴OE=12b ，OF=12a 。
∵P，Q 两点同时出发，并同时到达终点， ∴a bx y=，即ay=bx ， ∴()OCQ OCP 111111S S S a b yt b xt ab ayt bxt ab 224444∆∆=+=⋅⋅-+⋅⋅=-+=。
∴S 与t 的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t ＜ax）。
故选A 。
2. （ 2013年广西贵港3分）如图，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线3y (x<0)x=-上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是【 】A ．y x =B ．y x 1=+C ．y x 2=+D ．y x 3=+ 【答案】C 。
【考点】反比例函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（最短线段问题）。
【分析】分别把点A （a ，1）、B （﹣1，b ）代入双曲线3y (x<0)x=-得a=﹣3，b=3，则点A 的坐标为（﹣3，1）、B 点坐标为（﹣1，3）。
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：动态问题
动态问题一、选择题1．（2013江苏苏州，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为（ ）．A B C D ． 【答案】B ．【解析】如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小．∵DP =P A ，∴P A ＋PC =PD ＋PC =CD ．∵B （3，∴AB ，OA =3，∠B =60°．由勾股定理得：OB ．由三角形面积公式得：12×OA ×AB =12×OB ×AM ，即12×3=12×AM ．∴AM =32．∴AD =2×32=3．∵∠AMB =90°，∠B =60°， ∴∠BAM =30°，∵∠BAO =90°，∴∠OAM =60°． ∵DN ⊥OA ，∴∠NDA =30°，∴AN =12×AD =32．由勾股定理得：DN=2． ∵C （12，0），∴CN =3－12－32=1．在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2．即P A ＋PC 所以应选B ．【方法指导】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中． 【易错警示】弄不清楚最小值问题，赵不到最短距离而出错．2．（2013山东临沂，14，3分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为（ ）【答案】：B ．3（2013四川南充，10，3分）如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ．设P ，Q 出发秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与的函数关系的图象如图2（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论： ①AD=BE=5cm ；②当0＜≤5时，252t y =；③直线NH 的解析式为2725+-=t y ； ④若△ABE 与△QBP 相似，则429=t 秒．其中正确结论的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】：B ．【解析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【方法指导】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出A ．D ．DF点P 到达点E 时，点Q 到达点C 是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大． 4．(2013湖北荆门，12，3分)如图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右匀速(注：“匀速”二字为录入者所添加)平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( )【答案】A【解析】为计算的方便，不妨设AB ＝CD，AD ＝1，∠ABC ＝45°．分别过点A ，D 向BC 作垂线，垂足依次为E ，F ，如图3，设动直线l 移动的速度为x ．①当0≤x ＜1时，S ＝12x 2，其图象是开口向上的抛物线的一部分；②当1≤x ＜2时，S ＝12＋1×(x －1)＝x －12，其图象是直线的一部分；③当2≤x ≤3时，S ＝2－12(3－x )2，其图象是开口向下的抛物线的一部分．综上所述，选A ．【方法指导】判断函数大致图象的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图象及性质做出合理的判断．解答分段函数的图象问题一般遵循以下步骤：①根据自变量的取值范围对函数进行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式确定每段图象的形状． 5 (2013山东烟台，12,3分)如图1．E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE-—ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止．它们的运动速度都是1cm /s .若点P ,Q 同时开始运动，设运动时间为t (s )，⊿BPQ 的面积y (cm 2).已知y 与t 的函数关系图像如图2，则下面结论错误的是（ ）A . cm AE 6=B . 54sin =∠EBC C . 当100≤<t 时，252t y =D .当s t 12=时，PBQ ∆是等腰三角形A ．B ．C ．D ．(第12题)图3【答案】A【考点解剖】本题是一道典型的动点问题，主要考查了三角函数、等腰三角形的判定、二次函数的解析式、三角形的面积公式，解决本题的关键是能够根据图形中点的位置与相应线段、面积的变化来理解函数图象表达的意义，数形结合，化静为动，从而正确的解决问题. 【解析】 如图：利用数形结合思想方法，结合图1、图2分别求出BE =BC =10cm ，DE =4cm ，AE =6cm ；然后利用勾股定理求出AB ，即可求出sin ∠EBC =54；当100≤<t 时，根据△BPF ∽△EBA 可求出BQ 边上的高PF t 54=，然后利用三角形面积公式即可求出y 与t 的函数关系式y =⨯t 21t 54252t =，最后利用排除法即可选D .【方法指导】点的运动问题，主要表现在运动路径与时间之间的图象关系.解决动点问题时，对题意的理解要清晰，关键是正确获取或处理题中的信息，明确哪些是变化的量，哪些是不变的量.二、填空题1. （2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．．2(2013浙江湖州,16,4分)如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x =-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，轴于点M，交直线y x则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是__▲__．【答案】【解析】（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．OM=N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i．∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．【方法指导】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中3．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE时， EP +BP =____________.【答案】12．【解析】延长BQ 角射线EF 于M.∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，即EM//BC.∴△EQM ∽△EQB ，∴123132===CE CECQ EQ BC EM ， 即26=EM ，∴EM=12.∵∠CBP 的平分线交CE 于Q ，∴∠PBM=∠CBM ， ∵EM//BC ，∴∠EMB=∠CBM ，∴∠PBM=∠EMB ，∴PB=PM ，所以EP +BP =EM=12.【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.三、解答题1. （2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm的速度向右移动，B（第14题）经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．2．（2013湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．，的坐标为3（2013·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，分析：得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，P A=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴t=3t－8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，当t=－=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t－8）•t=3t2－8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=－=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P ，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．4．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值．（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）因为抛物线关于直线x ＝1对称，AB ＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)， 由点D(2，1．5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a ＋3b ＝1．5，即a ＋b ＝0．5，又12=-a b，即b ＝－2a ，代入上式解得a ＝－0．5，b ＝1，从而c ＝1．5，所以23212++-=x x y ．（2）由（1）知23212++-=x x y ，令x ＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB ， 令kx －2＝1．5，得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx －2＝0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC ＝S 四边形EBDF 得：OE ＋CF ＝DF ＋BE ，即,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO ＝∠NPO ，所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1， 所以1111PN PM NN MM =，………………(1) 不妨设M(x M ，y M )在点N(x N ，y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为NMN M y t y t x x --=-，又y M ＝k x M －2， y N ＝k x N －2， 所以（t ＋2）(x M ＋x N )＝2k x M x N ，……(2) 把y ＝kx －2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2＋2kx －4＝0， 所以x M ＋x N ＝－2k ， x M x N ＝－4，代入（2）得t ＝2，符合条件， 故在y 轴上存在一点P （0，2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称．考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
山东省17市2013年中考数学试题分类解析汇编 专题09 三角形
山东17市2013年中考数学试题分类解析汇编专题09 三角形一、选择题1. （2013年山东东营3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值【】A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个2. （2013年山东莱芜3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为【】【答案】B。
【考点】动点问题的函数图象, 等边三角形的性质。
【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：3. （2013年山东聊城3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：AB的长为【】A．12米B． C． D．4. （2013年山东聊城3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为【】A．a B．1a2C．1a3D．2a3【答案】C。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA。
5. （2013年山东临沂3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是【】A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D，△BEC≌△DEC6. （2013年山东青岛3分）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为【】A、mn2⎛⎫⎪⎝⎭， B、（m，n） C、nm2⎛⎫⎪⎝⎭， D、m n22⎛⎫⎪⎝⎭，7. （2013年山东日照3分）四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1<d<7其中正确的是【】A. ①②B.①③C.②③D.③④8. （2013年山东威海3分）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是【】A. ∠C=2∠AB. BD平分∠ABCC. S△BCD=S△BODD. 点D为线段AC 的黄金分割点∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：动态问题3
动态问题10．（2013湖南张家界，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．，．（x==的周长存在最小值，最小值为11.（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．12.（2013山西，26，14分）综合与探究：如图,抛物线213442y x x =--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q（1）求点A,B,C 的坐标。
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。
试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）当y=0时，2134042x x --=，解得，122,8x x =-= ∵点B 在点A 的右侧，∴点A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4∴点C 的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（0，4）.设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则480b k b ì=ïí+=ïî.解得，k=12-，b=4. ∴直线BD 的解析式为142y x =-+. ∵l ⊥x 轴，∴点M ，Q 的坐标分别是（m ，142m -+），（m ，213442m m --） 如图，当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边形. ∴（142m -+）-(213442m m --)=4-(-4) 化简得：240m m -=.解得，m 1=0，（舍去）m 2=4.∴当m=4时，四边形CQMD 是平行四边形.此时，四边形CQBM 是平行四边形.解法一：∵m=4，∴点P 是OB 中点.∵l ⊥x 轴，∴l ∥y 轴.∴△BPM ∽△BOD.∴12BP BM BO BD ==.∴BM=DM. ∵四边形CQMD 是平行四边形，∴DM CQ ∴BM CQ.∴四边形CQBM 为平行四边形.解法二：设直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1，则111480b k b ì=-ïí+=ïî.解得，k 1=12，b 1=-4 ∴直线BC 的解析式为y=12x-4又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q 的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.∴四边形CQBM为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.。
历年中考数学动点问题专集(全)【含答案】
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；(2)写出图3中M，N两点的坐标；(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2 以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.解(1)∠BAO=60°.(2)点P的运动速度为2个单位/秒.评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN 的面积都相等?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM ，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为S 1，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为S 2(这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0<X(2)①若y 是S 1与S 2的和，求y 与x 之间的函数关系式； (图10为备用图) ②求y 的最大值.解 (1)以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以AC=16，过B 作BO ⊥AC 于O ，则OB=89，因为AE=x ，所以S 2=4x ，因为HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以S 1=x(16-2x)， 当S 1=S 2时， 4x=x(16-2x)，解得x 1=0(舍去)，x 2=6，所以当x=6时， S 1=S 2.(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ，当8≤x≤16时，AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S 1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y 的最大值为50. 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y 的最大值为82. 综上可得，y 的最大值为82.评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
山东省各市2013年中考数学试题分类汇编(解析版)：平面直角坐标与函数
山东省各市2013年中考数学试题分类汇编（解析版）平面直角坐标与函数一、填空、选择题1、（2013德州市）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2013÷6=335…3，∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）．故选D．点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．2、（2013德州市）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ． 甲、乙两人的速度相同B ． 甲先到达终点C ．乙用的时间短 D ． 乙比甲跑的路程多考点： 函数的图象．分析： 利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．解答： 解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，故选B ．点评： 本题考查了函数的图象，关键是会看函数图象，要求同学们能从图象中得到正确信息．3、（2013东营市）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(-1,1)D ．(2,2-) 答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OA AOB OB∠=，所以2cos 222OA OB AOB =∠== ，所以2OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，2OA '=，sin A C A OC A O''∠='，2sin 212A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（-1，1）.4、（2013济宁市）如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是（ ）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称做最短路线得出AE=BE，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，则BE=4，即BE=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故选：D．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．5、（2013莱芜市）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：作出图形，利用数形结合求解即可．解答：解：如图，满足条件的点M的个数为6．故选C．点评： 本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．6、（2013莱芜市）如图，等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B→C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2=y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象．分析： 注意分析y 随x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．解答： 解：∵等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，∴AN=1．∴当点M 位于点A 处时，x=0，y=1．①当动点M 从A 点出发到AM=1的过程中，y 随x 的增大而减小，故排除D ；②当动点M 到达C 点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y 的值与点M 在点A 处时的值不相等．故排除A 、C ．故选B ．点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y 的变化情况．7、（2013聊城市）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n+1（n 为自然数）的坐标为 （用n 表示）考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A 4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可． 解答：解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A 5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A 9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A 13（6，1），所以，点A 4n+1（2n ，1）．故答案为：（2n ，1）．点评：本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A 4n+1的对应的坐标是解题的关键．8、（2013临沂市）.如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 1 2. 答案：D解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 1 29、（2013日照市）要使式子2x 有意义，则x 的取值范围是 .答案：x ≤2解析：由根式的意义，得：2－x ≥0，解得：x ≤210、（2013泰安市）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知在AC 上一点P （2.4，2）平移后的对应点为P 1，点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，则P 2点的坐标为（ ）A．（1.4，﹣1）B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1）考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解答：解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．11、（2013潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）.答案：C．考点:变量间的关系，函数及其图象.点评：容器上粗下细，杯子里水面的高度上升应是先快后慢。
2013年中考数学试题按章节考点分类：第40章动态型问题
四十章动态型问题18．(2013江苏苏州，18，3分)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）秒（结果保留根号）．×=×=1×BE=3××=3，CD===2AB+BC+CD=2+2+2=4+24+21=4+24+223.（2013贵州省毕节市，23，12分）如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由。
第23题图解析：（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD ∥AC，AD=CE，即可得出答案．解案：解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD 是平行四边形；（2）∵DA 由垂直于AB ，逆时针旋转到点D 、A 、B 在同一直线上， ∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A ，D ，B 在一条直线上，∴CD ∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形； 故答案为：90，直角梯； （3）四边形ADBC 是等腰梯形；证明：过点B 作BM ⊥AC ，过点D 作DN ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC 剪开，得到△ACD 和△A′BC′．∴△ACD ≌△A′BC′，∴BM=ND ，∴BD ∥AC ，∵AD=BC ，∴四边形ADBC 是等腰梯形．点评：此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．26.（2013年广西玉林市，26，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0，4），现有两动点P ，Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C 、D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止.设运动的时间为t （秒），当t=2（秒）时，PQ=52.（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ，把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ，连接EF ，则△AEF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值.（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？解：（1）设OC=x ， 当t=2时，OP=4，PC=x －4；CQ=2.在Rt △PQC 中，222CQ PC PQ +=，()()2222452+-=x ,解得01=x （不合题意，舍去），82=x ，∴D 点坐标（8，4）；（2）由翻折可知，点Q 和点F 关于直线AD 对称，∴QD=DF=4－t ，而AD=8，∴()t t S AQF 83242821-=-⨯⨯=∆. 设经过A （0，4）、Q （8，t ）两点的一次函数解析式为b kx y +=，故有：⎩⎨⎧+==b k t b 84，解得84-=t k ，∴一次函数的解析式为484+-=x t y ，易知一次函数与x 轴的交点的坐标为（t -432，0），∴EC=t -432－8，∴()t t t S E Q F842843221=-⨯⎪⎭⎫⎝⎛--⨯=∆， ∴328832=+-=+=∆∆∆t t S S S QFE AFQ AFE .∴△AEF 的面积S 不随t 的变化而变化，S 的值为32.（3）因AP 与QF 不平行，要想使四边形APQF 是梯形，须有P Q ∥AF.∵AF=AQ ，∴∠AFQ =∠AQF ，而∠CQE =∠AQF ，要想P Q ∥AF ，须有∠AFQ =∠PQC ，故只需具备条件∠PQC =∠CQE ，又∵QC ⊥PE ，∴∠ CQP=∠QCE ，QC=QC ，∴△CQP ≌△QCE ，∴PC=CE ，即8－2t=t-432－8，解得5261+=t （不合题意，舍去），5262-=t .故当526-=t 时，四边形APQF 是梯形.22. （2013珠海，22，9分）如图,在等腰梯形ABCD 中AB ∥CD,AB ＝高CE＝对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒,直线RQ 平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.(1)填空:∠AHB ＝____________; AC ＝_____________; (2) 若213S S =,求x;(3) 若21S mS =,求m 的变化范围.第22题备用图【解析】(1) 如图第22题-1所示,平移对角线DB,交AB 的延长线于P.则四边形BPCD 是平行四边形,BD＝PC,BP ＝DC .因为等腰梯形ABCD,AB ∥CD,所以AC ＝BD. 所以AC ＝PC.又高CE ＝AB ＝所以AE ＝EP ＝所以∠AHB ＝90°AC ＝4;第22题图-1⑵直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.①当302x <<时, 有2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴213S S ≠②当322x ≤≤时,先用含有x 的代数式分别表示1S ,2S ,然后由213S S =列出方程,解之可得x 的值; (3) 分情况讨论:①当302x <<时, 214S m S ==.②当322x ≤≤时,由21S mS =,得()222188223x S m S x --==＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.然后讨论这个函数的最值,确定m 的变化范围.【答案】(1) 90°,4;(2)直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤.①当302x <<时,∵MN ∥BD,∴△AMN ∽△ARQ,△ANF ∽△AQG. 2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴213S S ≠ ②当322x ≤≤时, 如图第22题-2所示, 第22题图-2CG ＝4－2x,CH ＝1,14122BCDS ∆=⨯⨯=. ()22422821CRQ x S x ∆-⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭2123S x =,()22882S x =-- 由213S S =,得方程()22288233x x --=⨯,解得165x =(舍去),22x =.∴x ＝2. (3) 当302x <<时,m ＝4 当322x ≤≤时, 由21S mS =,得()2288223x m x --=＝2364812x x -+-＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.M 是1x 的二次函数, 当322x ≤≤时, 即当11223x ≤≤时, M 随1x 的增大而增大. 当32x =时,最大值m ＝4. 当x ＝2时,最小值m ＝3.∴3≤m ≤4.【点评】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.(2) 小题直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数2123643m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是1x的二次函数”对顺利作答至关重要.16、（2013·湖南省张家界市·16题·3分）已知线段AB=6，C 、D 是AB 上两点，且AC=DB=1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为________.【分析】不好意思，本题做不出来，还请高手补充 18．（2013湖北荆州，18，3分）如图(1)所示，E 为矩形ABCD的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD ＝BE ＝5；②cos ∠ABE ＝35；③当0＜t ≤5时，y ＝25t 2；④当t ＝294秒时，△ABE ∽△QBP ；其中正确的结论是__▲__(填序号)．【解析】首先，分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及函数的图象的增减情况. 横轴表示时间t ，纵轴表示△BPQ 的面积y .当0＜t ≤5时，图象为抛物线，图象过原点，且关于y 轴对称，y 随的t 增大而增大，t=5的时候，△BPQ 的面积最大，图(1) 图(2)第18题图Q图(3)A C P D B5＜t ＜7时，y 是常函数，△BPQ 的面积不变，为10.从而得到结论：t=5的时候，点Q 运动到点C ，点P 运动到点E ， 所以BE ＝BC=AD ＝5×1=5cm ，5＜t ＜7时，点P 从E →D ，所以ED =2×1=2cm ，AE=3 cm ，AB=4 cm. cos ∠ABE ＝54=BE AB . 设抛物线OM 的函数关系式为2at y =（,0≠a 0＜t ≤5),把（5,10）代入得到a 2510=，所以52=a ， 所以当0＜t ≤5时， y ＝52t 2 当t ＞5时，点P 位于线段CD 上，点Q 与点C 重合，.当t ＝294秒，点P 位于P ’处，C P ’=CD －DP ’=4－（294－7）=415cm.在△ABE 和△Q ’BP ’中，34''==CP B Q AE AB ,∠A ＝Q ’=90°，所以△ABE ∽△Q ’BP ’ 【答案】①③④【点评】本题综合考察了动点问题、二次函数、三角形相似、常函数、锐角三角函数、分段函数的知识，综合性强。
2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题60代数几何综合(含答案)
专题60代数几何综合一、选择题1. （2012浙江义乌3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【 】A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间【答案】B 。
【考点】算术平方根，估算无理数的大小。
【分析】∵一个正方形的面积是15，∵9＜15＜16＜4。
故选B 。
2. （2012浙江杭州3分）已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【 】A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 。
【考点】抛物线与x 轴的交点。
【分析】根据抛物线的解析式可得C （0，﹣3），再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案：根据题意，得C （0，﹣3）．令y=0，则()3k x 1x 0k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，解得x=﹣1或x=3k。
设A 点的坐标为（﹣1，0），则B （3k，0）， ①当AC=BC 时，OA=OB=1，B 点的坐标为（1，0），∴3k =1，k=3； ②当AC=AB 时，点B 在点A 的右面时，∵AC ==B 1，0），∴31,k k == ；③当AC=AB 时，点B 在点A 的左面时，B 0），∴3k k 10== 。
∴能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3条。
故选B 。
3. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A C ．3 D ．4 【答案】A 。
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
2013全国部分地市中考(压轴题)动点型(含答案)
2013全国部分地市中考题（压轴题）动点型问题例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
2013北京中考数学一模有关动点的试题汇编(含答案)
2013北京中考一模之动点问题8.（海淀一模）如图，△A B C是等边三角形，6A B 厘米，点P从点B出发,沿BC以每秒1厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发,沿折线BA-AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t的函数关系的图象大致是（ D ）8（西城一模）．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是( A )A B C D8.（东城一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P，Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是( D )A8．（朝阳一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB —BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O、P围成的三角形的面积y 之间的函数图象为( C )A B C D8．（石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，G 为线段CE 上的一个动点， 设x CECG =，y S GDF =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是( D )8．（丰台一模）如图，在A B C △中，1A B A C ==，20B A C ∠= ．动点P 、Q 分别在直线B C 上运动，且始终保持100P A Q ∠=．设BP x =，C Q y =，则y 与x 的函数关系的图象大致可以表示为 ( A )6A B C DGD EFABC第8题图PA B C D8．（延庆一模） 在如图所示的棱长为1的正方体中， A 、B 、C 、D 、E 是正 方体的顶点，M 是棱CD 的中点. 动点P 从点D 出发，沿着D →A→B 的路线在正方体的棱上运动，运动到点B 停止运动. 设点P 运动的路程是x ， y=PM ＋PE ，则y 关于x 的函数图象大致为（C ）A B C D8．（通州一模） 如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)0B ，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间的函数关系的图象为（ A ）第8题图（1） 第8题图（2）SSSDCBAtO 1234213tO1234213tO12342133124321OtS 第8题图（1）D CBA Oxy。
2013年北京中考数学复习专题讲座十一：动点型问题(一)(含答案)
A．
B．
C．
D．
考点二：动态几何型压轴题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动
变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高， 它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）点动问题．
=
∴
．
5
点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然 不是很多但难度较大． 对应训练
3．（2012•桂林）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单
位长度的速度沿 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC→CD 方向运动，当 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动．设 P 点运动的时间为 t， △APQ 的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系的图象是（ ）
1
则当 0≤x＜a 时，y=x，
当 a≤x＜（1+ ）a 时，y=
，
当 a（1+ ）≤x＜a（2+ ）时，y=
，
当 a（2+ ）≤x≤a（2+2 ）时，y=a（2+2 ）﹣x， 结合函数解析式可以得出第 2，3 段函数解析式不同，得出 A 选项一定错误， 根据当 a≤x＜（1+ ）a 时，函数图象被 P 在 BD 中点时，分为对称的两部分，故 B 选项 错误， 再利用第 4 段函数为一次函数得出，故 C 选项一定错误， 故只有 D 符合要求， 故选：D． 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的 函数关系式是解决本题的关键． 对应训练
2013年全国中考动点问题汇编3(解析版)
23.（河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.考点：一次函数综合题分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．解答：解：（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=-x+4．（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，2=-3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=-x+b过点N（4，4）时，4=-4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），首先注意在x 轴、y 轴上均有点M 的对称点，不要漏解；其次注意点E 、F 坐标以及线段中点坐标的求法．24. （河南）如图，在等边三角形ABC 中，6BC cm =,射线AG BC ∥，点E 从点A 出发沿射线AG 以1/cm s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ≅（2）填空：①当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为 s 时，以,,,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形.考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角梯形．分析：（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E 的速度求出E 运动的时间即可； ②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF 的长度及时间t 的值．解答：（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DFC AED DCF EAD ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t =6÷1=6（s ）；②四边形AFCE 为直角梯形时，（I ）若CE ⊥AG ，则AE=3，BF=3×2=6，即点F 与点C 重合，不是直角梯形．（II ）若AF ⊥BC ，∵△ABC 为等边三角形，∴F 为BC 中点，即BF=3，∴此时的时间为3÷2=1.5（s ）；点评：此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键．25. （河南）如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2.点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.（3）若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标考点：二次函数综合题解答：（1）∵直线122y x =+经过点C ,∴(0,2)C ∵抛物线2y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2 ∴227273322c b b c c =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2722y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴271(,2),(,2)22P m m m F m m -+++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形① 当03m <<时，22712(2)322PF m m m m m =-++-+=-+ ∴232m m -+=，解得：121,2m m ==即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形② 当3m ≥时，2217(2)(2)322PF m m m m m =+--++=- 232m m -=，解得：1233,22m m +==（舍去）即当1m =时，四边形OCFP 是平行四边形 （3）如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=︒时，作,PM CD CN PF ⊥⊥,则 △PMF ∽△CNF ， ∴22PM CN m MF FN m === ∴2PM CM CF ==∴5522PF CN m ===== 又∵23PF m m =-+∴2532m m m -+=解得：112m =，20m =（舍去） ∴17(,)22P 。
全国各地中考数学试题精品分类汇编 动态问题
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编动态问题一、选择题1.（2013安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】C2. （2013山东威海，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）【答案】B3. （2013甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B 三、解答题1. （2013浙江省舟山，24，12分）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为秒．（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求的值． （2）当43-=k 时，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）， ① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当为何值时，h 的值最大？【答案】（1）①C （1，2），Q （2，0）．②由题意得：P (t ，0)，C (t ，－ｔ＋3)，Q (3－t ，0)， 分两种情形讨论：情形一：当△AQC∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB ＝90°，∴CQ ⊥OA ， ∵CP ⊥OA ，∴点P 与点Q 重合，OQ =OP ，即3－t =t ，∴t=1.5．情形二：当△ACQ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB ＝90°，∵O Ａ=O Ｂ＝3，∴△AOB是等腰直角FG（第24题图2）（第24题图1）三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ ⊥OA ，∴AQ=2CP ，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒．(2) ①由题意得：C (t ，－34t ＋3)，∴以C 为顶点的抛物线解析式是23()34y x t t =--+，由233()3344x t t x --+=-+，解得x 1=t ，x 2=t 34-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC=∠AOB ＝90°，DE∥OA ，∴∠EDC=∠OAB ，∴△DEC∽△AOB ，∴DE CDAO BA=， ∵AO =4，AB =5，DE =t －（ｔ－34）=34．∴CD =35154416DE BA AO ⨯⨯==．②∵CD =1516，CD 边上的高=341255⨯=．∴S △COD =11512921658⨯⨯=．∴S △COD 为定值；要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短． 因为当OC⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为125，∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ，又∵CP⊥OA ，∴Rt △PCO∽Rt △OAB ，∴OP OC BO BA =，OP =123365525OC BO BA ⨯⨯==，即t =3625，∴当t 为3625秒时，h 的值最大． 2. （2013广东东莞，22，9分）如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式； （2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入2517144y x x =-++，得1y = 把x=3代入2517144y x x =-++，得52y =，∴A 、B 两点的坐标分别（0，1）、（3，52）设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A 、B 的坐标，得1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，112y x =+ （2）把x=t 分别代入到112y x =+和2517144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517144t t -++∴MN=2517144t t -++-（112t +）=251544t t -+即251544s t t =-+∵点P 在线段OC 上移动，∴0≤t ≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN∴当BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形 由25155442t t -+=，得121,2t t ==即当12t =或时，四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时，PC=2，PM=32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52, 此时BC=CM=MN=BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=5,此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形；所以，当1t =时，平行四边形BCMN 为菱形．3. （2013江苏扬州，28,12分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90º，AB<AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学分类汇编 动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）A94xyOPDAA 、10B 、16C 、18D 、20二、填空题：1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ，EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)；⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)．Q POBED CA图 13图 14图 12AHBCDAHBCDHM QP DCBA2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．3.（2008年白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=21AC ；(3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．图1C Q → B参考答案一、选择 A二、填空：（1）（2）（3）（5） 三、解答：2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 231=．图象如图所示．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是（4，12）， ∴12444212=⋅+⋅-k k ． 解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4． ∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得12244=⨯k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0）， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，， ∴x x y 64322+-=． ① ∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42122+-=． ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）． ②由⑵得 x x y 64322+-=.（方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=） ∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-，∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大．3、解：(1)（4，0），（0，3）； ········································································ 2分 (2) 2，6； ··········································································································· 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCON OAOM =，∴ ON =t 43，S=283t． ······································ 6分当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． ································ 7分由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． ······································· 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积 =12-)4(23-t -21（8-t ）（6-t 43）-)4(23-t=t t3832+-． ······························································································10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ． ··································· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ．····················· 8分以下同方法一． (4) 有最大值．方法一： 当0＜t ≤4时， ∵ 抛物线S=283t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大，∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； ···················································11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t3832+-的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S ＜6．综上，当t=4时，S 有最大值6． ······································································· 12分 方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如图所示． ······························· 11分 显然，当t=4时，S 有最大值6． ···································································· 12分说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．。