卷积积分的运算

第2章 连续时间系统的时域分析
例7 : 计算f1 f2 f1( ) f2 (t )d
a
f2(t)
f1(t)
b
t-2 0 t 1
a
*
01
t 0
t
2
t-2
a
01
f1(t) a 0 t 1
f2
(t)
b 2
t 0
t
2
t-2 0 1 t
1. t 0
重合面积为零: f1(t) f2 (t) 0
第2章 连续时间系统的时域分析
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单 位冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
第2章 连续时间系统的时域分析
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
第2章 连续时间系统的时域分析
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
(t
)百度文库
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
第2章 连续时间系统的时域分析
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
1
x1(t )
1
x1 (t )
其
它
1 t 2 0 t 11 t 2
0
1t 2
1 t 12 t 3
第2章 连续时间系统的时域分析
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
, (l1 l2), (l1 m2), (l2 m1), (m1 m2),
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
应用 f(t)
2
h(t)
1
h(t- )
1
45
13
-3 -1
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域
f()
4
f()
1+4=5; 1+5=6; 3+4=7;
3.确定积分限
t 1
5
0
4
4
3+5=8
1
5
t 3
4t 1
0
5
6
7
8
第2章 连续时间系统的时域分析
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
第2章 连续时间系统的时域分析
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d
t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
2
2
0
y(t) [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t) [h1(t) h2 (t)] [x(t) h2 (t)] h1(t) x(t) h(t)
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
(t
)2
1 0
ab (2t 1) 4
4. if 2 t 3
t-2 0 1 t
f1 f 2
1 a b (t )d
t2 2
1 ab (t )2 1 ab (3 2t t 2 )
4
t2 4
5. if 3 t f1 f2 0
0 t-2 1
t
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算：
A、交换律：x1(t) x2 (t) x2 (t) x1(t) y(t) x(t) h(t) h(t) x(t)
B、结合律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] [x1(t) x2 (t)] x3 (t)
对于级联系统：
x(t) h1(t) h2 (t) y(t)
2. if 0 t 1
0 t-2 1
t
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
第2章 连续时间系统的时域分析
t a b(t )d
02
ab (t )2
4
t 0
ab t 2 4
3. if 1 t 2
a t-2 0 t 1
f1 f2
1a b (t )d
02
ab 4