数学建模题目

1、山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

方法一：利用插值的方法，绘制山区的地貌图和等高线，采用了5种插值方法，分别是最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值、分段线性插值，得到如图1-5所示的图像：

图1 最邻近插值地貌图（左），等高线（右）

3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 1500

1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010

1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 Y/x 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

图2 线性插值地貌图（左），等高线（右）图3 三次样条插值地貌图（左），等高线（右）图4 立方插值地貌图（左），等高线（右）

图5 分段线性插值地貌图（左），等高线（右）比较由以上五种插值方法得到的地貌图和等高线图，可以看出，由于两个高度之间直线为最短距离，因此利用最邻近插值得到的地貌图和等高线为直线，描述的山地地貌为陡崖，对于一般山区的地貌是不符合的；分段线性插值得到的图像随着分段数目的增多，而更加平缓，棱角更加不明显；利用线性插值、三次样条插值和立方插值所得到的图像，较为平滑，更加适合描述该区山地的地貌。

图像绘制程序：

x=1200:400:4000;

y=1200:400:3600;

z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;

1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;

1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;

1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;

1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;

1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;

1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];

figure(1);

title('分段线性插值')

figure(10)

contour(xi,yi,z3i,10,'r')

title('立方插值')

figure(11)

contour(xi,yi,z4i,10,'r')

title('三次样条插值')

figure(12)

contour(xi,yi,z5i,10,'r')

title('线性插值')

方法二：针对绘制等高线和地貌图的问题，使用 Matlab中的contourf命令绘制等高线，surf命令绘制带阴影的三维曲面图，得到地貌图，如图 6所示的地貌图和平面等高线：

图 6 山区地貌图（左），等高线图（右）

（1）等高线绘制程序：

clc;clf;clear;

时刻/h012345678910111213温度/℃1514141414151618202223252831时刻/h1415161718192021222324

温度/℃3231292725242220180716

对024h的温度进行分析，采用多项式拟合的数学方法，建立温度y和时刻x的模型，利用Matlab编写程序求得多项式方程为：5432

=-+--+

y x x x x x

0.00010.00470.06770.17970.245214.7582

拟合所得图像如图7所示：

图7 温度-时间拟合曲线

由图像可以看出，在03h内，温度变化较平缓，在1415℃左右；在414h 温度处于上升阶段，在14h出现最高温度32℃；从1524h处于下降阶段，其中在23h时出现了低温7℃。

程序：

x=0:1:24;

y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25

由上述结果得到：F 检验通过，复判定系数与调整复判定系数的差距不大；但在t 检验中有若干自变量对y 的解释作用不明显，在此采用逐步回归的方法对自变量集合进行调整。

利用Matlab 统计工具箱中用作逐步回归的命令stepwise ，进行统计分析，得到如图所示的结果：

图1 逐步回归分析结果

由上图可以看出：红色表明从模型中移去的变量为2x 、4x 、6x ，移除这三个变量后，再利用最小二乘法拟合一个多元回归模型，有

135276.76840.60770.75010.0041x x x y +--=

这个回归模型的复判定系数20.9813R =，调整复判定系数2

0.9792R =。模型的 剩余标准差为。

对模型进行F 检验： 455.3368F =

两个回归模型相比较，得到：后者的复判定系数与调整复判定系数的差距更小，与实际更加符合，因此所做的调整是有意义的，对于预测更加有利。

数据没有找全，没法预测检验。

年份

国民收

工业总

农业总

总人口

就业人

固定资产

财政