第四讲四边形专题训练一

四边形专题训练（一）

【知识精讲】

1. 主要概念

（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．

（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（有一组邻边相等的矩形叫做正方形）．

（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形． （6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． （8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

2. 几种特殊四边形的关系

四边形

平行四边形

梯形

矩形

菱形

正方形

直角梯形

等腰梯形

3.

附:矩形菱形正方形的性质和判定总表

4. 解决四边形问题常用的方法

（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．

（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题．

考点分析：

四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=2

1AC=2

1BD ．因此可以得到直角三角形

的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 例1已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．

例3．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

例4、

如图，在 ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．

(1)求证：AB=CF ；

(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．

二．菱形

【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质

F

E

D C

B

A

性质1菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

A

B C

D

E

F

O

1

2

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、

BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

求线段BE的长．

3．（平行四边形）（2008佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF

均为直线BC同侧的等边三角形.

(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构

成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的

条件

4.（2008兰州）如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．

（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

B M

A

D C

E

D

B C

O

60

5．如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN∥BD，则∆AND的面积∆ABM的面积怎样？请说明理由．

例6、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

N

B C

A D

M