一元n次方程的求根公式a.

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本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式

本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。

对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。

⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。

如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。

在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。

如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。

当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。

许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。

这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。

对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。

关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。

谁先推出三次方程的求根公式

谁先推出三次方程的求根公式解代数方程是古典代数学中基本的组成部分。

我们知道：形如n n-1ax+ax +…+a=0（a ≠0）的一元n次方程，必定有n个根，这就是著名0 1 n 0的代数基本定理。

这是德国大数学家高斯在1799年第一次给出证明的。

然而，高斯的证明以及其他的一些证明方法纯属非构造性的。

也就是说高斯仅仅肯定了根的存在，而并未给出具体求根的方法。

因此，在高斯的前后，人们对解方程的方法曾作了长期的艰苦探索。

早在数千年以前，古代巴比伦人曾研究过这样一个有趣的问题：求出一个未知数，使它与它的倒数之和等于已知数。

这个问题如果用现代的记号来表述的话，也就是需要求出这样的x，使xx = 1，x + x = b。

毫无疑问，从这2样的两个方程中就可以得出关于x的一个二次方程式，即x-bx+1=0。

据说，b b 2古代巴比伦人解决这个问题的过程是先分别求出与（），再求出2 2 b b b ( )2 2 2 2古代巴比伦人早就会用配方法来解一元二次方程了。

二次方程的求解有了很完美的代数方法，人们可以很方便地根据求根公式求出它们的全部根。

人们自然会想到三次、四次以至高次的代数方程是否会有类似的求根公式，即能不能把一个方程的根用该方程的系数经过有限次的使用加、减、乘、除、开方运算得到代数式来表示呢？3阿拉伯人奥玛尔·海牙姆曾利用圆锥曲线对特殊的三次方程如x+Bx+c=0提出了几何解法，但是这种方法只能得到表示未知数的线段长度，而不是理想的求根公式。

1494年，著名的数学家柏沙尔曾断言：一般的三次方程是不可能求解的。

这个论断既代表了当时一般人的认识，又刺激了人们对寻找三次方程求根公式的强烈兴趣，以至于使寻找三次方程的公式解法成了当时数学界十分时髦的课题。

在寻求三次方程求根公式的研究中，16世纪意大利数学家作出了很大贡献。

当时，意大利有一所欧洲最大也是最著名的大学——波罗尼亚大学。

波罗尼亚大学教授齐波·德尔·菲洛在1514～1515年期间，把三次方程全部简 3 3 3化为三种简单类型：x+px=q，x=px+q，x+q=px，其中p、q均为正数。

韦达定理

韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

基本介绍英文名称：Vieta's formulas韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a定理内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

一元n次方程的解法

分类号O151.1编号2012010634毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：一元n次方程的解法摘要:讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目录0引言 .............................................................. 1 1二,三,四次方程根的情况: . (1)1.1二次方程求根公式 ............................................. 1 2.1三次方程求根公式 ............................................. 2 3.1.四次方程求根公式 ............................................ 3 2 几类特殊高次方程的解法.. (4)1.2 解方程0=-A x n............................................. 4 2.2解方程02=++c bu au n n ........................................ 4 3.2 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n ......................5 4.2求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a.............. 6 5.2求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a ............. 7 3 利用a Mathematic 软件解方程 . (9)1.3求解步骤: .................................................... 92.3例题展示..................................................... 9 4 小结............................................................. 13 参考文献........................................................... 14 致谢 (15)一元n 次方程的解法0引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示.代数学基本定理[]1 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根. 定义1 形如0)(122110=+++++=---n n n n n a x a x a x a x a x f 的方程称为在一个数域S 上的一个未知数的n 次代数方程，)(x f 称为一元n 次多项式，式中n 为正整数,0a ,1a ,2a ,...,1-n a ,n a 都是属于数域S 的常数,称为方程的系数.定义2 若存在一个常数C,使0)(=c f ,则称C 为多项式)(x f 或方程0)(=x f 的根.1 二,三,四次方程根的情况: 1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 02=++c bx ax )0(≠a 1.1.2 根的表达式 aacb b x 2422,1-±-=1.1.3 根与系数的关系 a b x x -=+21 a cx x =211.1.4 判别式 ac b 42-=∆当0>∆,方程有两个不相等的实根; 当0=∆,方程有两个相等的实根;当0<∆,方程有两个复根.1.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式023=+++d cx bx ax )0(≠a (1) 求解过程: 对(1)式除以a,并设aby x 3-=.则(1)式可以化成如下形式, 03=++q py y (2) (1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根. 对于方程(2)的三个根有:3323321322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y33233222322322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω33223323322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω其中 231i +-=ω,2312i --=ω. 再把321,,y y y 带入aby x 2-=解出321,,x x x . 例1 解方程0223223=++-x x x .解对方程0223223=++-x x x 两边同除以2,再设21+=y x ,方程化为,054433=++y y ,45,43=-=q p代人以上公式解得:i y i y y -=+=-=21,21,1321 因此解得：i x i x x -=+=-=1,1,21321.1.2.2 根与系数的关系a b x x x -=++321,a c x x x -=++321111, a dx x x -=3211.2.3 方程(2)的判别式3232⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆p q当0>∆时,方程有一个实根和两个复根;当0=∆时,方程有三个实根;0==q p 时,有一个三重零根;03232≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时,三个实根中有两个相等;当0<∆时,有三个不等的实根.1.3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式0234=++++e dx cx bx ax (0≠a ) （3）给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程0234=++++e dx cx bx x 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.()()048248048248222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-+++c b y d by y x c b y b x c b y d by y x c b y b x其中y 是三次方程()()0482482223=--+-+-d b c e y e bd cy y 的任一实根. 在方程0234=++++a bx cx bx ax 中,设xx y 1+=,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为2424,3,2,1-±=y y x , 其中a a ac b b y 28422+-±-= 若四次方程为024=++e cx ax ,则设2x y =,原方程可化为二次方程02=++e cy ay ,可解出四个根为aaec c x 2424,3,2,1-±-±=阿贝尔定理]2[ 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义3 形如0=-A x n 的方程称为二项方程.2.1 解方程0=-A x n解题过程: 把A 写成()θθsin cos i r A +=,则方程0=-A x n 的n 个根是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n k n i n k nr x n k πθπθ2sin 2cos ()1,,2,1-=n k几何说明: 复平面上与数()θθsin cos i r +的n 次方根对应的点是一个正n 边形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以n r 为半径的圆上,而这个n 边形的顶点之一有辐角nθ.定义4 形如02=++c bu au n n 的方程称为三项方程,其中a,b,c,n 都不等于0,n 为整数.2.2 解方程02=++c bu au n n 解题过程: l 令x u n =,代入以上方程得02=++c bx ax ，由此解出x,则0=-x u n 是一个二项方程,从而再解出u,方程的解.例 2031124=+-u u 解令 x u =21,代入方程得 0342=+-x x ，求解此方程得 3,121==x x ,从而有112=u ,或312=u,解这两方程,得出原方程的解为31,31,1,14321-==-==u u u u .定义5 形如0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n 的方程称为倒数方程（其中k n x -和k x 项的系数相同）.2.3 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n2.3.1 方程求解过程：a) 解偶次()k n 2=倒数方程,对方程两边除以k x ,再令xx z 1+=,则原方程可化为z 的k 次方程,解此方程,得z 值,然后对应x 的值可由二次方程012=+-zx x 求出.b) 解奇次()12+=k n 倒数方程归结到解偶次倒数方程,奇数次倒数方程必有一个根为11-=x ,因此,先把原方程除以1x +化成偶数次方程再求解.例 3 求方程0251313522345=++--+x x x x x 的根.解由于11-=x 是原方程的一个根,因此把原方程除以1+x ,得到四次倒数023*******=++-+x x x x再对其除以2x ,然后合并整理得：016131222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x令 x x z 1+=,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+z x x x x 从而上式变为:()0163222=---z z ,即 020322=-+z z ,解得25,421=-=z z 因而有确定x 得两个方程:025201422=+-=++x x x x 和,由这两个方程解得:21,2,32,325432==--=+-=x x x x . 定义6 对于一般的方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a假定1,1,2,,,kk a q k n a -==则原方程可解.2.4求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a求解过程: 对于101n-10n n n a x a x a x a -++++=,利用0n n a a q =,则此方程为1100000n n n n a x a qx a q x a q --++++=方程两边同除以0a ,得 110n n n n x qx q x q --++++= (4)对(4)同乘以x q得, 10n n x q q+-=, 即11n n xq ++=,解得:x =n k n k i n k q x k ,,2,1,012sin 12cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ. 去掉增根.q x =得到原方程的解.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ特别的,当1=q 时.,,2,112sin 12cosn k n k i n k x k =+++=ππ 例4 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ得()ii x ii x i x ii x ii x 3135sin 35cos 23134sin 34cos 22sin cos 23132sin 32cos 2313sin 3cos 254321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定义7对于一般的方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a假定,,,2,1,1n k q a a k k==-则此方程也可解. 2.5 求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a求解过程: 对于0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ,由于n n q a a 0=,代入以下方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n得 0002201100=+++++--a qx a x q a x q a x q a n n n n 两边同除以0a ,得到012211=+++++--qx x q x q x q n n n n (5)再给(3)两边同乘以qx ,得到0223311=+++++++qx x q x q x q x q n n n n (6)()()56-得,0111=-++n n x q即()11=+n qx则 .,,2,1,0,12sin 12cos11n k n k i n k qx n =+++==+ππ.,2,1,0,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ去掉增根qx 1=,则原方程的解为 .,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ例 5 0124816322345=+++++x x x x x解方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ可得,()()()()()ii x ii x i x ii x ii x 314135sin 35cos 21314134sin 34cos 2121sin cos 21314132sin 32cos 2131413sin 3cos 2154321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定理2]3[设()n n n n a x a x a x x f ++++=--111 是数域P 上的任意多项式,那么方程()0=x f 的根与矩阵A 的特征根相同,其中A 的形式如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000100000100001121n n aa a a A 证设矩阵A 对应的特征矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=--λλλλλ00010000100010121n n aa a a A E 则按第一列展开λλλλλ000100010001121 nn a a a a A E ---+=-- ()()()()()()()()nn n n n n n n n n n n n nn n na a a a a a a a a a a a +++++=--+--++++=----+---++-----+----+----+-λλλλλλλλλλλλλλλλ122111121221111211111100010000011000010*******0010000010100001令x =λ,以上定理得证.因此,把求方程()0=x f 的根转化为求矩阵A 的特征值的问题,关于求矩阵的特征值问题,可以用a Mathematic 软件求得.3 利用a Mathematic 软件解方程 3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵A ;第二步:打开a Mathematic 软件,输入命令Eigenvalues[A]; 第三步:求得矩阵A 得特征值; 第四步:得到原方程的解.3.2 例题展示例 6 0223223=++-x x x解取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0011010123A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:原方程的解为: i x i x x -=+=-=1,1,21321例 7 求解方程0251313522345=++--+x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0000110002501002130010213000125A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:即原方程的解: 32,21,1,2,3254321+-==-==--=x x x x x .例8 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000032100016010080010400012A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:.31,31,31,31,254321i x i x i x i x x -=+=--=+-=-=例 9 解方程0124816322345=+++++x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=00003211000161010081001041000121A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:()()()()ix ix i x i x x 31413141314131412154321-=+=--=+-=-=4 小结通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用Mathematic软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利a用aMathematic软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的方法给求解高次方程带来了极大地方便.参考文献:[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].第三版.高等教育出版社:2003.7:27[2]安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究[J].高校讲台.2007.12:134-135[3]罗芳.求解高次实系数代数方程的Excel算法[J].雁北师范学院学报.2004.20(5):60-61[4]张景晓.四类高次代数方程的升幂解法[J].聊城大学学报.2003.16(3):20-22[5]张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解[J].河北理工教学研究.2003.2:5-7[6]张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解[J].数学通报.2003.8:42-43[7]张栋恩,许晓革.高等数学实验[M].高等教育出版社.2004.7致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!。

求根公式与配方法的关系

求根公式与配方法的关系标题：求根公式与配方法的关系：数学解题中的巧妙应用在数学的世界中，求解一元二次方程是基础的技能之一。

求根公式和配方法是解决这类问题的两种常见方法。

本文将探讨这两种方法之间的关系，并展示它们在实际解题中的巧妙应用。

一、求根公式一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式可以直接计算出方程的两个根，使得求解一元二次方程变得简单直接。

二、配方法配方法是一种通过构造完全平方公式来解决一元二次方程的方法。

其基本步骤如下：1.将方程ax^2 + bx + c = 0 中的常数项移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。

2.将方程左边的二次项和一次项进行配方，即将ax^2 + bx 转化为一个完全平方公式。

3.利用完全平方公式的性质，解出方程的根。

三、求根公式与配方法的关系实际上，求根公式和配方法是两种相互关联的解题方法。

我们可以从以下两个方面理解它们之间的关系：1.求根公式推导过程中的配方法在求根公式的推导过程中，我们需要对二次项和一次项进行配方。

具体来说，我们将方程ax^2 + bx + c = 0 中的二次项和一次项分别除以a，得到x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0。

接着，我们将方程左边的二次项和一次项配方，即：x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - (c/a)这样，我们就得到了一个完全平方公式。

通过移项和开方，最终可以得到求根公式。

2.配方法在求根公式中的应用在利用求根公式求解一元二次方程时，我们可以通过配方法来简化计算过程。

具体来说，当我们计算出判别式Δ = b^2 - 4ac 的值后，如果Δ 是一个完全平方数，那么我们可以直接利用配方法来求解方程，从而避免复杂的开方运算。

四、巧妙应用实例以下是一个利用求根公式和配方法巧妙解题的实例：题目：求解一元二次方程x^2 - 6x + 9 = 0。

求根公式-

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．求根公式aac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个．思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（）A ．一4B ．8C ．6D ．0思路点拨求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=．【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值．思路点拨运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值．注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==．A 组1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为． (2001年北京市海淀区中考题)2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是．(2001年四川省中考题)3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题) 5．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A ．1-<xB ．4>xC ．41<<-xD ．1-≠x 且4≠x(2002年重庆市竞赛题) 6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)210x x --=； (3)x x x 26542-=-+．8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题)9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．B 组10．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝．11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为．12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

一元n次多项式根的展开公式及其求根算法_郑一

收稿日期:2002-08-27。

郑一,副教授,主研领域:数学应用。

一元n 次多项式根的展开公式及其求根算法郑　一(青岛建筑工程学院　青岛266520)摘　要本文获得了一元n 次复系数多项式根的展开公式,给出了求出方程的任意精确根的一个新的算法。

利用该算法,可以用求根公式得到任意精度的初始值,用一个公式可以计算出全部的根。

关键词多项式　根　展开式　算法AN EX PANS ION OF ROOTS AND AN ALGORITHMOF FINDING ROOTS OF A POLYN OMIAL OF DEGREE nZheng Yi(Qingdao Ins titute of Arc hitecture and Engi nee ring ,Qingdao 266520)A bstract In this paper ,the expansion of all roots of a polynomial of n degree with complex coefficients is obtained .One new algorithm of calcu -lating accurately any root of a algebraic equation is proved .We can use this algorithm to compute the initial value as accurately as we like .We can compute all roots of a polynomial eq uation by one formula of finding roots .Keywords Polynomial Root E xpansion Algorith m1　引　言由于矩阵特征值、微分方程等许多实际问题的求解往往归结为特征方程———一元n 次复系数多项式的求根问题。

一元高次方程求根公式

⎨ 1 2 一元高次方程求根公式A 、一元二次方程求解1. ax 2+ bx + c = 0, a ≠ 0,⇒ xB 、一元三次方程求解2. x 3+ ax 2+ bx + c = 0a其中 a ,b ,c 是任意复数③ 若令 x = y − ，则三次方程简化为 3 y 3+ py + q = 0④a 3ab2a 3其中 p = b − ， q = c − + ，3 3 27设 y 1 , y 2 , y 3 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得 y 1 + y 2 + y 3 = 0 。

⎧u = −4 p 3 − 27q 2 ⎪⎧ = + 2 +若令 ⎪ ， ⎨z 1 y 1 v y 2 vy 3 。

⎪v = − ⎪z = y + vy + v 2 y ⎩ 2 ⎩ 2 1 2 3对于适当确定的立方根，卡当公式是 z 1 z 2⎧ y = 1 (z + z ) ⎪ 1 1 2 ⎧ y 1 + y 2 + y 3 = 0 ⎪3 求解线性方程组 ⎪ y + v 2 y + vy = z ，得到 ⎪ y1 −2 −1= (v z + v z ) ，⎨ 1 2 3 1⎨ 2 1 2⎪ y + vy + v 2 y = z ⎪ 3 ⎩ 1 2 3 2⎪ ⎪ y 3 ⎩= 1(v −1z + v −2 z ) 3于是，原三次方程的三个根为 y 1y = ω y = ω 2 3q 2 p 3 1 其中 ∆ =+ ，ω = − +（ i 。

4 27 2 C 、一元四次方程求解3. x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．设方程为x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．(4) 移项，得 x4＋b x3=-cx2-d x-e，右边为 x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为 y0，代入(5)，由于两边都是 x 的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于 x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．附：一元三次方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0的解法先把方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0化为x3 + px +q = 0的形式：2 3 2 2 3 23 2 2 2 令 x = y − b，则原式变成3aa ( y −b ) 3 + b ( y − b ) 2 +c ( y − b) + d = 03a 3a 3aa ( y 3− by b 2 y + − b ) + b ( y 2− 2by + b ) + c ( y − b ) + d = 0 a 3a 2 27a 3 3a 9a 2 3aay 3− by 2+ b y − b + by 2 − 2b y + b + cy − bc + d = 0 3a 27a 2 3a 9a 2 3aay 3+ (c − b ) y + (d + 2b 3 − bc ) = 0 3a 27a 2 3ay 3+ ( c − b ) y + ( d + 2b 3 − bc) = 0 a 3a 2 a 27a 33a 2如此一来二次项就不見了，化成 y 3 + py + q = 0 ，其中 p = c b 2− ，a 3a 2q = d + a 2b 3 27a 3 −bc 。

数学的魅力_8. 一元n次方程求根公式

数学家, 最年轻的Fields 奖获得者, 第一位Abel奖获得者.
Abel:
一元五次以上的代数方程一般来说是不存在求根公式的. 什么时候存在求根公式呢?
超级天才的出现:
Évariste Galois
Évariste Galois(10.25. 1811-5. 31. 1832)
法国的天才数学家: 莫扎特的天赋, 贝多芬的激情, 拜伦的浪漫. 出生于巴黎南郊小镇, 父亲: 中学校长, 镇长. 母亲: 熟读拉丁文并精通古典文学.
1815年: 进入教会学校读中学.
1817年: 阿贝尔一生的转折点.
数学老师: 好酒如命, 脾气粗暴, 体罚致死学生被解职, 由比Abel大七岁的年青教师Holmboe代替.
Holmboe : 最大的贡献, 发掘了Abel的数学才能,
成为Abel的朋友并给予帮助.
Holmboe私下给Abel讲授高等数学, 介绍阅读 Poisson、Gauss以及Lagrange的著作, Abel很快
1789年, 攻占巴士底狱 1794年, 巴黎高师成立 1795年,
巴黎综合理工学院建校
革命狂潮曾指向科学家：
“共和国不需要科学家” “近代化学之父” 拉瓦锡
数学家, 哲学家, 孔多塞
“于断头台就义欧拉停止了计算和生命”
结果: 院士们变得畏缩, 老态龙钟
Napoléon Bonaparte(1769-1821)
628年:
印度数学家Brahmagupta给出求根公式
一元三次方程求根
中国唐朝数学家王孝通在626年前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法. 波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048-1123)利用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法. 他说明了怎样几何方法利用三角法表得到答案.

一元n次多项式根的展开公式及其求根算法_郑一

收稿日期:2002-08-27。

郑一,副教授,主研领域:数学应用。

利用该算法,可以用求根公式得到任意精度的初始值,用一个公式可以计算出全部的根。

一元方程

1、基本概念所谓一元方程，就是只含一个未知数x，且x的次数为自然数的方程，形式如下：其最高次项次数为n，故称为n次方程。

等号左边的部分叫做n次多项式，记作Pn(x) 另外再定义如下表：2、因式分解定理在实数范围内，n次"实多项式"可以彻底分解成m个"一次实多项式"和k个"二次实多项式"的乘积：在复数范围内，可继续彻底分解为n个“一次复多项式”：(2)中的k个二次实多项式x^2+px+q 还能继续分解吗？回忆一元二次方程的相关知识：对于方程x^2+px+q=0 ，当Δ<0 时，方程无实根，若没有复数的概念，就不能继续分解了。

(2)中的二次实多项式x^2+px+q 都是因为Δ<0 没能继续分解的。

但是，引入复数的概念后，x^2+px+q=0 有两个共轭复根，(2)还能继续分解为(3)。

观察(3)：取x=r1 ，得Pn(x)=0 ，即x=r1 是方程的一个根。

同理，r1、r2、……、rn 都是原方程的根，根的数量刚好等于方程次数。

其中有m个实根，对应(2)中的m个一次实多项式；k对共轭复根，对应(2)中的k个二次实多项式。

即有以下结论：一、n次方程有n个根二、复根都以共轭的形式成对出现当(3)中有两个一次多项式完全一样，即(x-ri)=(x-rj) 时，ri、rj 被称为二重根，以此类推还有三重根，四重根……我们姑且认为重根是一群好基友，当然就有2p、3p、4p……相比之下共轭复根则是情侣，只能是一对两个，重根和共轭复根的概念千万不能混淆。

需要注意的是：二重根应该算两个根，三重根应该算三个根，这样才能保证结论一始终成立。

比如二次方程Δ=0 时只有一个解，其实那是一个二重根，应该算两个根。

想必大家都记得初中老师苦心纠正我们的样子，“两个相等的实根”，现在终于明白了吧？初中老师为了保证二次方程有两个根也是蛮拼的！3、根与系数的关系将(3) 乘开与(1) 比较得到：这个就是大名鼎鼎的韦达定理的真面目了，什么？你说你看不懂？右边有解释。

1元二次方程求根公式

1元二次方程求根公式一元二次方程求根公式是解决一元二次方程的一种方法，可以通过这个公式得出方程的解析解。

在解决实际问题时，我们经常会遇到一元二次方程，因此掌握求根公式是十分重要的。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c 为已知系数，x为未知数。

我们通过求根公式可以得到方程的两个根，公式的形式如下：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这里√(b^2 - 4ac)表示计算平方根，通常我们称为“根号”。

根号下面的内容称为判别式，它代表了根的性质。

接下来，我们将详细解释这个求根公式。

1.第一步：计算判别式方程的判别式Δ（Delta）等于 b^2 - 4ac，根据判别式的值我们可以判断方程的根的性质。

-当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。

-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个复数解。

2.第二步：套用求根公式根据判别式的值，我们可以得到不同的求根公式。

-当Δ>0时：求根公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。

这时方程有两个不同的实数根。

-当Δ=0时：求根公式为x1=x2=-b/(2a)。

这时方程有两个相等的实数根。

-当Δ<0时：求根公式为x1=(-b+√(，Δ，)i)/2a，x2=(-b-√(，Δ，)i)/2a。

其中i为虚数单位，这时方程没有实数解，但有两个复数解。

3.第三步：将系数代入求根公式将方程的系数a、b、c代入求根公式后，即可计算出x1和x2的值。

需要注意的是，除数不能为0，即a不能为0，否则方程不再是二次方程。

下面我们通过一个实例来解释求根公式的使用。

例题：解方程2x^2+5x+3=0的根。

解法：根据给定方程，我们可以知道a=2，b=5，c=3计算判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*3 = 25 - 24 = 1由于Δ>0，所以方程有两个不同的实数根。

n次方程求根公式

9de9ee1526c3b44eed985ab433ce1044410cef6e7e5f465599ed25594af0266950c18e14e3070c7806d 47ad3830caf7e2c8e8e179b8f9c82925cf06765f64013是作者真实身份的一份SHA-512验证。

n次方程根求根公式（1≤n≤7）（Ver 6.0）符号注释，和摘要:Solve(F(x),x) 表示以x为未知数求解该方程。

此为Maple定义虚数单位定义摘要：（?表示有新发现，整理中，或未整理完全（中间公式））公式次数目前发现数记录数1 1 12 3+? 13 12+?+1 9+14 8+1 45 3+?+1 36 1+? 17 1(?) 1(?)8 ? 01次方程求根公式2 次方程求根公式3 次方程求根公式（9+1种/已知12+1种）卡丹法[1] 李煌法待定系数法群置换法强配方法盛金公式法复变函数法单开立方法（构造者sc303165）以下提供一个由一根求其他二根的公式：4 次方程求根公式（3种/已知8+1种）费拉里法[2] Descartes法：（以上方程任取一根）Euler法：三角法（构造者sc303165）5 次方程求根公式（3种/已知3+1种）标准式超几何函数法（构造者 God→Osiris）（标准式转化）S3=-3 c3S4=-4 c4S5=-5 c5S6=3 c32S7=7 c3 c4S8=4 c42+8 c3 c5S9=-3 c33+9 c4 c5S10=-10 c32 c4+5 c52S11=-11 c3 c4-11 c32 c5S12=3 c34-4 c43-24 c3 c4 c5S13=13 c33 c4-13 c42 c5-13 c3 c52S14=21 c32 c42+14 c33 c5-14 c4 c52S15=-3 c5+15 c3 c43+45 c32 c4 c5-5 c53S16=-16 c34 c7+4 c44+48 c3 c42 c5+24 c32 c52 S17=-c1 S16-c2 S15-c3 S14-c4 S13-c5 S12S18=-c1 S17-c2 S16-c3 S15-c4 S14-c5 S13S19=-c1 S18-c2 S17-c3 S16-c4 S15-c5 S14S20=-c1 S19-c2 S18-c3 S17-c4 S16-c5 S15(此处接5次方程最简型求根公式)(原方程的根，求解结束)用程序化简的源代码详见附录15次方程最简型求根公式椭圆函数法[3] [4] [7] 公式详解见附录25次方程最简型求根公式白杨法（只限于已确定有根式解的5次方程）u1~u4需两两不同（j=1~5，求解结束）6 次方程求根公式[8],O,P任取一值（以上方程任取一根）7 次方程求根公式（超几何公式法构造者God→Osiris）如要解完全式的7次方程，需用[10]化简。

9.matlab求解一元n次方程

9．如何求解一元n 次方程
求一元n 次方程的根用命令roots。

我们都知道，一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的求根公式为
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
例如对于方程式 2x 2 + 5x + 8 = 0 ，首先输入系数，然后按公式计算两个根的值，在MATLAB 中键入
a=2；b=5；c=8；
p=sqrt(b^2-4*a*c)；
x1=(-b-p)/(2*a)
x2=(-b+p)/(2*a)
计算机屏幕将显示此方程的两个根：
x1 = -1.2500 - 1.5612i x2 = -1.2500 + 1.5612i 对于高次方程，比如 5 次以上的方程，我们无法用求根公式求解。

但是用MATLAB的求多项式零点的命令可以求出高次方程的全部根。

以上面的例子为例，只须键入
roots([2,5,8])
并回车，计算机将显示
ans =
-1.2500 + 1.5612i
-1.2500 - 1.5612i
这与前面计算结果相同，由此可知命令“ roots([2,5,8])”求出了一元二次方程2x 2 + 5x + 8 = 0的全部根。

所以对于一个高次代数方程
a0x n+a1x n−1+⋯+a n−1x+a n=0
用命令roots([a0 a1 … an])可以求出该n 次方程的全部根。

一三次、四次方程求根公式的发现

一. 三﹑四次方程求根公式的发现
内容解析
1.三次﹑四次方程问题
花拉子米发现二次方程以后，数学家们便开始联想三﹑四次方程的求根问题.
公元前3世纪，阿基米德的图像法.
公元1世纪，我国的《九章算术》出现了特殊方程的解法.
公元630年左右，唐代的王孝通给出了更一般的三次方程的解法.
尽管数学家们求得三﹑四次代数方程任意精度的数值解，但是却没有给出一般公式.
一元三次方程 ax3 bx2 cx d 0 的求根公式是1545年由意大利的卡尔达诺发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡尔达诺公式”.可是事实上，发现公式的人并不是卡尔达诺本人，而是塔尔塔利亚 .
卡尔达诺
• 一位颇受欢迎的医生 • 哲学家和数学家 • 占星术家
撰写代数著作《大术》
卡尔达诺
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将三次方程解的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起.
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
解 x3 mx n 的法则：
用 x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这
整个算式的平方根.复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半，然后，用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其
代数学代数学algebraalgebra这个词来源于花拉子这个词来源于花拉子米所著的一本书米所著的一本书早在古巴比伦时代人类很早就掌握了一元二次方程的解法但是直到公元9世纪才有阿拉伯数学家开始对二次方程的一般解法进行了系统理论的研究并给出了求根公式
第七讲千古谜题
—伽罗瓦的解答
舒城中学秦国刚
导入新课

一元三次方程

一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程一元三次方程求根公式:以下是传统解法一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。

这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。

南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。

（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。

可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。

医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。

当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。

尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。

可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。

卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。

他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法。

证法很难，我把它叙述如下。

"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。

塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。

按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。

一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程

一元三次方程 ax^3 +bx^2 +cx+d=0 的求根公式是 1545 年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约 1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在 1539 年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。卡当并没有信守自己的誓言，1545 年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元 n 次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约 200 年后，随着人们对虚数认识的加深，到了 1732 年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。

高次方程的根的性质总结

高次方程的根的性质总结高次方程是指未知数的最高次数大于等于二次的方程。

根的性质是指方程解的分布特点和数量关系。

二、根的个数：1.一般情况下，n次方程有n个实数根或复数根。

2.根的个数与方程的系数和常数项有关。

三、根的分布：1.根的分布受到判别式的影响，判别式大于0时，根的分布为两个不相交的区间；判别式等于0时，根的分布为一个区间；判别式小于0时，根的分布在实数范围内没有解。

四、根的性质：1.实数根：方程的实数根是指在实数范围内满足方程的解。

2.重根：当方程的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，称为重根。

3.复数根：方程的复数根是指在复数范围内满足方程的解，形式为a+bi，其中a、b为实数，i为虚数单位。

五、根与系数的关系：1.对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根与系数的关系为：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

2.对于高于二次的方程，根与系数的关系复杂，一般需要利用求根公式进行计算。

六、求根公式：1.一元二次方程的求根公式为：x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。

2.高于二次方程的求根公式一般需要利用数学软件或教材中的公式进行计算。

七、解题方法：1.因式分解法：将方程进行因式分解，找出满足方程的解。

2.求根公式法：利用求根公式计算方程的解。

3.图解法：利用坐标系，通过绘制函数图像来找出方程的解。

八、注意事项：1.在解高次方程时，要注意判别式的正负性，判断根的分布情况。

2.对于复杂的方程，可以利用数学软件进行求解。

3.在解题过程中，要灵活运用各种解题方法，选择合适的方法进行求解。

习题及方法：求解方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0。

这是一个三次方程，我们可以尝试因式分解法来解这个方程。

首先观察方程，我们可以尝试将其分解为三个一次因式相乘的形式。

通过尝试，我们可以找到以下因式分解：(x - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0进一步分解得到：(x - 1)(x - 1)^2 = 0因此，我们得到三个解：x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1求解方程：2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0。