必修一函数与方程题型总结大全

函数零点常考题型与解题方法

知识梳理

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

总结：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

(3)几个等价关系

函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．

推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．

推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．

1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？

提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？

提示：不一定，可能有多个．

(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

Δ＝b 2－4ac Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)

(x 1，0) 无交点 零点个数

2

1

题型一、函数零点的求解与所在区间的判断

例1、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4) 2、函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的图象交点的横坐标所在区间为( ) A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

3、 函数f(x)＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B (－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)

变式1、已知函数f (x )＝6

x －log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，4)

D ．(4，＋∞)

2、在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )

A.⎝⎛⎭

⎫－1

4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭

⎫14，1

2

D.⎝⎛⎭⎫

12，34

3、方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

4、函数f(x)＝log 2(x ＋2)－x 零点所在区间为______________

题型二、判断函数零点个数

例1、方程2x ＝x 2的实数根的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．无数多 2、函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ＋1，x ≥0

x 2＋x ，x <0

的零点的个数为________．

4、若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数

y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．

变式1、函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

2、 函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋2x －3，x ≤0，

－2＋ln x ，x >0

的零点个数为 （ ）

A ．3 B. 2 C ．1 D ．0

3、 方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 （ ）

A ．1

B 2

C ．3

D ．4

4、函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．

技巧总结

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．